Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 33
Текст из файла (страница 33)
сз~ьз сз / дзс ) д /4/! с(~з' Сзи о~зг, дх з(и гзх Ыв' дх' дх(дх) ох(ди) з/и' гух з)и* г; 4/дл 4/ д*( г/дб) д/ 4/) Д/44) 4*/ Ъ,цз/ д! ей зуз аи ' дй ст! ( дг ) /й (, с(н) сз! (,ли/ сзи' дз лиз зз~ ~з г узь ~з Г чь ! тз» Таким образом — = — н — = т' —, откуда — = — —, или гухз дрз сузе св» стхз тз стгз ' зт~ч ! ст~ч — - — — = О. 3 уг (40.3) Этому дифференциальному волновому уравнению удовлетворяет и волна (40.2), распространяющаяся против оси Ох: ее формула отличается от формулы (40.!) знаком скорости, а уравнение (40.3) инвариантно относительно замены т-+-ю В общем случае, когда волны распространяются в пространстве, а не вдоль фиксированной линии, дифференциальное волновое уравнение для возмущения О = /(х,у,з,!) имеет вид: зз'4 д'~ сз'б ! сз'4 — т — т — — — = О.
у» дз Зз „з сзз (40.4) Если в хо е е ния како"-либо н мичес й з ачи ок же я то п смен ая н ма ..) !еи з з алзадачемыйм е ело сволиовымп о весом. ен ельцом во ново б ет з ачат ч о анна Монохроматические волны. Среди всевозможных воли особую роль нграот и он о хром ати ч е с к и е в о ли ы ( моно"-одно, "хромое"-цвет), представляющие собой распространение гармонических колебаний. (Термин заимствован из оптики, где ыанохроматической волне соответствует чистый спектральный ивет.) Их особая значимость свюана с теоремой Фурье, согласно которой практически любая бегущая волна может быль представлена как совокупность монохроматических волн (сравните с аналогичной выделенностью гармонических колебаний среди всевозможных периодических процессов).
Формулу манохроматической волны, распространяющейся в направлении оси Ох, получим, лов~прая проведенное ранее рассуждение: если возмущение в точке х = 0 про- )32 исходит по закону гармонического колебания 2(ог) Аяша«, то точку с координатой х в момент времени Г будет проходнть возмущение со значением фазы, ко~орое было в начюге коордниат раньше на время г= х! «, необходимое для прохождения возмущением расстояния х; ь(х,г)=Азам(г-х)«) .
Помимо характеристик, общих с гарманнческим колебанием, амплитуды А, круговой частоты гс, частоты «н периода Т, а также скорости распространения «, у монохроматнческой волны есть еще две характеристики - длина волны н волновое числа. д л и н о й в о л н ы Л называется путь, который проходят возмущение (состояние с определенной Фазой) за время, равное периоду колебаний Т: Л=«Т. (40.5) Волновое ч испо В обратно длине волны нопределяется формулой: я=в 2я Л (40.6) С учетом этих формул и соотношения со= 2к Т имеем трн эквивалентные формулы для монохраматической волны, распространяющейся в направлении оси Ох: А па м(г — х! «), ! х б(х,э)= Азш2т( — — — ), Т Л' Азю(сх — )х), (40.7) нз которых последняя предпочтительнее для использования ввиду ее компактности.
Проанализируем зависимость возмущения в молохроматнческой волне (40.7) от каждой нз переменных х н г в отдельности. В фиксированный момент времени г э, возмущение является функцией одной переменной х; Дх,э,) = А зш(сх, -Лг). (40.8) ф(х,! ) ."(. +Аг) График этой функции, который естественно назвать ь.. ! О .:" ' "мгновенным профилем волны", представлен на рис. )20 х,, х, сплошной линией. Со временем величина сх растет н сн—. Л вЂ”вЂ” нусондальный профиль волны перемещается со скоростью «в нытравленин осн Ох -.на рис. ! 20 он и:редставлен в Рис.
)20 момент э, + О! пунктнрпой лннней. В фикснрованной точке х = х, возмущение является функцией одной переменной! н представляет собой гармоническое колебание: ((хо!) = А нп(сх -)х,). (40.9) Начальная фша этого колебанию, в отличке от амплитуды и частоты, зависит от положения точки: !э = -)х, э.е. с ростом х увеличивается отставание по фазе. Колебания в любьи двух точках х, н х„отстоящих друг от друга на длину волны (х, — х, = Л), имеют разность фаз 2л, те.
сннфаэны: Н, — Нз =-)сс, -(-lсс,) 4 ВЛ=2х (сннхронность этих колебаний показана на рис. )20: б(хпг) = б(х„г), Дхпг, тбг)=б(х„г, ьбг)). Тем самым выясняется второй фнэнчсскпй смысл длнны волны: она равна кратчайшему расстоянию между точками, в которых возмущения синфазны. !Зз Сферическая и плоская волны. До сих пор мы изучали оегущие волны 4(х,г), описывающие распространение колебаний вдоль одной прямой, например, вдоль тонкого стержня или резинового шнура. Рассмотрим теперь общий случай, когда колебания распространяются в пространстве и, соответственно, возмущение зависит от всех трех пространственных координат: 0= б(х,у,з.г).
Обычно исходное возмущение порождается тем или иным источником волн. Источником звуковой волны, распространяющейся в воздухе, могут, например, служить колеблющиеса ножки камертона, а источникам рялноволи - излучающая антенна. Рассмотрим распространение моиохроматической волны от точечного источника, размеры которого существенно меньше длины волны порождаемых им волн. Некоторое возмущение, имеющее определенное значение фазы, распространяется от источника по всем направлениям, занимая в пространстве некоторую поверхность. Эта перемещающаяся со скоростью вочиы поверхность, во всех точках которой возмущение имеет адис и то же постоянноезначение фюы, нюывается фр он то м в о ли ы. Положение фронта волны в фиксированный момент времени называется в о л н о в о й п ов е р х и о с т ь ю.
Волновая поверхность неподвижна, во всех ее точках возмущения совершают синфазные колебания, воспроизводящие с соответствующим запаздыванием колебания исходного возмущения. Если изобразить положения фронта волны в последовательные моменты времени го г„г„..., получим семейство волновых поверхностей. Линии, всюду перпендикулярные волновым поверхностям, называются л у ч а м и. На рис.
121 воановые поверхности изображены в сечении плоскостью чертежа сплошными, а лучи пунктирными линиями. Ои В однородной и изотропной среде скорость волны во всех точках и для всех направлений одинакова, еле- еояй довательно, за некоторый промежуток времени воз- !э мущение от источника распространяется по всем направлениям на одинаковые расстовиия, образуя сферический фроят, Волна со сферическим фронтом называется с ф е р и ч е с к о й. Ее волновые поверхности - концентрические сферы, лучи - радиальные прямые (рис. 122), а формула сферической монохроматической волны имеет взщ: Рис. 12! фг,!)= — зш(ая-й'), А г (40 10) игтяачпих '" )у~ где А=союз, г - расстояние от источника.
Таким образом в отличие от волны, распространяющейся вдоль линии (как в случае тонкого шнура), амплитуда Рнс. 122 сферической волны А/г по мере удаления от источника убывает обратно пропорционально расстоянию. Если исследование ведется в небольшой по сравнению с расстоянием до источника области пространства (на рис. 122 условно изображена окружностью), то сферические волновые поверхности можно приближенно считать параллельными плоскостями, расходящиеся от источника лучи - параллельными прямыми, а также пренебречь малым изменением амплитуды, считая ее постоянной в этой области. Волна, у которой фронт является плоскостью, называется и л о с к о й. В плоской волне возмущения распространяются одинаково вдоль всех параллельных друг другу лучей, т.е.
при выборе оси Ох в направлении лучей зависят только от координаты х н времени (рис. 123). Поэтому она описывается той же формулой, что и волна, распространяющаяся вдоль оси Ох: 4(х,г) = А ив(ах-яс) . (40.11) 134 б 41. Стоячан волна а-/) ачр язва-нпр 2нв — соз —, имеем с учетом(406): 2 2 б(хг) = О (х Г) + бз (х !) = 2А нп(2 к/Л)» совет . А(х) (41.1) 'Зта формула описывает с т о я ч у ю в о л н у.
Согласно (41.1) во всех точках стоячей волны происходя~ гармонические колебания с круговой частотой ы и амплитудой, которая, будучи по определению положительным коэффициентом перед осцнллирующим множителем созсх, является модулем функции А(х) = 2А зм — х, 2п (41.2) т.е. периодически зависит от координаты х. График зависимости А(х) даи на рнс. !24.
В точках с координатами х=п, хЛ/2, 2Л,..., хлЛ/2„.. А(х) =0 здесь располагаются у з л ы стоячей волны. Чередуясь с у!лами, в точках х = йЛ/4, х3Л/4, ..., К(2л е 1) Л/4, . Располагаются п у ч н о с т н, в которых амплитуда максимальна: А(х) = 2А Узлы, как н пучности, находятся на расстоянии Л/2 друг от друга. А/хрнОА з(л Лпх . ьх/х,О) ь/х Тхс) Л . ' с ь/х.Т/4) О О(х,3 ТIВ/ б/х, Т/2) вучнагзяи Рнс. 134 При наложении нескольких монохраматических воли одинаковой частоты возникает их интерференция, проявляющаяся в возникновении устойчивой картины распределения амплитуды результирующего колебания, обычно с характерным чередованием максимумов и минимумов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
