Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 30
Текст из файла (страница 30)
гара и имеет обшсе решение в форне гврнаничсскага кочебсни» Х, = А, цп(ш 1+ р,], Хз А зш(аэг+ грз) (36.30) где (36 31) Персиемные(пяр»истры) Х,, Х, нзэьшеютс» и ар ма льны ин к сорди ната»и системы. Они предсгвшнют собой честмьш) случай о б о 6 ш е н и ы х к о ар л н н я т, т.е. параметров, «старые хот» и не акшются иепасредсшенно координатами тел, но, булучн взаимно однсзнвчно с ними шязснными, вполне определяют положение системы. Ко»специя сиашны, ооатяетствуюшис гсрноническин кол»6»нилы (36.30) нори»льньгх координат, нязыв»ются н о р и в л ь н ы и и к о л е б в н и я м н, а ч»столь~ (36.31)зтнхколебвиий- собст»сины н и ч я с тате и н системы.
Выра;кел координаты эел через норывльные каординсты из формул (36 28), с учстои формул (36.30) имеем Х,6Х, х, = — '' -[А, зш(юг а р1)6 А, зт(шзгт рз)], Х,-Х, 2 = -[А зш(ш~г+66) А» в|п(шзгьР~)] 2 2 (36.32) Следов»шляпа, коз»бени», соверш»оные телами сиотеиы, предотеелпот собой суперпозицню нормальных колебаний, причсы сипя»пуды А„А и фазы р„бэт зв»нс»т ат способ» вазбузшеиия и апределжотс» мсчяльныии успениями. Квжлое ш нарнлльных колебаний релвьмо оаупкствиио. Чтобы вызввзь только первое нормальное колебание, не возбуждал второго, неабхолино в»и»алисине условия Х = 0 .
Но )Х [= ~х, -хз~ есть удлинение П) сшлвнихельной прузшны, следовательно, первое нормальное «алебвнне должна происходить при неизменной длин» 1 соединительной пру»жны. Этс условие будет обеспечена, сели иачсльные условгш д»» обоих тел одинаковы: «(0) = х, (О), те. если в печальный момент тела отк»аноды и ощзу сторону на апнняковыс р»сото»ни» (начальные скорости счизвеи рлвнымн нулю). Тогда чела будут соверпшть тон»ест»синью гармонические «олебеин» с нормальной чштотой ш, иэ 136.31) Дш возбуждсни» второго нори»льногс колебсння необходима отклонить тела нз равные расстояния в противоположные стороны: х, (0) = -х (0) .
Тогл» очевидна Х, = х, 6 х = 0 в любой ианеит вре. нонн и изменяться будет только втерся каор»нюша Х с собственной частотой гс,: тела будут савер. шять колсбвни» с адин»коншин вшшитудени, но в пративофззе. Н» риац 12 предел»»наны положения тел в моменты нексии»льнога отклонения от па»аж»вин резво»сеня при первом (6) и »тараи (в) нор. ишынаи колоб»пни. ! )итерс сн слу щн. «огдя х есткость соединитель«он пружины существснма меньше хсстхости пру.
,клн меятннхов (Ь « А ! Тогда систему можно р,юсметрив.пь кэ х дв,з сеябо свезенных друг с другом (пасрслством сослимигсльнои пруюзмы] аациллятарл. Прн эзом собственные ч ~стати соглвсно (363!) ок.ззывлогся близкими и колебания тел сагллсно (36 )д предстввыют собои биеаия (см качественное ибьесменне биении ня с ! ! )). Херектер этих биении таков, что в те моменты, «отде нормзльнь с калсбения синфезны и бэыних первого тела имеют мехсимвлыгую емплитуду, «мплизудв биении второго теле миннм.зльн х твк к.зк в формуле для х, сьлвдыввемьзс «олебвния в зтат момент противофвзны (знвк минус у второго нормального «олсб, пня экл .
щн нзм и~пню 4» зы это»а колебания не л ) м не. оборот. логде нормвльные колебание становятся пратиеаф злыми, емплиту)ы биемии первого теле минимвльна,в второго -макси«ельне Текин обр.пам «олсбятельмое дливенне квк бы медленно персдлстся столпы а т лл «другому(з,з половину периоде биении) и обрвтмо Устяноыениые ма рессмотрениам примере ыканомерности океэывеются спрвведяивыми для свезенном анстены,состои«вниз любого числе квезиупруго взяимодсйств пошил тел и имсющеи Д) калев.псльньп степ неи свободы Ее своболиые колебания ма~ут быль представлены кы аупсрпозицня Ф нормальных холебвмии, прове«адам«хе собсгымными ыстатьии го„ гоз....ш,,зависящими от первмстров сисземы и с вмплитудямм н нлчз льнымн фазами. опрсделе мыми начальными уславнлмн Саво~эпнасть чвстаг а»„щх,,,,,ш, нвзьзвзюг спея тра и к оп с б в н ни связлннаи аистеньз.
('вязаниях снстаее, полобнвя рассмотренной, на состоящая из большого числа тел, может слупить одномерной мапелью крист,пшичесьоэ! решетюг теле играют роль атомов (ионов!. взаимодействие между «старыми имитируют упрупзе силы в прущзнех. б 37. Затухающие колебания В рассмотренных примерах мы идеализировали колебательные системы, пренебрегая силами треныя. В реальных системах, однако, всегда присутствуют те или иные силы трения нли сопротивления (д н с с и п в т н в н ы е силы, приводящие к переходу части механической энергии системы в тепловую), которые обуславливают постепенное затухание колебаний и могут даже изменить характер движения, сделав его существенно алериодическнм.
Наиболее просто при теоретическом рассмотрении колебаний учесть силу жидкого трения, которая действует на тело, движущееся в жидкой или газообразной среде. Клк отмечалось, при выполнении некоторых условий, в частностипрн сравнительна медленных движениях, эта сила направлена против скорости г тела и пропорциональна ей (см. с. 37 и формулу (10.14)). В проекции на ось Ох, вдоль которой происходит движение, формула (10.14) с учетам (2.4) запишется в виде: (37.1) а)» с(т » — эе-) -Ь— с(т' с(( (37.2) Вводя новое обозначение (37.3) и принимая во внимание (36.4), запишем уравнение (37.2) в стандартном виде: где Ь -коэффициент жидкого трения.
Влияние силы жидкого трения на характер свободных колебаний проанализируем на рассмотренном ранее примере пружинного маятника. Учет силы вида (37.1) понадобится, если маятник погружен в жидкость, или если между телом и подставкой имеется жидкая смазка, а также если просто необходимо учесть силу сопротивления воздуха. Уравнение движения маятника (36.1) с учетом силы жидкого трения (37.1) примет лид. 123 с( х Нх —, ь 2Д вЂ” + гс, 'х = О . суг' Аг (37.4) Общим решением дифференциального уравнения (37.4) является функция х(г) = Ае'" пв(гсг-ь Зз), А(1) (37.5) где (37.6) Л- '(') =,гя А(г ьТ) (37.7) Более употребителен лотар и ф ми ческий де кр е м епт затух а н и я, который по определению равен натуральному логарифму декремеита затуханкя: (37.8) А и и - произвольные постоянные.
В этом можно убедиться непосредственной подстановкой функции х(г) и ес производных в уравнение (37.4). (Ввиду громоздкости эти выкладки не приводим. Студенту, знакомому с теорией линейных дифференциальных уравнений и комплексными числами, рекомендуем получить решение (37.5) стандартным методом характеристического многочлена.) При малых значениях коэффициента )7 (17« м,) множитель А(г) = Ае " перед гармонической функцией в (37.5) можно А(г) „А рассматривать как медяенно убывающую А(гьу) со временем амплитуду. В этом случае формула (37.5) описывает з а ту х а ю- т щие колебания. Ееграфикданна рис.
113: когда гармонический множитель пп(сяьр) досзигает своих максимальных н минимальных значений +1 н -1, точки Рис.113 графика лежат на кривых А(г) н -А(г), изображенных пунктирными линиями. Быстрота затухания колебаний характеризуется тремя физическими величинами. Величина )7, входящая в фориулу (37.5) затухающих колебаний, называется к о э фф и ц и е н т о м з а т у х а н и я . За время г амплктуда ковебаиий умеиьшится в А(г)(А(гег)=Ае я)Ае '"""=яж раз.
Следовательно, за время с=1)27, обратное коэффициенту затухания, амплитуда уменьшится в ем 2,7 раз. Согласно (37.3), коэффициент затухания прямо пропорционален коэффициенту Ь жцлкого трения, что не нуждается в комментариях, и обратно пропорционален массе ш тела, что является проявлением инертных свойств тела. Другой характеристикой быстроты затухания служит д е к р е и е н т з а т у х ан и я Ь, который показывает, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за время г= Т, равное периоду колебаний (рис.
113): 124 Для медяевие эеэухлюшихкелебений логврифмичежий декремент эетухенн» шкет пресней «и эичеекии смысл. Рвммге» е' в правой части формулы !37д! в ряд Тейлора по отпеваем Ь и преиебреэвя етепепямивыше переса,имеем: А(г)7А(г47)=1+Ь, откуда (А+ЬА)/А =14 б н (37з) гд ЬА ° убыль емпллтудм и пезиод колебвпвй Таким образом логарифмический декремент эвтуха. иия раии оцзажХЫЫЗШ( убьми амплитуды эе период колебаний. л На рис.
! 14 показано, квк меняется характер затуха! ( э~ хл ющих колебаний в зависимоюи от коэффициента трения е) 0 Ь при фиксированных значениях параметров м и Ь С ростом коэффициента трения, во-первых, колебания злтухшот быстрее, так как согласно (37.3) увеличивается коэффициент эатуханил 77, и, во-вторых, согласно (37.6) уменьшается их круговая частота (рис. 114 а, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
