Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Работа Аш на конечном участке пути от точки ! до точки П складывается нз чалых работ на отдельных малых участках пути. Суммируя эти работы ЬА, = Р;о Лзл н переходя к пределу прн Л! ' -+ О, находим: ю Аш = йш '» г,'Я О('л =) г; А! ы э з (15.3) В конкретных задачах при вычислении работы стоящая под знаком интеграла проекция силы Р; записывается как функпия некоторой переменной, по которой ведется интегрирование, и в качестве пределов интегрирОвания ! н П подстав- (1 ' лаются значения этой переменной, соответствующие начальной н я конечной точкам пути.
Если, например, У, задана как функция 1! пути 1, отсчитываемого от некоторой точки на траектории, то Аш =) г;[!)А! (см. Рис. 33). Из (15.2) следует, что единицей раРнс. 33 ь боты в СИ является джоуль: 1Дж=1Н 1м . Отметим два свойства работы. вытекающих нэ ее определения (15.3). Работа меняет знак: 1) если направление силы в каждой точке траектории меняется на обратное; А„, " = — Аэя "' н 2) если начальная и конечная точки пути меняются местами: Аш = -Ая, . Дейсгвительно, в первом случае меняет знак подынтегральная функция, а во втором - меняются местами пределы интегрирования. Подчеркнем, что в зависимости ат поставленной задачи можно интересоваться Работой той или иной отдельной силы.
а необязательно работой результирующей силы, действующей на материальную точку. При этом иногда вместо явного указания силы говорят, какое тело совершает работу нцц рассматриваемым телом (например, под словами "газ совершает рабату" подразумевается работа силы давления, действующей на перемещающийся поршень).
Э и е р г н е й системы в широком смысле глена называется способность системы совершить работу. Эта общая формулировка понятия энергии, ес~ественно, нуждается е конкретизации, когда речь идет об определении энергии эого нли иного вида как проекция силы на направление перемещения, а Ы = (сова — проекция переиещения на направление силы. Принимая во внимание также (М.24), можно написать четыре равноправных выражения для малой работы: физической величины. В механике рассматриваются два вида энергии - кинетическая и потенциальная, являющиеся функциями состояния системы, причем кинетическая энергия зависит только от скоростей, а потенциальная - только от координат материальных точек системы. Не давая заранее определений этих двух видов энергии, покажем, как они естественным образом появляются в теории, если рассматривать движение системы в энергетическом аспекте.
Теорема о кинетической зверюги. Пусть лзатериаяьная точка массой т движется под действием результирующей силы Г. Выясним, на что идет работа, совершаемая силой )г. Запишем второй закон Ньютона в некоторой точке траектории а проекции на тангенциальное направление та, =г,1 (15.4) здесь а, и г, - тангенцнальное ускорение и тангенцнальная проекция силы (рис, 34). Чтобы в правой части формулы (15.4) стояла малая работа 64 = ~Ж, умножим обе части равенства на величину малого перемещения ну материальной точки: та,аг Р;Я! (индексы г и ! символизируют одно н то же касательное к траектории направление).
Подставляя в левую часть последнего равенства согласно (43) и(2.1) а„=гЬ/г(! и ау= эй, имеем; т(аЪ/сК!)гс(г=б(, рг или тэат = Я. Легко проверить, что тгсЬ= а(тэ'/2), следовательно 1(тэ'/2)=64. Скалярная физическая величина (1 ! г (15.5) 2 Рис. 34 называется кинетической энергией материальной точки,такчто (15.6) Просуммировав малые работы на всех малых перемещениях конечного участка траектории от точки ! до точки Л, т.е, взяв определенный интеграл от обеих частей равенства (15.6), получим: м„(Л) - м„( 7) = Ат, (15.7) где м„(7!) и м,(!) - значения кинетической энергии материальной точки в конечном н начальном состоянии. Тахим образом, работа результирующей силы, действующей на материальную точку, равна приращению кинетической энергии посллпней, Аналогичное утверждение справедливо для системы материальных точек.
Дей. ствительно, записав уравнения (15.7) лля каждой точки системы (верхний индекс в скобках нумерует точку системы), и суммируя эти уравнения, получим: ( !!) и» (7) 4гл м ( )(7!) и 4 )(!) д~~ ) „с1(7!) ~ „т(!) з~ 1 т (15.8) 4-4467 50 О сдслим к и н е т и ч е с к у ю з н е р г и ю с и с т е м ы и а т е р и а л ь н ы х т о предел ч е к как сумму кинетических энергий ее точек: э 2 (15.9) (тем самым кинетическая энергия, как и импульс и момент импульса — величина адди. тивная). Тогда (15.10) абота всех с л ейств ю их на мате и ьные точки сист мы и ет на п а ение (А„,'и) и из состояния П обратно и исходное состояние 1 (Ал,'з') (цифры в скобках символически означают пути точек тУда (1) и обРатно (2)): А = А„,'и + Ас,о' !Рис, 35), В силу свойства работы менять знак прн перестановке начальной и конечной точек пути Ал, = -Ат, так что 11~ ~з~ пути 2 Рис.
55 О| Р) ~О (з) А = Ат — Ат . Но Ат = Ат вследствие независимости работы потенциальных сил от способа перехода из состояния ! в состояние П, так что А =О, что и требовалось доказать, Для внутпеннниих хпотенциальных сил существует простой критерий потенциальности: ещи силы взаимо ействия в системе овлетво яют етьем закон Н тона о ка их е е ых оме асстояний ме точками с с ы в за ча о за и т ско ос ей то о оте ьны.
При этом работа внутренних сил вполне определяется начальной и конечной конфигурациями системы (к о н . ф и г у р а ц и я системы материальных точек определяется заданием расстояний ге между ними) и не зависит от перемещения системы как целого при неизменной ее конфигурации. Для докезатсльспм стого ушсрллмвж предспюим работу всех внутренних сил, действующих иеи- ЛУ таЧКаМИ СиетсММ, КЕК СУМИУ РабОт *, СОЕСРМСЕММХ ПаРаМИ Сия Ге И 1"е ЮЗИМОДСВСтянл Г -В И й -й тэчск: А = А'А,э ирзссмотримадяуизэтихработ А,э . Зямалыипромеаугокврсмсни Ы ! -яи й-я сс ! кинети секо э е ииснстемы. Этоутверждениеноситназвание теоремы о ки нетическои энергии. Потенциальные силы и потенщильнвя энергии.
Все силь| можно подраздедить на потенциальные (консервативные) и непотеициальные (неконсервативные). П о т е н . ц и а л ь н ы м и называют силы, работа которых зависит от положения системы (т.е, координат ее тачек) в начальном и конечном состоянии и не зависит от способа перехода системы из начального состояния в конечное. Из нюависимости работы потенциальных сил от способа перехода ю одного состояния системы в другое вытекает равенство нулю их работы при "циклмческом" перемещении системы, т.е, с ее возвратом в исходное положение, Действительно, работу А лри циклическом перемещении можно представить как сумму работ. совершаемых при переходе из исходного пути ! состояния ! в некоторое промежуточное состояние П тачки совершат переисщеэня Оф и О)д (рис.
36) и силы „~д и,г» совершат работу ЬА,» = (уд,лф)+( удод)д). Малое лерсиещелне д -й точки П( представил «як сукну трех псреисщнщй; М, = Мд» огя) . ) + Ог ) л), гхе псРвае слагаемое Равно пеРеисщению п(д )с -й тощи, Отвис щвпеиди- кУлЯРиа силе Ув, в бгэсдтд иапРавлсн вдоль пРЯмой, сщдинЯщщей точки. Падставлэа это Раэлоксние в формулу дщ бА» н воспользовавшись свой»твои дистрибупнисстн скалярного произведения )си (Ы За)), инсси ОА„=(У»,О) ) ь(дв,бгд о) Ь(/;„„Лг г ) Ь()щб( ), ПеРвос и последнее «ла.
пдеиые взаимно уничтоиантся, так как Гв = -,Г„, и следоватезьно, (Гя,б(д) = -( Гдоб(д)) второе сватаеиое равно нулю, тнс как по постросвию Ьгщдг)ив. таким образом, имссн: ОАв = (Дю Ьгвглд ) = (щвк "+" соответствует силан оттвлквваиия, щ знак "." - силан притэнеиия). Работа А,д, совсрщяеиая при исрехолс системы из состояния ) в со»голене и, Уй(Г+Аг) Ал" --) „у', (г )Пд;» =Ф(г„э)-Ф(д;д ), где Ф(г„)- пчвсебрэ кэя фээдюдвй гв(гэ)' Опрэщлдтщцщ ьээвси' иосп, модула силы юаииодсйствия Г',д от расстояния гд у э иекяу точкэки, а гд и дв - значения гд в иэчальиои и конечнои сссгоявияк. Полная работа виутрсинях сил Ащ —— Х А„=(Ф(г1э )-ф(гй)]+(Ф(г„) — Ф(у э)] ч..., д» как видно из этой формулы, зависит лишь от относительных расстояний го,го „,.
исиву точками системы в начащиаи и консчиои ссстозиивх, т.е. ощиделлстсэ начальной н конечной конфигурацивии системы и ие зависит от способа 1мрехода нз дщчаэьного е каиечисе состояние, что и требовалось доказать. Рис. Эб Вопрос о потенциальности внешних сил будем выяснять отдельно для каждого конкретного случая. Следует заметить, что внешние силы можно сделать внутренними, если включить тела, со стороны которых они действуют, в состав системы. Из сил, рассматриваемых в механике макроскопических тел, потенциальными являются силы тяготения и упругие силы, рассматриваемые как внутренние силы, поскольку н те, и другие удовлетворяют критерию потенциальности: зависят только от расположения материальных точек системы и не зависят от скоростей.
Для гравитационных сил зто непосредственно следует ю закона всемирного тяготения ()0.2); упругие силы однозначно определяются дсформациямн, т.е. относитсльнмм расположением малых элементов тела, которые можно считать материальными точками. Силы трения движения непотенциальны. Действительно, направление силы трения противоположно направлению движения тела, на которое она действусг: и;" <О, поэтому ее работа на любом пути, в том числе и замкнутом, отрицательна: А = ] г',Чар < О, а ллв потенциальных сил такая работа должна быть равной нулю, Потенциальные силы обладают замечательным свойством: их работа, совершаемая над точками системьд при ее переходе ю состояния ! в состояние И, может быть представлена как разноси значений некоторой функции состояния системы - ее потенциальной энергии И'.
- в начальном (1) и конечном (П) состояниях: 52 Азэс В (1) РЭ (11) (15.11) Приращение потенциальном энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние Н есть Л))'„= ));(11)-)р„'(1) и, следовательно, работа потенциальных сил равна приращению со знаком минус, т.е. убыли, потенциальной энергии; (15.12) П о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и е й системы материальных точек называется скалярная физическая величина, измеряемая работой, которая совершается потенциальными силамн над точками системы при переходе ее из рассматриваемого положения в некоторое положение, в котором потенциальная энергия системы принимаетсл равной нулю (нулевое положение).
Иногдэ потснсмаюную энсрппо опредсззют как работу, которую необходимо созерпзпь посто. ронинми знемнимн силззш, чтобы псрсаееси систему ю полом:нис с кулонов потенциальной энергией ь рзссматриеэемое. При это» зьио предпозэгзеты, что эти снам разны по зсэичмне и пратнзополоины по непрееэснмо сила», дсиспуощим в системс . Работы тех и врупзх сил отзмипотс» мззко» и чтобы скомпенсирозэть зто измененяе виске зо второй формулировке персепансны нечеььное и консчиое по. зоисюы силсмы.
Чтобы получить формулу (15.!2), воспользуемся независимостью работы потенциальных сил от способа перехода системы из начального в конечное полозсения н при вычислении работы А„,™м переведем систему из положения 1 в положение 11 через нулевое положение 0; 1-ьО-ей (рис. 37). Тогда А,»'" =А,"; +А,";;,' Рис. 37 боты менять знак при перестановке начальной и конечной точек пути).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
