Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Не останавливаясь на примерах проявления явления резонанса в быту и в технике, хорошо кзвестных из школьных учебников, отметим огромную роль, которую играют резонансные методы исследования в современной науке. Их суть состоит в том, что, подвергая вещество пернодическому внешнему воздействию с рюличными частотами, по оптимальному "отклику" системы, наступающему при резонансе, выяюиют характерные собственные частоты молекул, атомов, ядер и т.п. каков будет харагпср вьвпзкыщщх колебаний, соли псриодичсскаа «ьшуждаюшл» сила г, (г) нс сянусоидально зависит от врсмсюу представлю сс в виде разлоюыия в ряд Фурье Р(г)= "Г г„зш(лй(+ и ) (эдссь П = 2л~Т, где Т - период силы; нссущютвсннос псстояинос слагасмос в разложсини опускаем), получим в правой части дифференциального ур алисина вынулщсннмх кожбащы (Зб 2) сумму сннусоидэльных вынужааюших сил виэстс аллой.
Как следует из теории дифференциальных уравнений, решение такого уравнения аладьшастся из рсшсний, обусловлсиных кандым слагаемым правой части в отдсльноспг. Следовательно, вынуждсннос колебание есть суперпозиция вынужлсннмх колебаний, праисхоюшшх под дсйствмсм сииусоядэльных составляющих (Фурье-комиомсит) вынуждаюшсй силы. Это угвсрзщсннс справсдмша и для нспсриодичсской вынуждающей силы с той разницей, что в этан юучас в разлозмнии Фуры сумма эаиснастся инюгралом, те в Фурса.разложмищ силы присутствуют гармоники с любыми частота ни, а ис только кратными юновиой частоте, Анализ выаужлсмиых коясбаний аигармоиичсскаго осциюытора и сааэаниых систс» довольно сломав. Ограничимся утверждением, что в случае свнусоидыьной выиужяэющсй силы резонанс наступасг при соыадсшщ частоты вынуждающей силы с характерными чвототами систамьс у ып.армоничсского осциатпора с частотами гармоник, вхолмпих в формулу (Зб.25) сто саобадаых коюбаний, а у свюаннай системы ° с ю собсгвснными частотами.
129 ГЛАВА 1Х ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В МЕХАНИКЕ ф 39. Общее представление о волновых процессах В физике часто возникает ситуация, когда изменение некоторой физической величины в какой-либо области пространства (возмущение) ие остается локализованным, а начинает распространяться с характерной для данных условий скоростью. Такой процесс распространения возмущений называется б е г у щ е й в о л н о и. Пока речь идет об общих свойствах волн, безотносительно к их физической природе.
будем обозначать возмущение буквой б . Поскольку волна распространяется в пространстве и представляет собой динамический процесс, возмущение в общем случае является функцией пространственных координат х,у,с и времени 1; ь= х(х,у,сд) . Эта функция, описывающая и а я е в о 3 и у щ е и и й, дает полную информацию о волне, определяя значение возмущенна в любой точке пространства в любой момент времени. Приведем конкретные примеры волновых процессов. Если в жидкой или гюообразной среде с равновесным значением давления р, = сошг создать в каком-либо месте небольшое переменное избыточное давление Ар(г) = р(7)-рэ, то оно будет распространятьсв по всем направлениям, образуя упругую волну.
При этом роль возмущения играет скалярная физическая величина Ьр(г): б(хббх,г)иЬр(х,у,х,г). В твердом теле также можно вьмвать упругую волну, смещая в некоторый момент времени малые элементы тела относительно их положений равновесия; е данном случае описывающее волну возмущение является векторной величиной - смещением частиц б(х,у.з.г) . Здесь различают и родоп ь н ые и п о пере ч н ы е волны. В продольной волне возмущения направлены вдоль направления распространения волноаога процесса, в поперечной - перпендикулярно направлению распространения.
Если, например, ударить упругий стержень по торцу, возникшая в направлении удара локальная деформация растяжения-сжатия будет распространяться вдоль стержня, образуя продольную волну. При ударе по концу стержня сбоку возникает локальная деформация сдвига, распространение которой представляет собой поперечную волну. Обе ситуации представлены иа рис.
117 а и 117 б, где возмущения - смещения б частиц стержня - изображены =Л простыми стрелками, а направление их распространения -стрелками с оперением. Поперечную волну называют л и н е й н о, или а) плоско п оп яр и во в а ни о й, если возмущения, распространяясь, располагаются в плоскости, проходящей через направление распространения. Например, плоско поляризованная упругая волна побежит вдоль резинового шнура, если его концу сообщить колебательное движение вдоль прямой, перпендикулярной шнуру (вдоль оси Оз иа рис. 118, где дан мгновенный профиль волны в некоторый момент времени; колебания в различных точках шнура, изображенные стрелками, лежат в координатной плоскости хбз ), Если же траектория конца шнура выходит из плоскости хбх, возмущения ие будут лежать в одной плоскости и характер поляриРис. 117 зации волны будет более сложным.
9-4467 Подчеркнем. что прн описанин волн в материальной среде вевнчнны «,у,с являются коордннатамн фиксированных точек пространства; они не изменяются при движении элементов среды, а определяют нх равновесные положения прн отсутствии возмущений. Смешения же находящегося в точке х,у,с элемента среды, возникающее при распространении волны, опнсываетоя ~~0 . 1 ) ), функцией с=б(х,у,с,г), характеризующей возмущение. Выходя за рамки механики, отметим, что не во всех волновых процесРис, 118 сах возмущение связано со смещением частиц какой-либо среды: например. в электромагнитной волне.
которая может распространяться и в вакууме, роль возмущенна играэоз переменные напряженности электрического и магнитного полей Е(х,у,,г) и Н(х,у,с,г). б 40. Формула н днфференцнальное уравнение волны Формула бегущей волны Начнем с простейшего случая, когда волна распространяется вдоль прямой линии - примерам может служить поперечная упругая волна в тонком рюнновом шнуре, возбуждаемая смещением его конца, В связанной со шнуром СО К с началом координат в конце шнура н осью Ох, прооведенной вдоль шнура, возмущение ф, т.е. смещение частиц шнура в перпендикулярном к нему направлении, будет функцией одной пространственной координаты х н времени 1: б= б(х,г). Если пренебречь потерями энергин волны, часть которой неизбежно переходит в тепловую энергию, тратится на возбуждение волн в окружающем воздухе н т.д., то вази ение своей фопывь Рассмотрим наряду с "неподвижной" СО К, связанной со шнуром, другую СО К', которая движется "вместе с волной" со скоростью т и в начальный момент э=о совпадала с СО К.
В СО К' возмущение статично, т.е. не зависит от времени; б' =у(х). Как видно из рнс. 119, координата х' любой точки шнура в СО К' связана с координатой х той же точки в неподвижной СО К соотношением: х'=х-ж . Подставляя эта значение х' в формулу б'=у'(х'), имеем: б = .Г(х - тг ) . (40.1) Следовательно, пркзнаком бегущей волны х является вид айгуыейта ав формуле ди воэмущения: координата х н время г должны Рнс, 119 входить в виде комбинацин х-ж. Вид самой функции б может быть произвольным, он зависит от способа возбуждения волны.
К формуле волны (40.1) можно прнйтн н иным рассуждением. В точке с координатой х в момент времени 1 возмущение б= б(х,г) будет таким, каким оно было в начале координат «= 0 на х(т секунд раньше (х(т - время, за которое возмущение пройдет путь х). Следовательно, 4х,г) = Дб,г-х/т), нлн, вынося за скобки множнтедь — 1/н, б = у(х - ш). )3! Формула волны, распространяющейся в направлении, противоположном направлению осн Ох, получается нз формулы (40. !) изменением знака времени ! -з -з: ь'= /(х+ а!), (40.2) так как такая волна проходит те же мгновенные состояния, но в обратном порядке во времени. Дифференциальное волновое уравнение. Установим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (40.!), описывающая волну, распространяющуюся в направлении осн Ох. Рассматривая эту функцию как сложную функцию двух переменных х и з: 4= з(х-щ)=г!!л(хл)1, где и(хд)=х-щ, найдем ее первые и вторые частные производные па х и з, учитывая, что слз/сзх= ! н гЪ/сз! =-ж дз г(г гй чт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
