Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Работы, стоящие справа, представляют собой по определению значения потенциальной энергии в начальном и конечном положении: Ат ™м =)5" (1), Аы»' -- Ц(11), и мы приходим к формуле (15.!!). Обсудим ряд свойств потенциальной энергии. Во-первых, потенциальная энергия согласно определению зависит от положения системы, т.е от координат всех ее )з' материальных точек: В;(х„у„х„...;х„,у„,т„) В общем случае она не может быль представлена как сумма потендиальных энергий атдельнмх точек системы, т.е.
в отличие от кинетической энергии потенциальная энергин не адцитнвна. Во-вторых, потенциальная энергия зависит от выбора нулевого положения: есин заменить нулевое положение О на другое О', то к значениям потенциальной энергии системы добавится одна и та же постоянная величина: И",(хоуоз,) = И'„(хоуос,) + Солят. (! 5.! 3) действительно, если при вычислении потенциальной энергии )р," цри новом нулевом положении 0' выбрать путь, проходящий через прежнее нулевое положение 0: 1-+ О -+ 02 то )р'„мА, мАо+ А эн й',+солт!, так как А, = Ве а А есть постоянная величина, зависящая только от нулевых положений 0 и О'. Поскольку выбор нулевого положения вообще говоря произволен, то (15,13) означает, что потенциальная энергии системы определена с точностью до произвольной постоянной.
53 Если в системе действуют потенциальные силы нескольких видов, например, силы тяготения и упругие силы, то, поскольку работа суммарной силы равна сумме работ каждой силы в отдельности, полная потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий, обусловленных силами каждого вида: И'„=И',™ +Иге Согласно определению потенциальная энергия измеряется в тех же единицах, что и работа, т.е. в СИ- в джоулях. Выведем формулы двя потенциальной энергии простейших механических систеи.
Потенциальная энергия пру:кипы. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел, соединенных невесомой пружиной, длина которой в недеформированном состоянии / ь (рис. 38 а). Если пружина упруго деформирована (сжата или растянута), то она действует на тела с силами, равными по модулю и иа- !0 правленными вдоль пружины: при растянутой пружине это силы и/ 4)/ппйп© притяжения, прн сжатой - отталкивания (рис.
38 б и 38 в). Эти силы завися~ от расстояния между телами н ие зависят от скоростей. (Рзззззлггф Следовательно, оии удовлетворяют критерию потенциальности и 6/ -г Е рассматриваемая система обладает потенциальной энергией. Ра- /г бота внутренних потенциальных сил, как было показано, определяется только начальной и конечной конфигурациями системы и, еле- е/ довательно, она ие зависит от того, в какой системе отсчета вычисляется. Удобно связать систему отсчета с одним из тел, выб- Рис. 38 рав начало координат в положении равновесия второго тела и направив ось Ох вдоль пружины (рис.
39 а). Тогда работа будет совершаться только над вторым телом (первое в выбранной СО покоится) упругой силой Г, /е проекция которой иа ось Ох выражается формулой с (1011): Р' ф-йх, где /с — жесткосп пружины, хкоордината второго тела. Малая работа АА при изменении координаты второго тела от значения х до Р— х значения х +Ьх (рис. 39 б) согласно четвертому выражению в (15.2) равна ЛА = Р; Ьх = -/х Ьх, а работа на конечном перемещении из состоания с координатой *, в состояние с координатой ха определится О х Ых 6/ Рис.
39 интегралом А,л=)* (-/х)а/с=(А/х*//2)~*„'=/х,'//2-Мх,*/2х ) э /сг, зя = (15.14) / 2 И'„(х) = —, 2 (15.15) где х - улдинение (сжатяе) пружины. Согласно определению потенциальная энергия измеряется работой, совершаемой потенциальными силами при псрскоде системы из рассматриваемого положения (с каординатой х ) в нулевое положение, в качестве которого естественно выбрать равновесное состояние системы, когда пружина не деформирована (х = О). Подставляя в формулу (15.14) х, = х и хл = О, получаем формулу для потенциальной энергии системы двух тел, соединенных невесомой пружиной: Потенциальная энергия гравитационно ювимодействующик шара и материальной точшз. Рассмотрим систему, состоящую из гравитационно взаимодействующих шара массой М, в котором масса распределена сферически симметрично, и материальной точки массой «и (рис.
40). Гравитационные силы потенцишзьны, поэтому рассматриваемая система обладает потенциальной энергией. При вычислении работы сил тяготения прн переходе системы нз состояния с конфигурацией ! («=«,) в состояние с конфигурацией Д («= «л) выберем ССь в которой шар неподвижен н, следовательно, работа совершается только над материальной точкой силой тяготения (10.6). Вычисляя зту работу, ) т )г воспользуемся произволом в способе перемещения и вы«э' берем путь (-+Г-+П, состошлий из дуги М' и ради- и апьного отрезка ДИ, как показано на рис.
40. Работа на участке пути М' равна нулю, так как в калщой его точке сила тяготения перпендикулярна малому перемещению. На радиальном отрезке !'Н сила направлена против Рис. 40 перемещения, поэтому работа на малом участке пути 0А «,0«= (-бтМ!«з)б«, а вся работэ определится иитмра ом Ам=~в(-бшм/«з)Я«=(-бшМ)) '«зп«=ИМЯ =атМ1«л-О М(; Запишем ее в виде тМ шМ А«! =(-Π— )-(-б — ) «, (1 5.! 6) За состояние с нулевой потенциальной энергией обычно принимают состояние, в котором взаимодействие отсутствует, чему в нашей задаче соответствует бесконечное удаление материальной точки от шара («-+со). Подставляя, в соответствии с определением потенциальной энергия, в формулу (15А6) «, =«и «в -ею, получаем для потенциальной энергии системы следующее выражение: тМ И"„(«) = -С— « (! 5.17) Петенцнальнав эяергня материальной точки, находящейся в однородном поле сил.
Пусть на материальную точку действует постоянная сняв Р, величина и направление которой одинаковы во всех точках рассматриваемой области пространства (Р = сола!). В таком случае говорят, что материальная точка находится ва внешнем постоянном однородном силовом поле. Покажем, что сила Р потенциальна, н получим формулу для потенциальной энергии материальной точки. Проведем ось Ог декартовой системы координат в направлении, противоцоложном силе Р. Тогда, как мы увидим, потенциальная энергия будет возрастающей функцией одной координаты г точки. Сначала вычислим работу силы Р прн перемещении точки нз положения 7 (координата я,) в положение Д (координата гв), предполагая форму пути проювольной (рис.
41). Для работы бА на малом перемещении б! воспользуемся четвертым выражением в (15 2), замечая, что Р„=Р, =О, У; =-Р': ЬА=Рбг=-Рпя . 55 Работа силы Р при переходе из состояния 7 в состояние П выразится интегралом А„, =) (-Г)лг= Иг,-Ггл .' Аш =Рг, — Ргл (15.18) Она оказалась зависящей только от начального и конечного положения точки, в то время как при выводе путь предполагался произвольным, Следовательно, материальная точка, находящаяся в однородном нос~санном внешнем поле сил, обладает потенциальной энергией. Если за нулевое положение принять положение материальной точки с координатой г=О, то формулу для потенциальной энергии точки получим из (15.18), полагая з, = з и з, = 0: Рис.
41 И'„(з) = П з . (15.19) Частным случаем этой формулы является известная школьная формула дпя потенци- альной энергии тела массой ш, подиатого на высоту И над поверхностью Земли: И (П) 'Р (7) Аи ~Аз (15.21) выразим ее согласно (15.!1) через изменение потенциальной энергии А,я ' * И'„(7) — И'„(П): И'„(П) - И'„(7) = Иг(7)- И'„(П) + А,'л (15,22) и перенесем в левую часть равенства: Г(Р(П) -И',(П))-'()Р„(7) -И'„(П))= А,а, (15.23) Здесь А,'я - работа непотенциальных и прочих сил (возможно и потенциальных), работа которых по тем или иным причинам не учтена в потенциальной энергии системы. Назовем сумму кинетической и потенциальной энергий м е х а н и ч е с к о й з и е рг и е й системы материальных точек: (15.
24) Тогда формула (15.23) запишется в виде: И'„=шйз . (15.20) Действительно, в небольшой по сравнению с радиусом Земли Я области вблизи земной поверхности сила тяжести практически постоянна по величине и направлению и равна Г =шд =союз, а з = уз .
Когда материальная точка находится на расстоянии от поверхности Земли, сравнимом с радиусом Земли, формула (15.20) перестает быль справедливой и необходимо пользоваться строгой формулой (15.17), учитывающей зависимость силы тяготения от положения точки. Рекомендуем, глядя на пары формул (15.15)-(15.14), (15.!7)-(15.16), (15.19)-(! 5.18), лишний раз убедиться в справедливости формулы (15.11). Закон изменения н сохранения механической энергии. Введение потенциальной энергии позволяет завершить вывод закона изменения и сохранения механмческой энергии, осуществляя который мы остановились на теореме о кинетической энергии (15.10). В стоящей в правой части этого равенства работе всех сил, действующих иа тачки системы, выделим работу потенциальных сил: 56 И (Д) И»(() А(п - приращение механической энергии системы материальных точек равно работе непотенциальных и прочих сил, не учтенных в потенциальной энергии системы.
Таково содержание закона изменения механической энергии. Работа каждой непотенцнзльнай силы в правой части (15.25) отражает превращение энергии нз механической в другие виды энергии. Так, за работой сил трения скрывается переход механической энергии в тепловую. Если силы, не учтенные в потенциальной энергии, совершают положительную работу(А'>О), она идет на увеличение механической энергии системы: ЛВ'и И (Д)-Ф(1) > 0 . В случае А' со ОИ'и Иг(!Г~- И»(Г) < 0: механическая энергия убывает, перехоля в другие аиды энергии, Если силы, ие включенные в потенциальную энергию, таковы, что в процессе движения системы их работа равна нулю: А'=О, то 6'(()=И'(Д) для любых состояний! и Д системы, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
