Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 28
Текст из файла (страница 28)
расположим тело на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепив свободный конец пружины к неподвижной стенке (рнс. 105). Координатную ось Ох направим горизонтально от стенки. выбрав начала отсчета О е центре масс тела. когда оно находится в положении равновесия и пружина не деформирована.
Если вывести тело из положения равновесия, сместив его или сообщив еиу начальную скорость вдоль оси Ох (или сделав и то, и другое), а затем предоставить самому себе, то оно будет двигаться вдоль этой оси. Для нахождения кинематического закона движения тела т(1) необходимо записать уравнение движения. т.е. второй закон Ньютона в дифференциальной форме в проекции на ось Ох, и найти его решение. Из трех сил, действующих на тело, когда оно находится в некоторой точке траектории с координатой х: силы тяжести щл, 115 уравнения движения (36.2) нет (см. с. 29).
Чтобы знать. с какими амплитудой и начальной фазой будет происходить колебание, необходима дополнительная информация, например. задание начальных условий - значений координаты и скоростн в момент времени 1=0: х(0)= х, и ь„(0) = ь,. Потребовав выполнения начальных условий, т.е. приравнивая значения координаты х(1) нз (36.3) н скорости г,(1) из (34.6), взятые в МОМЕНТ 1 = О.
ИХ ЭаДаНИЫМ НаЧаЛЬНЫМ ЗНаЧЕНИЯМ Х„Н тю ИМЕЕМ: Ама и= хз, А ы„совр = 13 . (36.5) Из этой системы уравнений находим: «ь Юо (36.6) ю„ "о Рассмотренная задача - типичный пример свободных гармонических колебаний с одной степенью свободы, т.е. описываемых одной изменяющейся со временем координатой, в нашем примере - координатой эела х(1). Их отличительная черта состоит в том, шо они всегда происходят с определенной частотой, зависящей только от параметров системы, в нашем случае - от массы тела и жесткости пружины.
Что касается амплитуды и фазы, то они определяются начальными условиями, т.е. зависят от способа возбуждения колебаний. Проведенный анализ показал, что тело совершает гармоническое колебание, если уравнение движения тела имеет вид (36.!) или, что то же самое, (36.2). Но вид этого уравненив движения предопределен видом выражения для результирующей силы (36.7) яаяоак равно Рис.
106 причем вовсе не обязательно, чтобы эта сила была упругой, как в случае пружинного маятника; необходимо лишь, чтобы она была направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению относительно него. Сила, определяемая формулой (36.7), независимо отсе физическойприроды называется кв аз и упругой. Такимобраюм. свободные гармонические колебания происходят под действием квазнупругой силы.
Если пружинный маятник подвешен вертикально (рис. 106), за счет действия силы тяжести юо положение равновесия сместится вниз на расстояние Ыо = лзй/Л, так как в положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения пружины: (сЫ, =тя. В системс координат с началом отсчета в новом положении равновесия О уравнение движения тела имеет вид; я1(аох11А1') = -Л(х+Ы, ) ьозй, так как в этой СО удлинение пружины агуяу - (с (13(очку 6(= х+Ы,. Слагаемые -й Ы, и мл (о Ру рж-(СА( уяр= о в правой части взаимно уничтожаются н уравнение дни кения прини- к)( о мает обычный вид (36.1).
Следовательно, постоянная сила, действу- ояис х Яо +х ющая наряду с квазиупругой, приводит лишь к смещению положения пзл х равновесна, ничего не меняя в харак- шл тере колебаний. 116 Говоря о свободных колебаниях, естественнее иметь в виду не колебания одного тела, а колебания в сисгемс, состоящей па крайней мере из двух тел. Примером может служить система, состоящая из двух тел, соединенных невесомой пружиной (рис. 107). Можно показать, что в этой системе, если ее вывести из положения равновесия, расстояние между телами будет юменяться по закону 1(1) = 1 о 1, эй яп(гс,!э и), где 1, - естественная длина иедеформи- 8И'чв!) рованной пружинЫ. упругие силы )г, и Рз, действующИе на тела со стороны пружины, являются внутренними си- О лами системы, с чем н связан термин "свободные колеба- Д Д () () 5 (Д (О ( ) нкя", т.е.
колебания, происхолящве при отсутствии внешних сил. Система двух квазиупруго взаимодействую- !(1)и )зьАз(л(юа!+аз) щих тел называется гармоническим о си иллят а р о ч (озсй!аноп - колебание). Пружинный маятник- частный случай гармонического осциллятора, у которого вторым телом является Земля. В уравнении движения (36,2) коэффициент при х, согласно (36А), равен квадрату круговой частоты собственных колебаний: 0/т=ш,', так что это уравнение можно записать в виде: Рнс. 107 (36.8) Оно представляет собой ди ф ф ер ел ц и ал ь но е ур аз н е н и е г ар мои и ч е са ° -.Р) ен альве авнен ю 368 можно тв ать что о а из сн ется о олой частотой ю, йавно$ щщ(йатйопу закон га м н ческог колебания 36, с к ню коэ н ие а п и х(1) аэто аа сн и и с а пл ой и начальной кото ыео еля ся ч ю начальн ы анн е о лами вн а 366 Физический и математический маятники.
В качестве второго примера свободных гармонических колебаний рассмотрим малые колебания маятников, у которых момент силы, возвращающий тело в положение равновесия, обусловлен силой тяжести. Ф из и чески м м зяти и ко м называется твердое тело, которое может свободно вращаться относительна неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела (рис. 108). На этом рисунке г — радиус-вектор центра масс С маятника относительно перпендикулярной плоскости чертежа оси вращения (), вдоль которой - на читателя - направчена координатная ось Оз; угол зз, характеризующий положение радиуса-вектора г, отсчитывается от вертикальной оси Ок в направлении, согласованном с направлением оси Оз правилом буравчика.
Чтобы выяснить, как будет двигаться физический маятник, если его вывести из положе- Ю М ния равновесия и затем предоставить самому себе, следует записать его уравнение движения- уравнение моментов в проекции на ось вращения Оз (19.11): ( — = ~.м„ акр (г ' сь (36.9) и найти его рещение 0(г). Здесь ( - момент инерции маятника относительно оси вращения, Рис. 108 "Г згаь - сумма проекций моментов снл относительно оси Оз на эту ось. 117 На маятник массы ш действуют две силы: сила тяжести тй, приложенная к центру тяжести С, и сила гУ реакции оси, на которую насажен маятник; всеми силами тренин пренебрегаем.
Момент силы !У относительно оси вращения равен нулю, так как зта сила направлена радиально от оси вращения, как показано на рис. 108. Поэтому суммарный момент сил сведется к моменту силы тяжести; яя, = '(г, вй~ . Его проекция на ось вращения Ох определяется формулой я(, =-мы ия и (36.10) В необходимости знака минус в этой формуле легко убедиться: например, в почоженни маятника, изображенном на рис. 108, !з>О, а момент М„направлен за чертеж, т.е, М, < 0 в согласии с формулой (36.10).
Итак, уравнение движения физического маятника имеет вид: Ы р ! —, = -мйг яп !О. гуг' (36.11) Решение этого дифференциального )равнения довольно сложное н мы ограничимся рассмотрением движений, при которых угол зз отклонения от положения равновесия настолько мал, что можно считать или» р . Выражение для момента силы тяжести (36.10) при этом упрощается: М, — (тйг)р (по аналогии с квазнупругой силой (36.7) его естественно назвать квазиупругнм моментом сил) и уравнение (36.11) принимает вид: 7 —,=-тйг р.
г(' Зг гй (36.! 2) или ЫР тйг —,Ь вЂ” Эх=О. Агх 7 (36.13) Уравнение (36.! 3) для функции (с(1) является уравнением гармонического осциллятора (36Я), в котором м, = —. Поэтому можно сразу написать его общее решение: и28У 7 гя(г) = А зш ( а,г ь а), (36.14) где м„= (36.!5) (Начальная фаза колебания в формуле (36!4) обозначена буквой а.) Таким образом малые колебания физического маятника в хорошем приближении янляются гармоническими, а их круговая частота зависит от массы ш маятника, его момента инерции 7 относительно оси вращения и ат расстояния г между осью вращения и центром тяжести маятника.
Амплитуда А и начальная фаза а определяются через начальные данные, т.е. значения угла и угловой скорости в начальмый момент времени р(0) = р, н П„(0) =П, па формулам, аналогичным (36.6) (угловая скорость здесь обозначена буквой П, чтобы не спутать с круговой частотой колебаний гс ). 118 Рис. 109 (36.16) Вспсому физическому маятнику можно сопоставить математичжтхщ маятник, имеющий ояинако- вук с пнм круговую частоту собствениык кошбапий Фс .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
