Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 26
Текст из файла (страница 26)
94 дальнейшем при изучении немеханических, а частности злектромагнитных колебаний. Гармонические колебания. Фундаментальную роль играют г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, происходящие па закону синуса или косняуса; х(з) = А ил(схед)= Асоз(ш+ф), д= р- —, л 2 (34.1) Здесь х(г) - физическая величина, совершающая гармоническое колебание, а А,щрпостоянные величины, характеризующие колебание.
График гармонического колебания представлен на рис. 95. Величина А>0 называется ам пл и ту до й колебания. В те моменты времени, когда А вп(ел+ р) =+1, переменная х(з) достигает своего максимального значения х = А. СледоваТ Г тел.но, амплитуда гармонического колебания о зз равна максимальному значению колеблющейся величины (часто ее обозначают той же буквой, что и саму переменную величину, помечая инРис.
95 дексом: х илн х,). Три выражающиеся друг через друга физические величины характеризуют теми гармонического колебания: период Т, частота и (или Г) и круговая, или циклическая частота ез. П е р и о д у Т уже было дано определение - зто время одного полного колебания (рис. 95). Ч а с т о т а, по определению, обратна периоду. (34.2) !07 Она численно равна числу колебаний, совершаемых в единицу времени.
Наиболее компактный вид (34.!) формула гармонического колебания имеет, если в ней фигурнрует к р у го в а я частота в, которая связана с периодом Т соотношением 2л в= —. Т (34. 3) Действительно. для двух моментов времени 0 н 1,, отстоящих на период (г -г =Т) з ! (см. рис. 95), значения аргумента синуса отличаются на 2я ! (вг,+я)-(ех, ья)=2к, откуда в(гз — 0)=2я, т.е.
в = 2л/Т. Величина Ф(!) = вг+ я, (34 4) являющаяся аргументом синуса илн косинуса в формуле гармонического колебания (34.!), называется ф а з о й колебания. Она измеряется в радианах н характеризует стадию колебания. Например, при записи формулы колебания в синусондальной форме (34 Ц значениям фазы Ф = я/2+ 2ян (н - целое число) соответствуют моменты ! достижения колеблющейся величиной максимального значения: х „(!) = А оп(я/2е2яп) = А. Величина зз определяет значение фазы в момент времени ! = 0: я= Ф(0), т.е.
явяяется н а ч а и ь н о й ф аз о й. График, приведенный нарко. 95, соответствует значению начальной фазы 0< зз< а/2. Особую роль гармонических колебаний обуславливают две причяны. Во-первых, в природе н технике часто встречаются колебания, близкие к гармоническим. Во-вторых, согласно теореме Фурье всякую периодическую функцию времени с периодом Т можно представить как сумму гармонических колебаний с частотами, кратными частоте в = тя/Т, и с соответствующими значениями амплитуд н начальных фаз: х(г) = а, е,'Г А„яп(нвз+ в„) (34.5) (а„- постоянная, которая в большинстве задач не играет существенной роли).
Формулу (34.5) называют разложением функции в ряд Фурье, а отдельные гармоннческне слагаемые ряда Фурье назывиотся гармониками, нлн Фурье-компонентами функции хО). Теорема Фурье позволяет в ряде случаев сводить задачу, в которой фигурируют негармонические колебания, к аналогичной задаче с гармоническими колебаннямн (см. мелкнй шрифт на с. !28). Скорость н ускоренне прн гармоническом колебательном дюякенни. Пусть материальная точка совершает гармоническое колебание вдоль осн Ох и ее координата изменяется по закону (34. !), причем для простоты положим я=О: х(г) = Аяп га.
получим формулы для скорости и ускоренна точки, которые, очевидно, направлены вдоль оси Ох. Для проекции скорости точки т. согласно (24) н (34.!) имеем: В =Ах/Аг= А( А яп ст)/ау = А в совах. дифференцируя т. по времени, получим согласно (3.4) проекцию ускорения: а, Аг,/А! е((А в соя в!)/Аг = -А в' яп в! . Чтобы сравнивать фазы колебаний координаты, скорости н ускоренна, нх формулы должны быть записаны в одинаковой форме, например, в виде а за(ах+ сз), где а > О . Выражаа в формуле для т, косинус через синус, а в формуле для а, синус со знаком минус через синус со знаком плюс, получаем следующие формулы для скорости и ускорения точки: (02 т„= Аю эв(схьл(2), гм (34.6) а„=Аюэ йа(стех), п„е (34.7) Таким обрюом скорость и ускорение при гармоническом колебании также изменяются со временем по закону гармонического колебания с той же частотой, что и координата, и с амплитудами, соответственно, «„= Асс н х с„,=Ассе, Начвльньэе фазы у скорости и эа, х~ ускорения равны, соответственно, ф2 и т, " ; х (с) " .
7(' '. т.е. скорость опережает координату по фазе у ' на л(2 (ло времени - на четверть периода), а ускорение находится в противофазе с координатой. Графики зависимости от времени коордкнаты, скорости и ускорения точки, совершающей гармоническое колебание вдоль оси Ох, представлены на рнс. 96. Рн* 96 йекэпрная дввэрамма гармонического колебания. Рассмотрим вектор А, равномерно вращающийся в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью ю (рнс. 97 а). За время г ол повернется иа угол «л и будет состаюшть с направлением оси Ох угол Ф(э) = агьсэ, где р - угол, характеризующий положение вехтора в начюгьный момент э=о . Как видно нз рнс. 97 а, при вращении вектора А его у проекции на оси Ох и Оу изме- А (г) няются по закону гармонического колебания + н ,к «(с) А соэ(ел+ р), у(э) = А нл(сх ь р) с амплитудой, равной модулю вектора А, круговой частотой, равной угловой скорости вра- 0 Алоэ(альр) щенна, и фазой, равной углу, а) который составляет вектор А с Рнс.
97 б) осью Ох. Вращающийся вектор А назывыот вектор о мамплитудой колебания,а его иэображение в начальный момент времени- в е к то р н ой д и а гр а м м о й колебания (рне. 97 б). Прн помощи векторной диаграммы, как будет показано далее, удобно складывать гармонические колебания одинаковой частоты. 9 35. Сложение колебаний При решении ряда задач появляется необходимость сложить два нлн несколько колебаний. В механике такая проблема возникает при сложении движений: если тело колеблется относительна СО К', которая в свою очередь совершает колебание относительно СО К, то движение тела относительно СО К определится в результате сложения этих двух колебаний, «(г) = х (!)+ х,(г) = А, ив(сх ь р ) ь~ вв(аз!+ сз,).
Для сложения колебаний х,(г) и х,(г) удобно использовать метод векторных диаграмм. Докажем, что ез ьтате сложения га оническ ко еб л чаете га он кое олеба той е частоты й о нна о о" частоты по- А,нл(ах+ р )+А, зю(истр )члзи(схьр), чем векто -а а езць го кол а ен с е екто в-ам и изображены векторы-амплитуды А, и А, складываемых колебаний и их суммарный вектор А = А, + А, в момент г = 0 . Вектор А, очевидно, имеет постоянный модуль и вращается с той же угловой скоростью, что и векторы А, и Аг (параллслограмм векторов-амплитуд вращается как жесткий). Следовательно, он црсдставляст собой вектор-амплитуду гармонического колебания «(г)=Асов(схьн), являющегося его проекцией на ось Ох.
Но эта проекция, будучи суммой проекций векторов-амплитуд А, и А,, равна сумме складываемых колебаний х,(г) и х,(г) (на рнс. 99 зто покюано для начального момента времени: х(0) =х(0)+х,(0)), что и доказывает сделанное утверждение.
Из векторной диаграммы по теореме косинусов юохего колебания: векгорвая диаграмма, на которои Рнс. 99 находим амплитуду А результиру- (35.1) А и его начальную фазу: А, ип р, + А ла д: гь С'= ~~ саз9з, ьА, соаг>з (35.2) Как следует из формучы (35Л), амплитуда результирующего колсбаниа при заданных амплитудах А, и А, существенна зависит от разности фаз и, — и, вкладываемых колебаний.
Она максимальна и равна А А,ел„есаи соз(р,-р,)е+1, т. е. если р — р 2ял, л = О,х),х2,...(колебания синфюны) (рис. 100 а). Оиа минимальна и равна рз А . =!А,— А~, если соз(р,— р)=-(,те. рз-р, (2лс1)х, и=02!х2,... (колебания в противофазе) (рис. 100 б). Таким образом, 109 Сложение скалярных гярмоннческнх колебаний одинаковой частоты. Пусть тело совершает гармоническое колебание х,(г) А,ла(ах+ 9,) в СО К,, которая в свою очередь гармонически колеблется с той же частотой относительно СО К так, что расстояние 00! между началами координат 0 и О! изменяется хг = Аггее(юг+9гз) по закону х,(!) "-А, зю(сз! ь и,).
Тогда координата х тела в СО К определится как сумма гармонических колебаний одинаковой частоты (рис. 90); 0 условие максимума (А,„= А, + А,): условие минимума (А„=(А, — А,~): и,-р, =2мз, р,— гс, =(2ле1)т, (35.3) (35 А) А =А!+,4! А А! 0 А, 0 А =Аз-А, А, с! Рис. 1ОО При равных амплитудах складываемых колебаний максимальная амплитуда вдвое болыпе амплитуды каждого из них, а А„=О, т.е. протнвофазные колебания при А, = А, взаимно уничтожаются. На векторной диаграмме условию максимума соответствут сонаправленные векторы-амплитуды А, и А,, а условию минимума - векторы А н А, противоположных направлений.
! Полученный результат может быть использован при сложении любых скалярных величин, соверщающих гармонические колебания одинаковой частоты. Он применим и к сложению гармонически колеблющихся векторных величин, если векторы направлены вдоль одной прямой, поскольку е этом случае задача сводится к сложению проекпий векторов на их общее направление, т.е. к сложению колебаний скалярных величин.
Биения. При сложении скалярных гармонических колебаний с разнымн частотами гармоническое колебание в результате не получится. Интересен случай, когда складываются колебания с близкими частотами гс и м+ Лю, где Лю «и . Считая для простоэы А,мАз=А и П!меом0, имеем: х(!)-"Авп с! ьАив(гс ' Ьщ)! = А(ма!эсена(!сед!с)г]= сг+(с!едс!)! атг-(с!+в!с)! Ьсэ А 2за — ооз. =2А соз — ! ипат, где мы пренебрегли бю по 2 2 2 сравнению с и! под знаком синуса: х(!) = 2А соя — ! пп гев Ью 2 А(!) (35.5) Эта формула отличается от формулы гармонического колебания тем, что множитель А(П=2Асоз((зм/2)з, играющий роль амплитуды, сам медленно (ою«а) меняется со временем по гармоническому закону. График формулы (35.з) представлен на рис.
! 01: точки, для которых пв гсг = х), лежат на кривых. соответственно, хА(!). изображенных и!трих-пунктирной и пунзг!нрнай линиями. Таким образом. в результате сложения скалярных колебаний с близкими частотами получается почти гармоническое колебание с частотой, близкой частоте складываемых колебаний, но с медленно осциллирующей амплитудой. Это явление называют б и е н и я м и . А,+Аз 1А!-Аз 2А 0 Риа. 102 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
