Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 57
Текст из файла (страница 57)
з 2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это условие можно заменить условием Якоби. 3. Функция Е(х, у, р, у') не меняет анака во всех точках (х, у), близкии к кривой С, и для близких к р(х, у) значений у'. В случае минимума Е)~О„в случае максимума Е (О. Для сильного вкстремума: 1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям. 2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это условие можно заменить условием Якоби. 3. Функция Е(х, у, р, у') не меняет знака во всех точках (х, у), близких к кривой С и для произвольных значений у'. В случае минимума Е)~0, в случае максимума Е (О.
3 а м е ч а н и е. Можно доказать, что условие Вейерштрасса необходимо. Точнее, если в центральном поле, включающем экстремаль С, з точках экстремали для некоторых у' У функция Е имеет противоположные знаки, то сильный экстремум не достигается. Если это свойство имеет ме- В!'а, сто при сколь угодно близких к р значениях у', то не достигается и слабый экстремум. П р и м е р 1. Исследовать на экстре- мум функционал 0 а и= ~ у' з(х! у(0) О, Рис. 8.!О. а у (а) = Ь, а > О, Ь > О. Экстремалями являются прямые линии у = С,х+Сь Экстремум может Ь достигаться лишь на прямой у= — х.
Пучок прямых у=С,х с центром Ь в точке (О. 0) образует центральное ноле, включающее знстремаль у = — х а (рис. 8.10). Функция Е(х, у р у') у з рз Зрз (у р) (у р)з (у'+2р) Ь Ь На вкстремали у= — х наклон поля р= — > О, и если у' принимает знал а Ь чения, близкие н р = †, то Е >О и, следовательно, все условия, достаточ- а ' ные для достижения слабого минимума,,выполнены. Итак, на зкстремали у — х достигается слабый минимум. Если же у' принимает произвольные б а значения, то (у'+2р) может иметь любой знак и, следовдтельно, функция Е знака не сохраняет †услов, достаточные для достиженИя сильного мини- 361 Фкнкция л(. и, л.
и'> мума, не выполнены. Если принять во внимание замечание на стр. 360, то Ь можно утверждать. что сильнмй минимум на прямой у = — х не достигается. а П р и м е р 2. Исследовать 'на экстремум функционал (6у'з — у" +уу') йх; у(0) =0; у(а) = Ь; а > 0 и Ь >0 е в классе непрерывнык функций с непрерывной первой производной. Экстремалями являются прямые у = С,х+ Сь, Граничным условиям удо- Ь влетворяет прямая у = — х, которая включается в пучок зкстремалей у = С,х, образующих центральное поле. Функция Е(х, у. р, у') = бу' — у" + уу' — бр' + рь — ур — (у' — р)(12р — 4р' + у)= = — (у' — р)' [у' + 2ру' — (6 — Зр')!.
Знак функции Е противоположен знаку последнего множителя у" + 2ру' — (6 — Зр'). Этот множитель обращается в нуль и может изменить знак лишь прн переходе у' через значение у' = — р х Уб — 2р', Прн 6 — 2р' (О или р>Ь'3 при любом у' имеем [у' +2ру' — (6 — Зрт)! > О, если же 6 — 2р' > 0 или р < )' 3, то выражение [у" + 2ру'— — (6 — Зр')! меняет знак, Если же при У атом у' достаточно мало отличается от р, то последнее выражение сохраняет поло- максимум жительный знак при р > 1 и отрицательный знак при р < 1. Ь Следовательно.
при р = — < 1 нли а ьлааьсй Ь < а имеем слабый миничум, так как Е > 0 минимум ~~ при значениях у', близких к р; при Л Ь тт 3 р = — > 1 или Ь > а имеем слабый макси- 'а Ь О мум. При р= — >Ь'3 имеем сильный мак- а симум, так как Е (О при любых значениях Ь р, З.п. у'. При р= — < Р 3, па основании заме- л чання на стр. 360, иет ни сильного минимума, ни сильного максимума (рис. 8.11). Даже в приведенных выше весьма простых примерах исследование знака функции Е было сопряжено с некоторымн затруднениями, и 'поэтому желательно условие сохранения знака функцией Е заменить более легко проверяемым условием.
Предположим, что функция Р(х, у, у) трижды дифференцируема по аргуь1енту у'. По формуле 24 Л, Э. Эльсголья достаточныя головня экстяямгмл ггл. а Тейлора получим Р(х, у, у') = У Р)+(У Р)Ре(» У Р)+ 21 Рту (х. У Ч) где а заключено между р и у', Функция Е(х, У, р, У') = Р (х, у, у') — Р (х. у, р) †(у' — р) Р„(х. у, р) после замены функции Р (х, у, у') ее разложением по формуле Тейлора примет вид Е(х, у, р, у')= ~~ Рут (х, у, Ч), Отсюда видно, что функння Е сохраняет знак, если сохраняет анак Р т (х, у, а). При исследовании на слабый экстремум функция Рг „(х, у, а) должна сохранять знак для значений х и у в точках.
близких к точкам исследуемой зкстремали. и для значений а, близких к р. Если Ру т (х, у, у') ~ 0 в точках зкстремалн С, то в силу непрерывности вта вторая производная сохраняет анак и в точках, близких к кривой С, и для значений у', близких к значениям у' на кривой С. Таким образом, при исследовании на слабый минимум условие Е )~ 0 может быть заменено условием Рг х ) 0 на экстре- мали С, а при исследовании на слабый максимум условие Е ( 0 может быть ваменено условием Рт „ ( 0 на кривой С.
Условие Рт „ ) 0 (или Ру „( О) носит название условия Лежандра а). При исследовании на сильный минимум условие Е)~0 может быть заменено требованием Ре (х, у, а) ) 0 в точках (х, у), близких к точкам кривой С при произвольных значениях а. При этом, конечно, предполагается, что разложение по формуле Тейлора Р(х у у)= (у в)а =Р(х, у, р)+(у' — р)Ра(х, у, р)+ ~~~ Р т (х, у, а) справедливо при любых у'.
Прн исследовании на сильный максимум получим условие Р' ° (х, у, а) (О, при тех же предположениях относительно области изменения аргументов и разложимости функции Р(х, у, у') по формуле Тейлора. е) условие Р, > 0 (нли Р,, <О) часто называют усиленным условием Лежандра, а условием егежандрз называют неравенство Р,, )О (или Р,» (О). ЗбЗ озикиия егф « з « з з « н О« «'о 3 х Ох «' о к с х 3«Х со' «3 х « ФЯ ЯФ.« хс ф »З х !! К о и х о ф ь о Ж ь А «с 3» сц ь о х »х ь г~, 3» »о «'о к х Ок ф х ох Ф » О з Ю с О л «. ь о Ъ, х 3«. ~ 3» з, «'. з.' о кк х х о фК СО ь х о х о х О ф,х \ с О ф с х н О о О, Ф 3 Сс ф ф Ф «3 х о х в. о 1 :х О О о «с х Ф х х х «Х х ° « с о 3, К Ф 33' о О ° с Ф 3:» о ф О "' — Я !! Р ф ц Оо С! ь «х 3«О О О СЧ С« 4,3~\ а 9 оо а Я ~ «3 «3.
«Я Яхл К х «с ф»Ф "~ р Яксо К "сзф о о.- на хкокфх хосх х~х хсх Оффф Л :сх, х о фххо .ф «ХХ 3 СО Х О С Х сх «'к О «3 асс О "3 янсх х «3 х х хо .х «ХХС О Ссо «'» 333 "осхх „-ко~о КО» ф«, О н нхххфх 3 33КЗ о „ К"-«ХХЯ фххо .с ссфххо »о х о с Ф 3» О О нос С О. ф «3, Ос «»х к х х, х х х хо .Я ФХФ КОСО х «САФО 3-3 Х Ф « о офф - Зах ф О О о*О с Х х ф Х~ «3 С Х х Ф хо сх сзхох ХОСФХ о ххао Ьо х 3- ао с х,ф,хк «3.Я ~ и' с 'О о ««кх Я О С « ссо »О.Ф ас-„х с э, Ф ф о н к Ф о « к.
2 сх О о О о Ф со х» х М о « о о Ф достаточные колония экстремкмл !гл. а Пример 3. Исследовать на экстремум функционал а о[у(х)[ ~ (у" — у') ах, а > 0; у(0) О, у(а) О. э Рис. 8.12. образует центральное поле. При а > и условие Якоби не выполнено (см. стр.
352). Так как подыитегральная функция трижды дифференцируема по у' при любых у' и В,, = 2 > 0 при любых значениях у', то на прямой у = О при а < и реализуется сильный минимум. Если учесть замечание иа стр. 356, то можно утверждать, что при а > я минимум на прямой у = 0 не дости- гается. При м е р 4. Исследовать на экстремум функционал х, о[у(х)[= дх, у(0) = О, у(х,) = у, (см. задачу о брахистохроне, стр. 304). Экстремалями являются циклоилы х = С, (à — в!п Г) + С,, т = С~ (1 — сов г). пучок циклоид х= с, (г — в!и(), у = с, (1 — сов() с центром в точке (О, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль х=а(à — в!пт), у=а(1 — совг), где а определено из условия прохождения циклоиды через вторую граничную точку В (хи у ), если х, < 2на (рис. 8.12). Имеем у 'у'у 'у')+у' 1 У'у О+у") ' Уравнение Эйлера имеет вид у" + у = О, его общее решение у С, сов х+ + С, Мп х.
Используя граничные условия, получаем С, = 0 и С, = О, если а чь йя, где й — целое число. Итак, при а ~ Дн экстремум может достигаться лишь на прямой у= О. Если а< и, то пучок экстремалей у= С, в!пх с центром в точке (О, 0) екнкция ерс я,ж ло при любык у'. Следоватэаьно, при х, < 2пл на циклоиде х а (г — з1п г), у а (1 — соз Ь) реализуется сильный минимум. П р и м е р 5.
Исследовать на экстремум функционал в о(у(х)1= ~ у' лх; у(0) О, у(а)=Ь, а>0, Ь>О. о Этот пример был решен иа стр. ЗбО, но теперь в отношении слабого экстремума исследование можно упростить. Экстремалями являются прямые линии. Пучок у = Сх образует централь- Ь Ь нос поле, включающее зкстремаль у = — х.
На экстремали у= — х вторая а и Рис. 8.13. Ь Ь производная Р,т, = бу' = 6 в > Ог Следовательно, прямая, у = — х реали- я'т' зует слабый минимум. При произвольных у' вторая производная г,т, бу' т'т' знака не сохраняет; следовательно, указанные выше достаточные условия для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюда еше нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается. Пример б.
Исследовать на экстремум функционал л о[у(х))= / у лх; У(0)=1, у(а)=Ь, а>О, 0<э<1. о Первый интеграл уравнения Эйлера (см. случай 5 на стр. 302) имеет вкд —,+у' —,=С или у' ь 4С,У; у ° 2у гт у у извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем у =(С~х+Ст)з— семейство паэоабол. Из условия у(О)=1 находим С,=1. Пучок парабол у (С,х+1) с центром в точке А(0, 1) имеет С,-дискриминантную кривую у 0 (рис, 8.13). Через точку В(а, Ь) проходят две параболы этого пучит.
достаточные условия вкствемумл (гл. з Р(х, у, у') = Р(х, у, р)+(у' — р) Р«(х, у, р)+ Р,, (х, у, л) при произвольных аначениях у' ввиду наличия разрыва функции Р(х, у, у') при у' —.— О. Можно лишь утверждать, что на Ез реализуется слабый минимум, так как для значений у', близких к наклону поля на кривой Ет, такое разложение функции Р(х, у, у') по формуле Тейлора имеет место. Лля полного исследования этого функционала на зкстремум необходнчо рассмотреть функцию Е (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
