Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Оолэоэсс урэвлсиис слс'кнсс уломэнутых уравнений движсин», поскольку амо прсдставлкст собой дифференциальное уравнение в частных лронзвомзых, однако сузь сстастс» той жез лл» из хоадеииэ конкретной формы волны леоб холимо кроме дифференциального волнового уравнение зэк»Вать щкотслзыс дополнительные услояил. Праиывострирусм зту ньжль л» рассмотрением примере с попсре'.мыни волнами в натяиугои »тру. ис.
Пустьстру~э имеет данну! и ыюзко зэкрспыиэссбоилкопповв тачках »=0 и х=! . Этаозиэчэст. что ив концах струим эозмупюые равно нулю. 139 )=л —. (42.151 2 Стоячие волны. соответстсвуююме значеннам л = 1,2,3, представлемы иэ ркс. 128 графиками ампантудэав фуюспнн А„(х) (пунктиром даны функпин — А„(х) ). их денны волн согласно (42 ! 5) 2! и (42.!4) и=! а частоты. с учетом (40.5) и (42 !6), ю„= 2л)Т, = 2лсЯ„= лез!(1 лжй лг ю„= — и, ! (4" 17) л=З где скорость г определяется формулой (42.13).
Таким образом, с роста» и длин» волны уменыдэетс», а частота колебаний растет. Общую фюрмуау э!их стоячих волн получим, подставляя значенн» Л„и ю„нз (42 Щ) и 0 (42 17)в формулу (4!. !) (множитель 2 опускаем! Рнс. 128 ф„(х,!) = А ВЩ! -л~х сой — '«~! . (42.!8) Описанныестоачиеволеынаэываются «обствен ныл и колебаниями струны. Произвояьнае возмущение струны, удовлетворяющее граничным условиям (42 14), может быть представлено как сущ.рпазнпнэ стоячих волн вида (42.18): 4(х, !) = ~ А„зщ — л~я со~ — и)! (42.19) с соотэетсзвуюнщми амплитудами А„, завнсжлими от ущовий возбуждения. Такого рода собственные колебащщ (гармоники, моды) присущи любому упругому телу, хотя их форма н спектр частот могут быль в'.сьма щоэжыни, По смыслу снк аначогнчиы нормальным колеба.
юмм в связанных системах (см. с. ! 20 ! 22) в обоих случаях произвольное колебание системы являегса на суперпсзилисй. В овязанной сне!мы масса системы сосредоточена в телах (пруещны невесоны), э упру. гость ° в пружинах (тела эбсожотно твсрлые); поэтому ее называют системой с с о с р с д о т о ч е н ° н ы и и п а р а м е т р а и и. Такая снсзема состоит нз конечного чиащ тел, она имеет конечное число колебэтеяьнь!х степеней свободы и, соответещенко, конечное число нормальных калебаэий.
8 силою. ном массивном упругом теле (стержень, струна) упругие и инертные свойсзва, характеризуемые, аоответсгэенно, мояулями упруг юти и плотнощью ащнества, распрнмлеии по телу щ.прерывно. Его монно рассматривать как совокупность бескоисчнага числа бесконечно малых элееентов; соответственно, оно имеет бесконечное число колебательных степеней свободы н «ак следювнс - бесконечное чисао собственмых колебании, как показано нэ примере закрептенной струнь!.
8 43. Некоторые дополнительные сведения об упругих волнах Поскольку свойства жидкостей н газов рассматриваются в последующих разделах курса, мы не будем здесь подробно анализировать волновые процессы в этих средах, а приведем лишь основные сведения о них. Подчеркнем еще раз, что в жидком н газообразном веществе не могут возникать поперечные волны, так как в этих средах осуществима лишь деформация всестороннего разрежения-сжатии, а для возникновемия поперечных волн необходимо наличие деформации сдвига. Приведем без вывода формулы для скорости упругих волн в газообразной н жидкой среде.
В газах (р Гвт Р 'В' и (43.П 140 Здесь у= с„/г, <1,3 1 О, где с, и с„- молярные теплоемкости газа соответственно, при постоянном давлении и постоянном объеме, /з - плотность газа, р - давление, Г- температура, д - молекулярный вес газа. В жидкостях (43,2) н где //=(гЗ'/ф)„(!' - изотермичсский коэффициент сжииаемости (он численно равен относищльному уменьшению ЛР//г объема при увеличении давления на !Па при постоянной тсмпсразурс).
Для полноты картины напомним формулы для скорости распространения упругих продольных (42.4) и поперечных !42.8) вали в твердой среде: (43.3) где Ь' н С - соответственно, модуль Юнга и модуль сдвига, Оценки, сделанные по формулам (43.1) - (43.3), дают, в согласии с зксперимеитом, следующие приближенные диапазоны скоростей упругих волн в различных средах при нормальных условиях. В газах 100 м/с< В„<1300 и/с (наибольшая скорость - в водороде, у которого /з м 2). В жидкостях 900 м/с< г „„,.
<1400 м/с. В твердых телах 1000 м/с< г <6000 м/с(у свинца для поперечной волны гм700 м/с, у бернллия для продольной волны зм(2000 м/с ), Заме!им, что в твердых телах скорость продольных волн в 1,5 +2 раза больше, чем поперечных. Таким образом, как правило д„<г „<и Упругие волны, частоты которых находятся приблизительно в диапазоне частот 20Гц< к<20000Гц, воспринимаются человеческим ухом и называются звуковыми. Монохроматическая волна соответствует чистому тону, а ее частота определяет в ыс о т у звука: чем больше частою, тем "выше" звук. При звучании свободной струны, когда в окружающей среде распространяются волны с частотами, представленными в колебании струны (см.
(4217) и (4259)). собственное колебание с л = / дает основной тои, а колебания с л=2,3,4,... июываются а б ер то н ам и, Соотношение амплитуд А„, с которыми представлены основной тон и обертоны в звучащей волне, определяет "окраску" звука - его т е м б р. Интенсивность волны, с которой непосредственно связана громкошь звука, в случае монохроматичсской волны пропорциональна квадрату амплитуды н частоты (см.
далее формулу (45.5)). Упругие волны со значениями частоты, примыкающими к звуковому диапазону, называются соответственно ни ф раз в уко м (прн г<2ОГц) н ультр аз вуком (при к>20000Гц). Инфразвуковые частоты характерны для различного рода возмущений, распространяющихся в земной коре. Эти волны слабо расссиваютса на малых неоднородностях и потому способны распространяться на болыпне расстояния. Напротив, ультрювуковые вояны с малой длиной волны (2 < 2см) не огибают даже сравнительно небольшие предметы, частично отрюкаясь от их поверхностей, Их применяют с целью обнаружения дефектов в тшпце рюлнчиых материалов (дсфектоскопия), в гндролокации, а также в медицине для зондировании внутренних органов (УЗИ - ульзразауковое исследолание), Для получения ультразвуковых волн используют специальныс пьезозлектричсские излучатели (о пьсзозффекте см.
а разделе "Электрячество"), позволяющие сформировать достаточно узконаправленный пучок ультразвуковых лучей. Существует целый ряд явлений, которые характерны для любых волновых процессов, ншависимо от их физической природы. Среди них: д и ф р а к ц и я, т.е. 141 0 44. Эфф»ю Данн»ар» рклн источник и прим|пик звука даюкугая врут отнеси»иьна »руга, то частот» к' колебаний, регистрируемых лрисмникан, атапчаетса от частоты»к истачняка звука. Этот зффмгт н»ипмют ъ ф ф с к»а» Допплера, Пуан, источник звука созсргпает колеб»юм с периодом Т,, которые распространи»тел в ?тф?гог! среде са скаршпъю зеука», Проследим за двумя возмущениями, посылаемыми истачникам а мамснтм времени), н 1, +Т,, т.с.через период-н»заесмихснгзиланм.
Если источникисриемннкнспадаяюи атнсантеаъно срезы, то аб» снпзала, н»ходзсь а пути одинаковое арми, ластул»ют а приемник с теи ъе временным интервалам Т и, следа»из»льна, период регистрируемых приемникам колебаний равен перлалу казей»ний источника. Если источник движетса относительна среды с дозвуковой скарсегъю» саку»пня меняется. До приемника А, а сторону которого движется источник (рис. )ю), второй сипаи пройдат путь 5 иеньиий, чем первый бо на та расстояние Я = »„„Т, которое проходит источник за период Т, . Саатзегствснна, интервал Т ?южау синаламн, импрнипыни приемникам, ок»антса меньша периода 7; н» величину ЬТ = Я/» = »„Т(» .
Следовательно, период принлмаеммх каясбаняй Т = Т вЂ” ЬТ = 7» (1 — »„„/») . Да прис»инка В. ат «отарога истсчкик уд»ласшя. втараа сиги»я ирак халик пуи больший, чем лсръьи, а» ту жа величину Я н, соответственна, период васи»пнем»еемт ам ксяеб»иии баяьис период» колебаний нстачиви: Т=Т+ДТ»Т(!+ „.,/ ). Э у фа ?у объединить с прелюд?щей. иап уиаагптая сикт»ть 1=))+Тс учъ скорость исючник», удаляюпаз а»я ат при»ианк», атЩг — !) рациъаьнай. Пер»кадя от нериодав к част»тем г )В' ? = 1/7' н»„и 1/7;,имеам: щм- ) ')/1 к'к к' »„ 1 — -"— » Вин Т„ (44.1) Рис. 109 где» - ч»иат» колебаний источника, ? - частот» калсб»ний, воспринимаенгм приемником.
Сагисна формуле 144.1) и»блюд»сная ч»сгат» колебаний к' бсльис чаатотм источник» П, сслк исто иик прнблюистса к приемнику (»»„ъ О), н мепылс «агл» источник уд»ляетгл ат приемника (»„„< О). Для чслаик», мима катарага пропасется»атомы б г ь с и лючсннай аириюй, высота васлрнним»слога ук сирень зз» г пр»ктичсски скачком паинжаеия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
