Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Однако применение к этой задаче изложенных выше классических методов решения б»ло бы затруднйтельным, так как оптимальное управление лежит на границе области допустимых управлений ( и ( ~ 1 и двусторонние вариации здесь не- Задачи к главе 9 ! 1, Найти зкстремали изопериметрнческой задачи о [у (х)! = ~ (у' +хя) г(х з 1 при условии ~ ут Дх = 2; у(0) = 0; у(1) = О. о 2. Найти геодезические линни круглого цилиндра г = )т. У к а з а н и е. Решение удобно искать в цплиндрическкх координатах г, 9, «. 3. Над~и экстремали нзоосриметрнческои задачи х « е [у (х)! = ~ у'т г(х прн условии ~ у Лх= а. к к, где а — постоянная. 4.
Написать дифференциальное уравнение зкстремалей нзопериметрической задачи об экстремуме функционала к о [у (х)! =.- ~ [р(х) у' + о (х) у ! Лх 1 к, г(х)уткх=1; у(О)=0; у(х~)=0. о зкстремаль в нзопериметрической задаче об экстремуме функ- прн условип 5.
Найти ционала о[у(х); «(х)! =- ~ (у' )-«' — 4х«' — 4«) пх ! (у'з — ху' — «') ех =2; у(0) =0; «(0) =0; у(1) =1; при условии «(1) = 1. 26 л, в зльсголч» задачи К сплав ЗОЗ возможны, кроме того, решение ищется е классе кусочно непрерыя управлений. Оба эти обстоятельства весьма характерны для большинства практических задач нз оптимальное управление. ГЛАВА 10 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ В 1.
Прямые методы Дифференциальные уравнения вариационныд задач интегриру1отся в конечном виде лишь в исключительных случаях. В связи с этим естественно возникает потребность в иных методах решения этик залач. Основная идея так назь1ваемыл лря.ных методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами, а затем предельным перекопом получается решение соответствующей вариационной задачи. Функционал о[утх)) можно рассматривать как функцию бесконечного мио кества переменных.
Это утверждение становится совершенно очевилным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены в степенные ряды: у1х)= а,+ а,х + аях'-)- ... +а„х" + или в ряды Фурье: у (х) = ф + ~~ (а„соз ах + р„з~п ах), л=1 или вообще в какие-нибудь ряды вида у(х) = ~ а„<р,(х), л=э где гр„(х) — заданные функции.
Для задания функции у(х), представимой в зиле ряда у (х) =- ~ а„гр„(х), достаточно задать вначе- л=О ния всех коэффициентов а„, и следовательно, аначение функционала о ру(х)) в этом случае определяется заданием бесконечной последоватЕЛЬНОСтн ЧИСЕЛ: аа, аы ая...., ал, ..., т. Е. фУНКЦИОиаЛ ЯВЛЯЕТСЯ КОНЕЧНО.РАЭНОСТНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА функцией бесконечного множества переменных: о[у(х)]=кр(ао а1 ..., а„, ...), Слелоаательно, различие межлу варнационными залачами и задачамн на экстремум функций конечного числа переменных состоит в том, что в варнанионном случае прнхолится нсслеловать на экстремум функции бесконечного множества переменных.
Поэтому основная идея прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том, что вариацнонная задача рассматривается как предельная лля задачи на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма естественной. Л. Эйлер в первый период своих исслеловзний в области варианионного исчисления применял метал, называемый теперь конечноразностным прямым метолом. Этот метод в лальнейшем длительное время совсем не применялся и лишь в последние три десвтидетия был с большим успехом снова возрожден в работах советских математиков (Л. А.
Люстерник, И. Г. Петровский н др.). Другой прямой метод, известный под нааванием метода Ритца, в разработку которого весьма значительный вклал внесен советскими математиками (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др,), в настоящее время находит широкое применение при решении различных вариацнонных залач. Третий прямой .метод, предложенный Л. В.
Канторовичем, применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких независимых переменных, находит все более и более широкое применение в тех же областях, в которых применяется метод Рнтца. В дальнейшем мы остановимся лишь на этих трех основных прямых методах, причем доказательства многих утзержлений будут опущены. Читателя, желающего более детально ознакомиться с применяющимися в настоящее время прямыми методами, мы отсылаем к книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [10[ и к книге С.
Г. Мнхлина [11[. й 2. Конечно-разиостиый метод Эйлера Идея конечно-разностного метода заключается в том, что аначе- ния функционала о[у(х)], например к, ~ В(х у у,')Фх, у(хо)=а. У(х,)=д, кк рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариа- ционной задаче, кривых, а лишь на ломаных, составденных из задан- ного числа а прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин: х„+ Ьх, ха+ 2Ьх, .... ха+(а-1)Ьх. где Ьх — 'х' (рцв. 10.1). пвямые методы в влгнлннонных задачах 1гл. и На таких ломаных функционал и [у (х)) превращается в функцию 7(ун Уэ уа-~) ординат ун уз, ..., у„, вершин ломаной, так как ломаная вполне определяется этими ординатами. Выбираем орлинаты ун уз..., у,, так, чтобы функция ~р(у„уз, ..., У„,) достигала экстремума, т.
е. определяем ун уя, ..., у„, из системы уравнений д~г д<р =О, — =О, ..., — =О, ду, ' ду, ' '''' дуч а затеи переходим и пределу при л — есо. В пределе при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию 1', получим решение вариационной задачи. Рис. 10.1. Удобнее, однако, аначение функционала о 1У (х)] на указанных выше ломаных вычислять приблиьхепно, например в простейшей задаче заменять интеграл л, „, .:,+ ~а+мак / гт(х, у, у') Нх ж ~~а ~ Р(х у д„) с(л а=о х,ел ел интегральной суммой л ~~а Р(Х1, У,, — ') Гьл. В качестве примерз вывелем уравнение Эйлера для функционала х, о)у(х)) = ~ Р(х, у, у') Фл.
ко пРямые методы В ВАРиАционных ЗАДАчАх ггл. ю коэффициентами, составленных нз л первых функций некоторой выбранной последовательности функций 1Р'!(х). Ф'я(х), ..., йгл(х), ... л функции ул= ~ а1%'1(х) лолжны быть допустимыми в рассматри1=! ваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор после- довательности функций 1к'1(х). На таких линейных комбинациях функционал о(у(х)) превращается в функцию !р(а1, ая, ..., ал) КОЭффнЦИЕНтОВ ан ая...., ал, Этн КОЭффИПИЕНтЫ ап аю ..., ал выбираются так, чтобы функция !р(ан из, ..., ал) достигала экстре- мУма; следовательно, ан ая, ..., ал лолжны быть опРеделены из системы уравнений —— 0 (1=1, 2,..., а), да~ Совершая предельный переход при л — ь оо, получим в случае существования предела функцию у = ~ а1%'1(х), являющуюся (при 1=! некоторых ограничениях, налагаемых на функционал о1у(х)) и на последовательность 1г'! (х), Ф'з(х), ..., Ю„(х), ...) точным реше- нием рассматриваемой вариационной задачи.
Если не совершать предельного перехода, а ограничиться лишь л первыми членами л ул = .л, а11л'! (Х), то получим приближенное решение вариационной 1=! задачи. Если таким методом опрелеляется абсолютный минимум функцио- нала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых ' кривых не больше, чем минимум того же функционала на части л этого класса допУстимых кРивых — на кРивых видз Ул = л.,: а1!Р'1(х).
! ! При нахождении тем же методом максимального значения функцио- нала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком. л Лля того чтобы функции ул = ~ а11Р'1(х) были допустимыми, 1=! прежде всего необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно, не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть наложены на допустимые функции, например требованиях, касающихся их непрерывности или гладкости). Если граничные условия линейны н однородны, например, в простейшей задаче у(хз)=у(х,)=0 или р„.у (х1)+ бягу'(хг) = 0 (/ = О, 1), мятод яитцл где р, — постоянные, то проще всего и координатные функ цни выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям.
Очевидно, л что при этом и у„= ~ а,К',(х) при любых а, будут удовлетворять тем же граничным условиям. Пусть, например, граничн)ае условия имеют вид у(х,)=у(х,)=0, тогла в качестве координатных функ- ций можно выбрать $Г, (х) = (х — хе) (х — х,) ф, (х), гле ф,(х) — какие-нибудь непрерывные функции, илн Ф~(х)=з!п ' (1=1, 2, ...), или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям Ж', (х„) = Ф, (х,) = О. Если условия неоднородны, например у (ха) = уо у (х1) = уг где хотя бы одно из чисел ув или у, отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационйой задачи в виде п у„= ~~'„, а,В',(х).+)а'е(х), ! 1 где Ю'е(х) уловлетворяет заданным граничным условиям Ф'а(ха) =уз, Ж'„(х,) =у,, а все остальные %';(х) удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
