Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Начиная с некоторого критического значения Ь =Ь, при котором ))=юэ, значения еэ становятся мнимыми и решение в форме затухающих колебаний (37.5) теряет смысл. Как следует из теории дифференциальных уравнений, в этом случае решение имеет существенно апериодический характер, причем с ростом )7 кривые идут положе: рис. 114 в соответствует критическому значению Ь =Ь„„а рис. 114 г ! Ье (Ье >Ьхд) - значению Ь >Ьее и, соответственно, 77>юэ; две кривые на одном рисунке соответствуют различным начальным условиям. Это означаог, что тело, вьэведеиное из положе.
иня равновесия, асимптотически приближается к нему либо вообще не достигая положения равновесия (верхние кривые нп рис. 114 в и г), либо проходя его одни раз (нижние кривые), Рассмотрим энергетический аспект свободных колебаний. Кваэнупругие силы потенциальны, поскольку они являются силами взаимодействия и ие зависят от скоростей, в то время как силы трения непотенциальиы. Поэтому закан изменения энергии (15.2>! для свободных колебаний имеет вид: Ь, (Ь,<ье<Ьхг) б) Ц э г х и Ь (Ь=Ь,) е,' О Рис. ! !4 Ь(И'„4 И"„) = б« (37.10) И'„+ И', = еолп (37.11) - полная механическая энергия системы остается постоянной, лишь перераспределяясь в процессе колебаний между кинетической и потенциальной энергиями.
В момент макси- где кинетическая Ие и потенциальная Ие энергии системы, например, в случае пружинного маятника, определяются формулами (18.5) и (15.15). Работа сид трения б« с0, так как силы трения направлены против скорости, а следовательно, и против каждого мадого перемещения тела, поэтому изменение полной механической энергии также отрицательно: Ь(И'„+и'„)<О .
Механическая энергия системы, сообщенная ей в начальный момент времени, постепенно убывает, переходя в тепловую энергию. В идеальном случае гармонических свободных колебаний, когда пренебрегается силами трения, Ь(И"„4И;,) = О, т.е. 125 мального отклонения от положения равновесна х = А, , а скорость равна нулю, так что, согласно (15.15) и (18,5), Ж'„кА'гг2 и !Ф; = О. Таким образом 6'=хлг,?2 (37.12) — знергия гармонического осциллятора при ега свободных колебаниях прона циональна квадрату амплитуды.
ле аннах пропорциональ- 8 38. Вынужденные колебании Р = геашйг . (38.1) (Такую силу можно создать, если второй конец пружины не закреплять, а продольно двигать по закону гармонического колебанияи. Тогда у пружины появится гарманически нзменюощеесл со временем дополнительное удлинение, которое, будучи умноженным на й, дает дополнительную силу вида (38.!)). Уравнение движения маятника с учетом всех трех сил - квазиупругой, жидкого трения и вынуждающей - принимает вид: гт'х Ас ш — = -Кх-Ь вЂ” +)г япйг, а (38.2) или — 4 2«5 — + Я х = — Ял йг, «(х Ах г гг сгг' с(! гл (38.3) где использованы соотношения (Зб.4) и (37.3).
Внд уравнения (38.3) подсказывает искать его решение в форме гармонического колебания с частотой вынуждающей силы й: х(г) = Азш(йг«-и), (38.4) где А н ег - некоторые постоянные. (Цействительно, тогда каждый член в уравнении (38.3) будет иметь вид гармонического колебания с круговой частотой й и есть шанс удовлетворить уравнению, поскольку сумма гармонических колебаний одинаковой частоты является гармоническим колебанием той же частоты.) Подставляя в уравнение (38.3) ф>нкцию х(!) из (38.4), ее первую н вторую прашводные по времени г(х/ггг= Айсоз(й! «- (г) и олх?гг(гг =-Ай' зш(йг+ Ег), имеем после деления на А: -й' за(йг+ Р) т 2))й соз(йз+ Р) + иг' зю(йг «- Р) = — 'Яп йз, (38.з! Аш или й'ЯП(йзья+т)«2()йВ(й!+4Н--)+юг'ЗШ(ЖЬЕг)= — гиа()Г. (386) 2 Ат Свободные колебания в колебательных системах происходят при отсугств шних в з о действий (квазиупругую силу и силу трения рассматриваем как вн е ри отсугстваи внесилы , ггте ), перь поставим вопрос: как поведет себя осциллятар, если на него будет действовать периодическая во времени внешняя сила? Как мы увидим, в зтам случае в системе также будут происходить колебания, но существенно отличающиеся по своим свойствам ат свободных колебаний.
Такие колебания нюываются в ы н у ж д е н н ыми, авызывающаянхвнешняя сила- вынуждающей силой. Исследование проведем снова на примере пружинного маятника, причем вын аю юс щу илу для простоты будем считать зависящей от времени по гармоническому закону с круговой частотой й: 126 А= э .эГ'ГН9 Тго ' (38.7) и ]Гйу( = 2бй(У)гс э -Й'1, откуда с учетом р < О !8р = —, . (38.8) 2?й? гу) Рис. 115 К тону;кс Веэуяьтээу мэкнс нрнлпэ, праэся» иеносрэястээннм выкээякн. Рэскрывая в формул» (38.5)синусы и косинус суммы углов н группируя члены с множит<лами пи Й! и соэ()г, по:гчнм.
(м„— Й')созп-2дййс р- — "- з)лЙ1+](и, -Йэ)зю р>2!й?соз4э]свай!=О (ззд) Аж? Нырэменис а ам Ж ьЬсозСп с настоянными ксэффнниэнтэми а н Ь равно нулю е яюваи момент времени толька при условии с = Ь = О, ноэ гому уравнение (3891 эквнвэлснтно сисэгме уравнении: (гээ -Й )соя!э-2))Йэю уэ= —, 1 э Аяэ (383 О) (ыэ -Й )пп р+20Й соэр = О Нсэвсля обэ уравнения в квэяраг и скээяывэ» нояучэннмэ уравнения, нмэсм э (Гээ' -Й')' 44(уэйэ = — ' (38.!!) Аэ э эткуяэ выпекает фэрмулэ (38 7). а формула (38.8) сэсяуст из второго уравнения е (38.
!О). Таким образом, доказано, что решением уравнения движения (38.3) действительно является гармоническое колебание, описываемое формулой (38.4). в которой амплитуда А н начальная фаза р определяются формулами (38.7) н (38.8) - зто колебание называют в ы н у жд си вы м к еле ба пи ем. В формуле(38.4) отсутствуют произвольные постоянные, и, следовательно, вынужденное колебание представляет собой не общее, а час~нос решение дифферснииельного уравнения (38.3). Можно показать, что Уравнение (38.6) означает, что сумма трех гармонических колебаний круговой частоты Й, стоящих в левой части.
должна быть равной гармоническому колебанию тай же частоты, стоящему в правой части равенства. Векторная диаграмма этих колебаний представлена на рис, ! 15 а для случая р> 0 и на рис. 115 б для случая р< О, где для обозначения векторов-амплитуд использованы конкретные выражения амплитуд колебаний. (Считаем -к<(э< к, т.к. добавлением 2мэ можно любое значение р свести к значению из этого интервала) Из рис.
! 15 а видно, что при р> 0 сумма трех векторовамплнтуд ы,', ?6 и 2)УУ? не может быть сделана равной вектору-амплитуде Рэ/Аш суммарного колебания, т.е, значение сэ>0 уравнению (38.6) нс удовлетворяет. При О< О можно удовлетворить уравнению (38.6) соответствующим выбором значений р и А, как зто видно из рнс. 115 б; здесь сначала сложены противоположно направленные векторы гсэ' н 44, а затем к полученному вектору (мэ -??э) прибавлен третий иектор 2)И? .
Из треугольника на рис. 115 б находим; (Р„г'Алэ)' =(шэ' -Й')' е4/УЙэ, откуда функции А(Й) (максимумы с минимумами и наоборот): А)(лй[(ю,з-Й')э +4)уейз) = 2(ю, -Й')(-2Й) 44)У 2Й=4Й( — азз 4Й' 42 У) = О. Следовательно, экстремумы функции А(Й) дости! гаются при значениях Й= О и а) (38.12) ,>Ь, Й, =,~ в,э -2))а. 3 >ФБ3 Последнее значение, очевидно, соответствует максимуму функции А(Й), вид которой приведен на рис. 116 а (кривая с Ь=Ь,).
Когда частота вынуждающей силы Й приближается к значению Й,, амплитуда Гез вынужденных колебаний возрастает и прн Й=Й, достигает своего максимального значения. Это явление называется р е з о н а н с о м и, соответственно, кривые зависимости А(Й) называются амплитудными 0 6) резонансными кривыми, а значение Й,„,- резонансной частотой. Согласно (38.12) резонансная частота все- гда меньше частоты ю, собственных ишатухающих -л( колебаний, однако обычно коэффициент затухания 77 достаточно мал ())с «а, ) и резонанс практически наступает при достижении частотой вынуждающей силы собственных колебании ю;.
> 1д77т Рис. 116 значения частоты (38.13) Й., =юэ С ростом коэффициента трения Ь, а вместе с ним и коэффициента затухания )7, знаменатель в формуле (38.7) увеличивается, амплитуда вынужденных колебаний уменьшается и резонанс становится выражен менее резко (кривая с Ь =Ь, на рис.
116 а). При очень большом трении (Ь>э(2явз) 2ф'>аз,' н значение Й, в (38.12) становится мнимым, т.е. резонансная кривая не имеет максимума и, следовательно, резонанс отсутствует(кривая с 6 = Ь, на рис. 116 а). общее решение уравнения (38.3) складывается из решения (37.5) для свободных колебаний и решения (38.4) для вынужденных колебаний. Со временем собственные колебания затухают и остаются только вынужденные колебания, которые, следовательно, описывают установавшийся режим в системе. (Изучавшим теорию линейных дифференциальных уравнений, рекомендуем осмыслить проблему с позиций этой теории). Проанализируем зависимость характеристик вынужденного колебания от параметров задачи.
Частоту вынужденных колебаний, подчеркнем еше раз, задает вынуждающая сила, а их амплитуда и фаза зависят согласно (38,7) и (38.8) как от характеристик вынуждающей силы (Р;,Й), так и ат параметров колебательной системы (ж,я,Ь). Наиболее важной и интересной является зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы А(Й), определяемая формулой (38.7). При Й=О с учетом (364) А(О)=г,/Ь; при Й-ью А(Й)-+О; экстремумы функции А(Й) определяются из условия АА)ей=о, но достаточно приравнять нулю производную подкоренного выражения в (38.7), так как его экстремумы совпадают с экстремумами 128 Зависимость сдвига фаз р мюкцу вынужденным колебанием (38.4) и вынуждающей силой (28.1) от частоты й вынуждающей силы определяется формулой (38.8).
Как было выяснено ранее, р < О, т.е. вынужденное колебание отстает по фазе от вынуждающей силы. На рис. 1!б б приведены три фазовые резонансные кривью и(()) при различных значениях коэффициента трения Ь. При малых значениях частоты П вынужденное колебание и вымуждающая сила почти синфазны. С ростом П отставание по фазе растет, при П=а, оно равно -ж(2, а при П-ью р-о-л, т.е. при больших частотах вынужденное колебание находится в противофюе с вынуждающей силой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
