Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Подробно явление интерференции будет изучено в соответствующей главе раздела "Волновая антика", а сейчас рассмотрим простейший случай, когда ннтерферируют две монохроматическне волны с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющиеся вдоль оси Ох в протнвоположных направлениях. Реализовать этот случай можно, заставив, например, волну б, = А ею(скейт), бегущую по шнуру в направлении, противоположном осн Ох, отразиться от жесткой стенки, расположенной в начале координат. Прн таком отражении фаза волны скачкам изменяется на л и формула отРнс. !23 раженной волны имеет вид: Оз=Ана(ся-як+и)= -А ив(гм-Лх).
Можно показать, что прн наложении волн возмущения складываются, т.е. Результирующее возмущение б(х,г) равно сумме возмущений, которые создавала бы каждая волна в отдельности. Для нашей зааачи. используя известную формулу 135 Чтобы наглядно представить процесс колебаний в стоячей волне, заметим, что ее мгновенный профиль получается умножением амплитудной функции А(х) синусоидальной формы на меняющийся со временем множитель совах . На рис. 124 представлены профили стоячей волны за первую половину периода колебания Т в последовательные моменты времени г = О, Т78, Т/4, 3Т!)Ь, Т)(2 .,В течение второй половины периода профиль волны пройдет те же стадии в обратном порядке н далее процесс периодически повторяется.
Таким образом, профиль стоячей волны, в отличие от бегущей, не перемещается вдоль оси Ох, откуда и проистекает ее название. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что стоячая волна (41.1), как и бегущая, удовлетворяет дифференциальному волновому уравнению (40.3). (Студенту, знакомому с теорией дифференциальных уравнений, этот результат очевиден: стоячая волна является суммой двух бегущих волн, а сумма двух решений линейного однородного дифференциального уравнения, каковым является уравнение (40.3), также есть решение этого уравнения.) Из проведенного анализа следует, что фаза колебаний при переходе черш узел меняется на противоположную, в то время как согласно (41.1) начальные фазы колебаний во всех точках казалось бы одинаковы и равны нулю.
Предлагаем читателю решить этот кажущийся парадокс. б 42. Динамики упругих волн Ознакомившись с описанием и общими свойствами волновых процессов, перейдем к изучению динамики упругих волн. Проблема состоит в том, чтобы вьиснить, прн каких условиях возникают волновые процессы и как зависят скорость н конкретная форма волив! от параметров, характеризующих эти условия. Решение этой задачи в общем виде выходит за рамки общего курса физики, поэтому мы ограничимся рассмотрением нескольких частных задач, связанных с распространением упругих волн.
Упругие волны в тонком стержне. Пусть в тонком упругом стержне, вдоль которого направим ось Ох, в начальный момент времени Г = 0 имеется неоднородная продольная деформация растяжения-сжатия, при которой смещения точек стержня о~носительно их равновесных положений описываются возмущением ь,(х,б).
Установим уравнение, которому подчиняется распределение возмущений б,(х,!) вдоль стержня я произвольный момент времени. Для этого рассмотрим малый элемент стержня длиной Пх и массой бт, заключенный между поперечнымн сечениями стержня с координатами х н хэах; на рис. 125 вверху он изображен в невозмущенном состояики, а внизу - прв наличии возмущения 0(х,г). Уравнение движения этого элемента, т.е. второй закон Ах Ньютона в проекции на ось Ох, запишется в а) х ° х+Ах О (."('х,!) О(хьпх,г) бт — "" = Т,(х+Ьх, г)-Р.(х, «) д'О .
О!2 * (42.!) О Г(Х,Г) «Зы~ Г(ХЭ 5Х,Г) В этой формуле б,,„- смешение центра масс элемента и, соответственно, д О 7!д! - его 3 2 Рис. 125 ускорение; г",(хнах,г) и Г,(х,г) - проекции на ось Ох сил, действующих на рассматриваемый элемент со стороны частиц, расположенных справа н слева от него. Если ограничиться рйссмотрением достаточно малых деформаций (Об,усзх <с1), то можно считать силы упругими.
Выражая согласно (22.1) силы через напряжение о„и площадь 5 поперечного сечения стержня и используя закон Тука в дифференциальной форме (24.7), имеем: 136 Е (х ч Ьх, г) — Е(х 1) = Я гт (х+ бх, г) — Я а„(х г) = Я Е[ — '(х+ бх, г) — — "-(х, г)). Массу Лт дб.
дб дх ' дк элемента выразим через его обьсм 5 г)х и плотность р агержняг От=ЛЯ бх, так что уравнение движения (42.1) после деления на Х примет вид: рг)х —," =Е! — '(к+Ох,г)- — *(х,г)~ . [дб, дб, дгг - ! дх ' дх (42.2) разделив обе части этого равенства на г)х и переходя к пределу прн Ьх-ь 0 (при этом дед„ /д(' -з сзгб,/сзг'), получаем: р д'б„/дг' = Е дг» /дх', т.е. сзз ь *=0 дх' Е дг' (42.3) Таким образом, продольные возмущения в тонком упругом стержне подчиняются вол- новому уравнению (40,3) и, следовательно, могут распространяться в виде волны той Нли иной формы.
Чсспасм решсииеи уравнение (42.3) лсшагсе, ешесшсииа, и сацичажая деформация однородного растзжснил сллтия, так как дла нес деь" /сзг~ = 0 вследствие статичности, а дь /дх = оотг, тс сз'б,/дх~ =О - вследствие однородности деформации. Любы жс шолюролаая да)орммцгя нестствчис:какследустиз(4221 при д б /дх' а Огекжси дгб /сзгг иО). Согласно (40.3) коэффициент при второй производной по времени в волновом уравнении есть величина, обратная квадрату скорости. В ншпей задаче р/Е = 1/ы*, откуда получаем следующую формулу для скорости распространения продольных упругих волн в тонком стержне; с= ! —. (42.4) тмитгь решим емслагичную задачу два поперечных возмужаний. Рассмотрим неоднородное попе- рсчнас возмушенис 6,(х,г) вдоль стерви», которое привадгп к одвиговой деформации малых злсмсн.
гов стер:юм, один из которьц длины Ох и массы г(т представлен нс рис. 126:нункгиром нзобрамсно нсвознуцнннос полажение стержне,стрелками ° возмутенис ф (х,г). уравнение движение згага эле- мент» в проекции на ось Оу запишется ввиде: От — = Е(хабх,г)-Р(х г), (4251 х хая Рис. 126 Р(ходя,г) ! ! (х,г/! где 6 ° смешение центр» масс элеменвз сталь с«н Оу Р,(х ьбхд) и .л„(х,г) - сизы. дснствуюшнс на рассматрнвае мый элемент со стороны црнлакаших к нему элементов стержня. Очнтсл, как и раисе, деформации малыми (дь" /дх « 1), !37 используем ыкон Гукя для дефорняпин сдвиге в лиффсрснпивльной форме (24.8): гэс, с~ г(хьйх,г)-Е (х,г)шр о (ходх,т)-5 о (т,г) фб С[ — '(хчйт,т)- — '(х,г)[ Подстлвляя гух Рх это выведение для сю и еырвиенис для массы эыиенте дэ Й: в урзвнение лвиксння (425), имсе».
Р 4, гзье, гзег рбх —,' = С~ — '(т-гдх,г) — — г(х.г)~. Рх' [ сзг Рх (42 6) Поделив осе части этого рвв«нотке ня Ьх и переход» к пределу при Гьт -+ О, приходим к дифференци. яльному возноваму урявнеюпо (40.3) дл» поперечного вазмузпення в стерьве: ст'с„д Р'б, — "- — — '=О. сэхз С сэг' (42.7) Тякнм обрезом, динвмичсские поперечные возмущения в упругом стерзие т.зкис могут реепрострзнять- ся в мыс волн, причем скорость ряспрастрзнсния поппмчнай волин вдоль стерюм опрсделяетсл фор. мулой: (42.8) В общем случае в упругом твердом теле возникают две волны - продольная и поперечная, распространяющиеся с соответствующими скоростями (42.4) и (42.8).
Поперечные волны в натянутой струне. Пусть натянутая струна (нли шнур), вдоль которой проведем ось Ох, выведена из положения равновесия и в момент г ее профиль описывается функцией б,(х,г),.характеризующей поперечные смешения точек струны вдоль оси Оу (рис. 127). Чтобы получить дифференциальное уравнение. которому д'4 „ бт —" = Р(х 4 йх, г) зю а(х+ Ьх т ) - г(х, г) зю а(х г ) . от' (42.9) где 4 - смещение центра масс элементл вдоль оси Оу, а в правой части с~опт сумма проекций г", = лип а силы натяжения у Р струны на концах рассматриваемого элемента х и «ьйх 1 а - угол, который сила натяжения, направленная по касательной к струне, составляет с осью Ох.
с)х, т) )х, т) Будем считать возмущение 4,(х,т) настолько малым, что, во-первых, угол а также достаточно мал и ип а и гяа и, во- О вторых, можно считать силу иатюкения постоямной: Г(хобх)=г(х)=г" =гоше, пренебрегая ее изменением, связанным с х х+3х Рис. 127 подчиняется функция 4„(х,г), запишем уравнение движения центра масс малого элемен- та струны длиной йх и массой бт в проекции на ось Оу: 138 дополнительным удлинением струны эа счет деформации «,(кд). Учитывая эти приближения и выражая массу Ллз элемента черю линейную плотность струпы р= и/1 (щмасса, 1 - длина струны); Лэг рйк, получим; зз к рбк —",-" = р (зйа(кьпх,г>-гйа(х,г>1. (42.
10) По определению частной производной функции «,(х,г) по аргументу х гба= ?0,>зж и уравнение движения (42.10) принимает вид: сз, 1 дж -' — -'„ж=р'~-'-: — '( б д>--' — '(,г>!. ~ стт дк (4?.11) разделив обе части этого уравнения на з>х и псрехоля к пределу при з>к -ь О, подучим: р дз«) гйз = д дз«/дкз, те. дз«, р д'«, ,утз (42.12) !'аким образам. малые поперечные возмущения в натянутой струне подчиняются вол- новому уравнению (40.3) и, следовательно, могут распространяться в виде воли той илн иной формы. Для скорости волны из условия >зз>л" = 1>к' получаем формулу: (42.
13) Отметим, что во всех рассмотренных случаях (см. формулы (42.4),(42.8) и (42.! 3)) плот- ность вещества стоит в знаменателе подкорениаго выражения: с увеличением плотно- сти скорост.ь волны уменьшается, так как сильнее проявляются инертные свойства ве- щесща. ьт0,1) = О, «(1,!) = О. (4?.14) Дсполюпелыщс условия такого рада иазьмвюзс» г р а и и ч н ы м и у с л о в и л м и.
Ясно, что бс. гущээ воли» зтин условиям ис удоаастаоряет, но им удовлстворяЮт сто»чие волны, у которых на концы струны прикадатс» узлм. Рэсстоэнис мсжлу сосежчими узлвни сто»чей волны равно половине дммш во»им (см, с, 13»), следовательно, нэ асей длине струны должно улоюпъсв целое число зз полуволн; Стеля»с волны как собствсниыс колебания струмм. При рвссмозреияи задач с упруплсн воли»ни мы удостоверялись, что возмущпщс удовлкгворяет дифференциальному вокмоваму уравнению, попупзо получав формулу лл» скорости волны. Одизщо зто нс является пслныи решением проблемы, так как соткется открьпьзм вопрос о форме возмущены» «(х,г). дифбирплсыэьиое волновое урэансэис (со,э) инсст бесчисленное множество решений и необходимо уметь выделять из них то, которое реализуется при дэииых условиях з»Л» зи, Аналогичная ситуация возникал» при постановке прэмой э»дачи динамики материальной тачки, где Лиффсреици»юнас уравмснис движснил также имеет множество рипсний, Пэлоииии, что тач шэ вьздемлик истинной траектории требовалось дополните»зло зааэмпь и*» эьиыс ус»свих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
