Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 21
Текст из файла (страница 21)
76 сокращая на Ы, имеем: (27Л) 73 ~М =Рзгзбб» и так как сечения 65, и 65, выбраны произвольно. то вдоль узкой трубки тока рз 6 5 = соцгз . (27.2) Уравнение(27.2) выражае~ з а ко н пер а зр ы вн ости струи, который в этой форме верен и для стационарного течения газа. Для несжимаемой жидкости (р= сеямг) уравнение неразрывности имеет вид: г (з5 = согпг. (27.3) При течении жидкости по трубе площадь поперечного сеченив каждой узкой трубки тока пропорциональна площади сечения трубы и, как следствие уравнения неразрывности (27.3). в местах сужения трубы скорость течения возрастает. 8 28.
Уравнение Бернулли Как мы увидим далее. между слоями движущейся жидкости существуют силы внутреннего трения, однако сейчас речь пойдет об н де аль ной жидко стн. в которой силами внутреннего тренин пренебрегается. Будем также считать жидкость несжимаемой, полагая эх=союз . Используя закон сохранения механической энергии, удается найти комбинацию физических величин: плотности р, скорости в жидкости и давления р, значение которой остается постоянным вдоль линии тока в стационарном потоке жидкости.
Рассмотрим в узкой трубке токе элемент жидкости, торцы которого в момент времени ( занимают положения! н 2, как показано на рис. 77. Здесь 65, и 65, - плошади торцов, /3 и Ь, - их высоты относительно некоторого уровня, я, и э, - скорости жидкости на этих сечениях. За малый промежуток времени бг этот элемент переместится и займет новое положение !с2'. При этом его торцы перенес~атея на расстояния Ыл, цлг и Ыж =гзбг и, следовательно, объемы Л)м и Л)',, прочерченные торцами за время Ы, определятся выражениями Л)ш =Л5, Ым =Лир, Ы и Ыи, =Лб,Ы„.
=Лузкзлг. Согласно закону неразрывности струи (27Э) 8Ь5, =с, Лб„следовательно, указанные объемы рааны: lзз Лис,=Лип, Ли. (28. 1) Запишем закон изменения механической энергии (15.25) для рассматриваемого элемента жидкости: Рис. 77 (28.2) Здесь ЛИ'=Ь(И'„+И"„) -приращение полной механической энергии И'=И'„еИ'„элемента (и'„- кинетическая, И'„- потенциальная энергии), а б( - работа, совершаемая за тот же промежуток времени Лз силами. которые действуют на рассматриваемый элемент и не учтены а потенциальной энергии, Такими силами являются только силы давления, дейстаующие со стороны частиц жидкости, окружающих рассматриваемый элемент.
При этом отличную от нуля работу совершают только силы давления жидкости на торцы элемента: г; =р, ЬБ, и гз = р, Луз, где р, и р, - значения давления нв торцах элемента. Эта работа равна: Е4=гЛ(и.-г,Ы . =ИЛ5ИЛг-р ЛузэзЫ=рЛ)м-рЛК, = (р, — р,)Л1" (разные знаки работ сил г, и Р„связаны с тем, что в первом случае направлениа сиды Р, и пеРемещенна Ыл, совпадают, а во втоРом напРаалениа Гз и Ы, противоположны).
Итак, "4 =(,, - р,) ЛР. (28.3) Изменение механической энергии рассматриваемого элемента жидкости за время Ы есть Разность значений его энеРгии а моменты г+Ы и г; ЛИ'=Ига.(г ьлг)-йи(г). ЭнеРгиЯ Ию (г+Лг) складыааетса из энеРгий Ию(г+Лг) и И'„,(г+Ы) частиц в объемах междУ сечеинамн /с2 и 2-2'в момент 1+Ы: Ию (1+Ьг)=йш(1+Ы)+Иж(Г+Ы). Аналогично Ил(г)=Ию(г)тИм(г).
Но энергия жидкости, за юче о в икс опани " не меняются положение и скорости частиц, оказывающихся в этой области. Поэтому И(з(1]=И', (Г+Ы) И, СЯЕДОВатЕЛЬНО. Л)У Иж(1+Ы)-Им(1), тс. ИЗМЕНЕНИЕ МЕХанической энергии рассматриваемого элемента жидкости саодится к изменению энергии жидкости, заключенной а малых объемах Л)и. и Лгш. Массы жидкости Лт„. и Лльз, а этих объемах равны, соответственно, Ьщгбр*)м5ИЛУ и Лез,брлрж=рл)', так что для кинетической, потенциальной и полной механической энергии жидкости в укюанных объемах получаем следующие выражения: 89 ) 1 Ьтн,», р», г ИРРР,".Р = Ькй1,ВН, = рб)(Ь р, 2 (28.4) 1 1 РР='.ЬР»1 =ЯД ЬГ 2 2 )р119 = Ь Рх»кя, = ря)С ар.
(28.5) Таким образом, изменение механической энергии рассматриваемого элементажидкости (28.6) Подставляя выражения из (28.6) и (28.3) в (28.2) и разделив обе части полученного ра- еенства на Ь)', получим: — '+рй)Ч - — '"Рв)( =р -р или Р»1 лР2 2 г 1 1 — »Рф, +Р, = — »РВ)4.»Р,. Р»1 Р" Р 2 2 (28,7) — ьр8)Р+ р = сощг. р» 2 (28.8) Уравнение (28,8) и эквивалентное ему (28.7) называют у р а е н с н и е м Б е р н у л л и . Следствия из уравнения Бернулли становятся наглядными, когда одна из трех переменных», Ь или р остается практически постоянной. Так, прн течении жидкости по горизонтальной трубе а м сощд и уравнение Бернулли принимает вид: — е р = сОРю Рз» 2 (28.9) Согласно уравнению неразрывности (27.3) скорость течения» в свою очередь обратно пропорпиональна площади поперечного сечения трубки тока, а, следоватеяьно, и площади сечения трубы.
Поэтому по мере сужения трубы давление в жидкости уменьшается. Уравнение (28.9) позволяет, правда весьма упрощенно, объяснить возникновение подъемной силы крыла самолета. При соответствующей форме профиля крыла и ориентации плоскости крыла по отношению к направлению скорости самолета, величина скорости воздушного потока относительна самолета оказывается большей над крылом, чем под ним (», >», на рис. 78). Так как значения скорости» в невоз иущенном потоке Поскольку сечения трубки тока ! и 2, ограничивающие элемент жидкости.
могут быть выбраны произвольна, то выражение, стоящее в обеих частях равенства (28.7), имеет одинаковые значения в любом сечении рассматриваемой узкой трубки тока, т.е. остает- ся постоянным вдоль линии тока: 90 (до крыла) одинаковы на линиях тока 7 и 2, то я давление над крылом оказывается меньше, Чем р э' под крылом: р, <дэ, что и приводит к возникгэьс - 7 новению у действующей на крыло силы Е сов ставляюшей Р„. перпенликулярной скорости э р, э — — — (подъемной силы): Р= Г,.
+Р„, где Р, -сила лобового сопротивления. Рнс. 78 Формула (28.9) объясняет, с учетом сил вязкости (о них см. 9 29), искривление траектории центра масс тела, движущегося в жидкой илн газообразной среде, если ээо тело вращается отнОсиэчпьно собственной оен (э ф . ф е к т М а г и у с а). В системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью э, вместе с центром масс вращающегося тела, среда обтекает тело со скоростью -э, вдали от него (рис.79 а), Участки поверхности тела, "г вращающиеся навстречу потоку (в окрестности точки 7 на рис. 79 а), увлекая за собой - — ик ! среду, уменылают скорость потока вблизи поверхности тека (й < э.), а вращающиеся в сторону потока (в окрестности точки 2)- увеличивают ее (э, >э,).
Согласно (28.9) значения давления по обе стороны тела 07 оказываются различными: р, >дэ, и возникающая в рюультате этого перепада давлений сила Г искривляет траекторию тела, как д< рп щ.л. г показано на рис. 79 б. Этот 'эффект хорошо и) Рис. 79 знаком любителям футбола и настольного тенниса (" резаный" удар). В качестве другого следствия иэ уравнения Бернулли выведем формулу для скорости истечения жидкости нэ широкого сосуда. Рассмотрим открытый сверху широкий сосуд, нз которого через малое отверстие внизу вытекает идеальная жидкость (рис.80; пунктирными линиямн изображены линии тока). Запишем уравнение Бернулли для двух точек линии тока, одна иэ которых находится на поверхности живности (соответствующие ей значения величин пометим штрихом), а другая - в плоскости отверстия: — -+уй(э'ьд'= — ьрйв-~Р ХВ',, зж' 2 2 (28.10) Оба давления р и р' равны атмосферному давлению р, и взаимно уничтожаются.
Так как плошадь сечения сосуда существенно больше плошади отверстия, то в силу уравнения неразрывности (27.7) Ы «т и, следовательно, слагаемым дэ'э/2 можно пренебречь по сравнению с дээ/2. Разность высот рассматриваемых точек равна высоте уровня жидкости относительно отверстия: Н-6 = Н, так что уравнение (28 10) принимает вгш: дйН = хм'/2, откуда Н ра Рис. 80 (28.11) Эта формула совпадает с формулой для скорости тела, падающего с высоты Н без начальной скорости. 91 б 29. Движенле впзкой жидкости Силы внутреннего трения. Если первоначально по«оящуюся жидкость привести в движение, а ззэтем снова предоставить самой себе, то движение со временем затухнет. 'Это уюмывает нп то, что между слоями движущейся жидкости существуют сизы трения.
Ихназывают силами внутреннего трения,или силами вязкости. Пусть жидкость течет в направлении осн Ох, причем скорость течения «зависит только от координаты = (рнс. 81]. Рассмотрим мысленно площадку площадью Ьб. параллельную координатной плоскости лбу. Ньютон установил. что между слоями жидкости. расположенными по обе стороны площадки, возникают силы взаимодействия, величина которых пропорциональна площади Лб и градиенту скорости г(«]г(с в месте расположения площадки: ДР= э] — ЛУ.
сЬ (з9 1) Под градиентом скоросги понимается производная величины скорости по координате з: «(лч. 5 ) ээ г .У х о Л« , «(с + Ас] - «(с) (29,2) такии образом. он характеризует быстроту (резкость) изменения скорости ат точки к точке вдоль осн Ол. Нпправлены силы вязкощн так, что стрес з паня ь ско асти слоев жн кости,' на более мят я вьр т р д быстрый слой (со скоростью «(с +бл) на рис. 81) со стороны более медленного (со скоростью «(д)) дейРис. 81 ствует сила ЛГ. направленная против скорости быстрого слоя и тормозит его.
и наоборот, быстрый слой ускоряет медленный, действуя на него с обратной силой -ЬГ. Коэффициент пропорциональности О в законе(29.1) называют д и н а м и ч ее к о й вяз к о ать ю, нлн коэффициентом внутреннего трения. Онзависитотсвойств жидкости и ее температуры. Сины внутреннего трения воэннквют к»к в потоках пндкастн, так н газ». В гяэях они обусловлены обменон нмпу мс»ми исправленного лвнпсння молекул. Переходя ы с зет ыотнческого теплового данн«пня пз одного слоя в другой, кэздэыя молекуле нпссы и уносит нз более быстрого слоя бояьипю импульс к»правленного двн:кення ы «(с + А".), мм импульс ш «(с), который прнынзп в этот сюй моле«юы, прнходящея ей на смену нз более медленного слоя. Это приводит к унсньшеыао импульс» быстрого слоя и увеличению импульс» медэеннога азов.
чта и апнсьыястся. в соответствии со вторым звко. нон Ньютон» в форме (13.51, введением снл вид«раннего трепп». С ростом температуры обмен ныгуль. с»ми увеличив»сто», что приводит, в соглясии с опытом, к роату дннямичсской вязкости. В лмдкастях с ростам тсмпер»туры дни»мисюк»я вязкость убывает, твк что злясь аня, повидимому, обусловлена нсэз р дст»енным снл еым вэсммод,чэствн м моле«уп При движении тела в вязкой жидкости молекулы жидкости, находящиеся на поверхноати тела. "прилипают" к ней и движутся со скоростью тела «.
За счет сил вязкости при этом в движение вовлекаются и — «. другие слои жидкости н в рюультате возникает течение жидкости с соответствующим распределением скоростей от значения «у поверхности зппп до значения «= О вдали от движущегося тела или у стенок, ограничивающих поток жидкости (рис. 82). Значение градиента скорости в различных точках поверхности тела определяет по формуле (29.1) силы, действующие на малые элементы дб поверхности в окрестности этих точек. Суммируя эти силы по всей поверхности тела, най- ДЕМ ПОЛНУЮ СИЛУ ЖИДКОГО ТРЕНИЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
