Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 17
Текст из файла (страница 17)
° (~Я-(ч м (-Ь.<..-.чэш,г+ш,г,)) ( шэ(г +ш, г, ) -,. Я~ (лзя,лб)+(шгй,лгз). Как сшдстеис, потеицвальиеа зжсппга тела спгсделастса высотой цсезпа тсжссзн зсл» Ь,: й'„= шйв, . Прецессии параскева. Гироскопом (от слов "й(гоз- вращение, "экорео"- смотрел,) называют симметричный волчок, обладающий большим моментом инерции ! относительно оси симметрии, которая, как отмечалось ранее, является одной из его главных осей инерции. Именно вращаясь относительно своей оси симметрии с большой угловой скоростью ш,, т.е.
обладая большим собственным моментом импульса уэ = )ш, относительно этой оси, гироскоп проявляет свои специфические свойства, об одном пэ которых пойдетречь. — =(г.р] . б2 ~Й (19.20) Следовательно,момент импульса гироскопа будет изменяться со временем, однако скорость дополнительного движения гироскопа обычно мала по сравнению с огромной скоростью собственного вращения. Поэтому в любой момент времени момент импульса Рассмотрим вращающийся вокруг оси симметрии гироскоп, укрепленный на карлановом ! подвесе.
Карнавон подвес (рис. 59) устроен так, что допускает 5' любое вращение гироскопа г вокруг одной неполвижной точки О - центра подвеса, относительно которой момент сил, действующих на гироскоп О со стороны подвеса, равен ну- лю. Он состоит из двух колец, 2 которые могут свободно вра- щаться относительно осей, со- ЗГ' ответственно, 11' и 22'. Сам гироскоп укреплен во внутреннем кольце и его собственное вращение происходит вокруг оси 33'.
Мы рассматриваем случай, когда центр тяжести гироскопа Рнс. 59 совпадает с центром подвеса, так что момент сил тяжести относительно точки О также равен нулю. Прн этих условиях покоящийся гироскоп находился бы в положении безразличного равновесия, а вращающийся стремится сохранить состоянне собственного вращения. Выясним, как будет вести себя гироскоп, если к его оси на расстоянии г от точки О приложена постоянная сила Р (рис. 60 а).
Невращающнйся гироскоп (еэ, =О) поддействием момента М='(г,р] этой силы вел бы себя по существу как физический лгаятник, однако вращающийся гироскоп реагирует совершенно иначе. Для решения эапачн используем закан изменения момента импульса (14.9) относительна неподвижной точки гироскопа О. (Применять уравнение моментов (19ЛО) для вращения относительно осн здесь нельзя, так как ось гироскопа, как мы увидим, не будет оставаться неподвижной). Моменты сюэы тяжести и снл, действующих на ось гироскола со стороны подвеса, по условию задачи равны нулю, а силами трения пренебрегаем, поэтому суммарный моиеят сил, действующих на гироскоп, сводится к моменту М = '(г.
Е] силы Г и уравнение моментов имеет вцл: ь гироскопа прйктически равен собственному моменту импульса Е=уэ =!м„н направлен по оси гироскопа (строгое обоснование дано мелким щрифтом на с. 63). Согласно (19.20) Н ='(г, Г]вг. Разложим момент импульса Тэ на две составляющие: Тт, направленную вдоль силы Г, н йы лежащую в плоскости, перпендикулярной силе Р: ьэ = й + В (Рис. 60 б).
СоставлЯющаЯ Тт сохРанаетса (ут = сот!), так как момент силы Р относительно параллельной ей оси равен нулю, поэтому льэ =с((ят+ А, ) = ль, так что лх = (г, Р] сй . (19.21) Следовательно, малые приращения Ж., всегда направлены по моменту силы Лз ='(г,Е], те., как легко убедиться, они перпендикулярны самому вектору Е н лежат в пласкосгн, перпендикулярной вектору Е - это приводит к вращению вектора ь (см, последний абзац на с. ! 3).
Таким образом одна составляющая (йя ) момента импульса Уе остается постоянной, а другая ( ь ) вращается в перпендикулярной плоскости. В результате вектор;Г„=! юэ, а вместе с ним и ось гироскопа, описывают конус вокруг направления силы Р, как показано окружностью со стрелкой на рис. 60 . Это дополнительное врыцение оси гироскопа под действием постоянной силы называется п р е ц с с с и е й. иеясапс сэмы )г ь лрс васс и я) олзг ~И,  —: 1. Ь] Вя(!+ей) а) Рис. 60 Рнс.
6! грин апу грс)Г видно из рис. 60 ирис. 61), а Ь,= Евши )аэя)па, так что сйя= —, = — и )ю,ип а !еэ, после деления на сг находим угловую скорость прецессии: йр гР уюэ (19.22) Вычислим величину () угловой скорости прецессии. Малый угол пр, на который поворачивается за время ау плоскость, проходящая через ось гироскопа и ось прецессии, находим нз рнс. 61: э)в=с!с )ь' . В этой формуле согласно (19.21) Ж. =э этап пю (угол а между векторами г и Уесть угол между осью гироскопа и осью прецессии, как В лекционных демонстрациях прсцсссию гироскоп» кызыл»ют, поде»шин»я к ега ася грузы м»саал ш, тогд» в формуле (!Э.22) Г=шя Меняя м осу грузов и нк тачку поднес» монна проиллюстри.
рав»ть прямо пропорциан»льную з»висиносп угловои скорости прецессии от «сличнны силы г и рве. стояния г от центр» вр»щсии» ло тачки прилапсния силы Со временем з» счет сил треки» упзов»я скорость ю собственного вр»щения гироскоп» унспьш»стоя и в соопзсгствни с форму»он (1с.ээ)нвб»юлви сто» увеличени» угловои скорости прецессии - ю аз эффект н»блюде»те» у ю»ы и зн»кап всем с детства, Многие врпщательные движения в природе сопровождаются более или менее ярко выраженной прецессией: прецессирует ось вращения Земли; прецессируют в магнитном юле осн орбит атомных электронов, обуславливвя намагничивание вещества.
В 20. Плоское дви:кение [1лоское движение, при котором точки тела. по определению. движутся в параллельных плоскостях, можно представить как поступательное движение тела вместе с осью, перпендикулярной этим плоскостям, и вращение относительно этой оси. Как будет показана далее, целесообразно выбрать ось вращения проходящей через центр масс С. Длп описания движения тела используем две системы отсчета: "неподвижную" инерциальную СО К, в координатной плоскости хбу которой движется центр масс тела, и вторую, связанную с телом СО К', у которой начала координат совпадает с центром масс С тела, а координатные аси Сх'.
Су'. Сэ'параллельны координатным осям Ох, Оу. Оэ неподвнжйой СО (см.рис, 62, на котором оси Ох и Сг'направлены на читателя). Тогда положение тела в любой момент времени определяется заданием положения оси вращения Сл', которое опиаываетсв двумя координатами центра маас х,(т) н у,(г), и углом р(1), характеризующим поворот тела относительно оси Сх( Следовательно, тело, которое может совершать плоское движение, обладает тремя атепенями свободы.
Координаты центра ыасс тала х„(т) и у,(г) подчиняются уравнению движения центра масс (12.5). )с'К ( ш — ' '„Г Ря, ш —,' = ~з 'Р"к . (20.1) с(г', *' ' агг' у (сосут а угол Н(т) - уравнению моментов (19.11), так как в СО К' тело вращается относихг(г+сд) " тельно неподвижной оси Слу хс (т) У вЂ”, = ~, Мс . (20.2) (з ( Рис. 62 Заметим, что СО К' вообще говоря неинерциальная, и справедливость в ней уравнения моментов требует обоснования (см.
далее предпоследкий абзац на с. 105). Прямая задача динамики тела, совершающего плоское диижение, состоит в нахождении зависимости отвремени координ»т х,(г), у (т), р(г) и сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений (20.1), (20.2) при заданных начальных условиях х,(0) = хз, у,[0) = у,, р(0) = Сзз, т (О) = г,, га(0) = воз, ш(0) = и,, рость этих гачев е скл»дьшвстс» из скорости т„поступ»тельного даик»низ цивнндрв вместе с Ш:нт- Качение. Частным случ»еи плаакого двихеиия яваеетсв и»чсние тел, которое обсудим н» примере качания однородного цюшндра па горизонтальной плоскости (рис.
63). Квчешю иожт пронсходиэь со сколь»иннам (с "пробу»шакая"), на мы агр»внчимсв рвссмотрснисм квчевпя без сколыксниа, когда абсспс'ино заков сцепление меж»у цилиндром и плопсостью, что точки цилиндр», нахал»шисся нв линии его соприкосновения с плескасзью (точк» А нв рис.бз») поковтс» относнз".льна плоскости. Ска- рон масс и скорости р,заращения относительна оспин»инды (рне.
63 э): з„=ец +р, =0 . Ска- рость р, направлена прага» скорости зь„и имеет иаюуль у, = шВ, где Я и э - радиус и угловаа скорость вращения пнлннлра, так что для качения без скольжения необходимо, чтобы в ка:кдьщ нонснт эре»сии выполнялось условие зц „—— гоВ, кви (дифферснцирусн обе чццеци раве»атее по времени) (20,3) где а, ° ускорение центра масс цилинлр», )3 - угловос ускорение вращения цилиндр». Поскольку проскальзывание отсутствует, на цнлинлр ао стороны плоскости панино силы рхц нарнальнога давления действует силе зрения покоя Г „, катар»л входит а уравнение движпшя «ак неизвестная н апрслелястся в процессе рещение задачи.
(Качение будет происходнзь без праск»льзывапия только в таи случае, если лля найденного значения величины Г выпалнастсю условие: Р <)ц)ц'.) Однако легко видеть, что апнааиис трснпа силой, дсйетвукядсй только нв линии касаНия цилиндра и паскости. яюыстсе довольно грубым ну»бак»ели»и. Дсйепппашна, свободно катшиийса без скольжения по горизонтальной пло- скости пнлнзцзр со временем оатаиввливаетсз, т.с, реаэьна дейщвуюшис еильц тормозят как поступательное, тек и вращательное люижеиия нилин дре. В то время как в нашей модели сила трения покоя манш либо тормозить поступательное движение, но В е) "сз,.а б) прн этом ускорять вращательное,, +, (рис.
63 б), либо, напротив, торно. 4 "р+"цз сить ар»лесине, но ускорять наступа.. а) тельное ляи;кение (риа. 63 в) (сила нориалього давления, очевидна, роли Рис. 63 не играет) Из излажсипого юно, что силы, дсиствузощие н» катнпнйся цюнпщз со стороны плоскости, долж. ны, ва-псрвьп, иметь горизонтальную соетавлиошую, направленную против скороапц з„„поступательного движения цилинлра, и. »о-вторых, нх суинарньщ иомеит отноппально сои лпаиидра додщщ быль н»правлен против угловой скорют» ш вращения цилиндра. Те»ими сияенн шщпатсз с н л ы т р е н и а к а ч с н и я, природа которых принщвиюяьна связана с деформ»лией влоскасти и вияинэра, неизбевыо вазникаюлйй при качении цилннлр».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
