Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Данна нити 1, такого математического на. ятннканазыввется пр введены он дл им ой фнзнческогопая'ишка: ! Х ы е (36.!7) Выясним, «ак располагаются все параллельные друг другу ши, отпосзпельно которых физический маятник совершал бы собственные «о»об»пня с ордой н той же «руговоц частотой ю Выразим в формуле (36.!51 момент »перлин ! по теореме о параллельньы осях (!9 !41 чероз момент ннерции .х, относительно спн, пРоходащей чеРсз центР масс: ! = (сьшгг .
Топи шс =х)шдт,(((з ьлжг) откуда после простых преобр,пое»ний повучым квадратное уравнение для расстояния г' от искомых осей до центра масс маятника; г 8 г — — х гь — '=0 ш, пг (36. 18) в ьотором «озффициент прп нервен степени г с обратным знаком является приведенной длиной физического маатинка (36. 17).
По теореме Виста оп равен сумме корней г, и г юылратного уравнения: г ег, =! =у/юз' . (36.!9) Сшдовательно, существуют два значения расстояния ! от центра тяжести до осн врыценнл, прл которых круговая частом собстесншгх калебаннй маятника ргена Ю,, сели, копен!о, прн данных значениях ),. гн н ш„ корни г, и г, окажутса вещественными. Соответственна, искомые осн явлжотся абразующнмп двух соасных цнлкняричп:кнх поверхностей раднсов г, н гз, ось кото.
рых проходпт через цппр масс иаятннка (для маи) б! правления осей, перпендакуллрного плсскосги Рнс. 110 чертежа, сечения этих цюшнвров изобрезвтся концентрическими окружностями, предщявлеппымн н» рнс. ! !О е пунктирныпн линнямн) формула (36. Ш) лепит в основе устройства о б о р о т м о г о и а а т н н к а, служащего дл» прецнзномных измерений ускорения свободного падения д. Он прслставляет собой пассивный сыр«ель с двумя призмами, которые можно перемешать вдоль стерлщя (рис. ! !О б). Варьиру» положение одной нз призм, добиваются тогс, чтобы гастоты собственных колебаний мштника, когл» он опнрастса на ту н Тело, подвешенное на невесомой нерастажимой нити, называется м а т е и а т нч е с к и и м а я т н и к о м, если размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити (рнс.
109). Если ограничиться рассмотрением малых колебаний в вертикальной плоскости, то математический маятник можно рассматривать как частный случай физического, у которого - как у материальной точки - момент инерции равен )=т!', где гп - масса маятника, !- длина нити. (Момент силы натяжения нити Т равен нулю ло той же причине, что и момент сипы реакции оси дг и случае физического маят- Т ника.) Подставляя в формулу (36.15) это выражение Лля момента инерции н заменяя в ней г на 1, получаем известную из школьного курса физики формулу лля круговой частоты колебаний математичеспгд кого маятника: 119 дРУгУю пРизмУ, были о»инаксвы ИзмеРЯЯ кРУговУю чэстатг Шэ н Расстс»ннс междУ опоРными РсбРэма призм, рэвисс 1, , па формуле(36.19! вычисляют д.
Высекая точность измерения 8 этим методом абуслсвяскэ всзмс»нссзью с достаточно высокой тачнастью вэмсрнэь прщедснную длинумаэтинкэ Крутильные колебания. В качестве третьего примера свободных колебаний рассмотрим кр утиль и ы е колебания. Нарве.!1! а изображен горизонтальный диск. прикрепленный к нижнему торцу тонкого вертикального стержня, верхний конец которого закреплен неподвижно.
Когда диск повернут относительно вертикальной оси Ох на небольшой угол р, в стержне возникает деформация кручения и со стороны его торца на диск действует момент упругих сил: М, = -674», (36.20) где Р - модуль кручения стержня (см. формулу (24.5)). Знак минус обеспечивает правильное согласование знаков угла р и проекции момента сил М,: при р> О, как представлено на рис. ! 11 а, направление момента упругих сил кручения М, противоположно направлению оси Ох, т.е.
М, < О. Уравнение движения диска, т.е. уравнение момен~он относительно оси Ох (19.11), имеет вид; (36,2!) или !э —,ч- — ф=б, ау э ( (36.22) а) б) Рис. 11! где ) - момент инерции диска относительно оси Ох. Это - уравнение гармонического осциллятора (36.8), следовательно, диск, выведенный из положения равновесия, будет совершать гармонические колебания с круговой частотой (36.23) Другим примером крутильных колебаний относительно вертикальной оси являют колебания круглой платформы, подвешенной на трех нитях (трифилярный поднес) (рис.
111 б). Частота этих колебаний, квк и в предыдущем случае, зависит от момента инерции системы. Размещая на платформе исследуемое тело и измеряя частоту свободных крутильных колебаний, можно вычислить его момент инерции. Нелввсйямс к»»сбавка. Квк мы видели, свсбсдвыс упругнс колебания явяяюю» гармоничсасими, если они происходят пад дейст»исм кващупругой силы, катер»я з»висит ст коср»иватм линейно (стою»» другое их назв»нис - » н н с й н ы с колебания). Одмвко ебичмо лннеймаа зависимость от кос»дан»щэ апнсыв»ст рсальвыс силн лишь прнбщкснно - прн сравинзсвьис малых сниц»киях тэ» ст по»аксвн» равновесия.
Так, формул» (367), кстораз использовал»сь дл» упругой силы в задаче а ко. лсб»пнях прущюнсго м»»тинка, спр»зад»ив» лишь при малых дсфориацнях, дял кстсрмх выполиястса э»кон Гукэ, а замена значения синус» звачсиисм угла в уравщиии движения фиэнчсскога маятнвка !36 П! также возможна лишь прн малых углях еэк»енсння ат цолсксния р»в»овссик Поэтому гармоническими сбьэшо являются лишь мааыс колебания. В общси сауч»с зависимость Г„(х) потенциальной возвращающей силн (нэн мамснта силы) от косряянатм ма»но прсдст»вить в виде степенного ряда, являющегося разложением функции Г,(х) в ряд Тейлор» в тачке х = 0 Г„(х) = -lш ей,х Э»эх Ь..., в котором «вазиупругаа сила явщстся лишь первым членам раэ»сивин».
Чем больше»мпяитуда кощб»ни» тем больше членов этщс рзхэ с возрастающими степан»ми несбхо»нво учнтыв пь, ггабы списать си»у в дсст»точна хсрашси приблнщиии. 120 лиллю уравиеиил лвижсмия вида (36. 1), в правой части которага наряду с лиисйиым чаевом лржут- ствуют чювы е более выса«пми степенями координаты: ш — =-/сс+2« 42 х -ь... (з „ з Ж' з (36.24) показывает, что ега общим решеиием эвляегая колебамие, ио ие гармаиичеакае, а представ«мошес собой суперпозицюо гармавичес«их «олебаиий (гармопик) с частозъми, «ратными оаиовной частоте ю,: х(Г) =А, эа(ю,!+уз,)»-А мп(2ист+(зз)»-А,эш(Зюстьузз)»- (36.25) Соотношение амплитуд А отдельлмх гармоник зависит ат зиачспий коэффициептов )с, в разложении силы и оттого, сколько членов разложения учтено в правой части уравнения (36.24).
Осциялэтар, в котором возвращающая сила ис звляетсаквазиупругой, ивзыввстся ангар мои ич ее к им, или и с .. з и к е й н ы м; этими же териипами хара«теризуют колебания (36.25), которые ом совершает Сущеспминым отличием апгармопичсского осцилвятора от гармонического, помимо появления а сга сва. бодиых колебаниях дополнительных г»рмоиин с кратными частозачи, щщсюя зависимость цермода колебании а следовательно и частозм юс в формуле ( 36.25), от амплитуды. Калсбщия свюаимых светая. До сих пор речь шлв об отдельном осциллаторе, ааетомцем из двух тел (в лружимиом и физическом маятниках вторим телом «вплетая Земля) и иммаэцем, соотвстспэевпо, олму калебателыггю стспеиь авободы, характеризупяую люмйиой х яли угловой Р координатой. В случае кюзиупругих сил взаимодействия такай ослик«ягор может аовершатыърноничъское колебание с из«отарой вполне определенной частотой, завиалцей ат параметров осцпюытора.
Систему, состоящую из более чем двух «вазиупруго взаимодеиствующих тел и иммошую, соответственно, нескозько колебательных степеней свободы, называют с в я з а н и о й с и с т е и о й . Особеииости сваболиых колсбаиэй в связанной системс проаиюизируам ме простейшем примере. На рис. э! 2 а изображена аистема, аостсплвя из двух одинаковых пружинных маятников, саедииеииых неаеоомай прушаюй шипы! и жюткасти Д. Маятники прадмъвюют собой тела (матерыалыые точки) мас. сы лз ма пружинах жесткости К, прикрепленных к стенкам, причем в положении равновесия системы все пружины иедефариираваиы Введем для описания положения.юл координатные оси О,х, и 0 к е иачалаи отсчета в полажсииах равновесия и запишем урзвиеиия движение тел (второй закон Ньютома в просюыииз оси О,т, и О х,), пренебрегая силами тяжести.
с Ы х ю — хъ-Кх -)с(х -х ), з апх ю — ~ъ-Кх -й(х -«). Жтз з з (36.26) — А— -А— 'щмюп- .«зъъ г ъъъ мчим)кз гад«балис Рис. Н2 ионическими. Складывая уравнения (36.26), а в следующих уравнения: с е( (х,+к,) па(х,-х ) ю — '-; — ~ = -К(х, — х, ) — 22(х, — х, ). (36.27) )пгшпшмтп ъ ' лалажсллс К гл (г,! т К, — ( раалааасля О,х,О,ху — А- — А— ,"взливт тззъъътм Ы~ппц~ (-а ларм. '(ъгзззззпг;и,, ( халабаялс (Вторые слагаемьм в правых частзх этих уравнений описывают силы, действующие иа тела ао стороны ааедюппельпсй прулжпьа юмелеиие длииы пружины равно ~х, — х (ъц(, а в праввльпостп знака в выражениях для проекции этих сил лспсо убедиться).
Видим, что даик ия тел вззимозаии имы: сиза, действующая иа первое тело, зависит от коардииатьз второго и наоборот. Это приводит к таму, что колебания тел, вообще говора, ие являютсл гардругом случае вычитав второе из эмрваго, получим два 121 Если»не»то естсствеиныхкаарлинет х,,х, тел ввызц ионы»переменные Х,, Х,па фориулси Х, =х,чх„ Х =х-х,, 3 (36. 28) «о урсянснн» лен»шин» лля иих стена»лтс» нсэявисииыни Лруг от яр)тс; ! А2Х т —,э = -ХХ„ Аг' ш — '= -(К+2/г)Х,. ыХ Аг' (36.29) Каждое из этих уравнений п)адат»в»»ш собой дифференциальное уравнение гврмоничсского осциллл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
