Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 15
Текст из файла (страница 15)
48), Последнее векторное произведение имеет модуль йл гзгс и направлено по угловой скорости и, так что (à — (сзз гз) (!9.3) а момент импульса хэ всего тела, как величина адлитив- ная, равен сумме моментов импульса его малых элемен- тов: (!9.4) символ Р у интеграла означает, что интеграл берется по объему Р тела. Рис. 48 63 Скалярная фюическая величала, равная проязвсденню массы т материальной точки на квадратеерасстояния г отоси вращения, называется м о ментом и н ерци и материален ой точки относительно оси вращения! (19.э) Момент инерлни по определению велнчяна аддитивная, т.е.
момент инерции 1 тена равен сумме моментов инерции (19.6) его малых элементов: «=) О=)" 6 . (19.7) С учетом (! 9 6) н (19 7) формулы (19 3) н (19 4) принимвхот вид: сх(з с(ум (19.0) и 1„= 1ы (19.9) Й - момент импульса как мююго элемента тела, так и всего тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же осн на угловую скорость тела. Покажем, кв» дщ сюпмтричного юзи, врзщвющсгос» относительно осн симмщрви Од формула (!9.9) слрзвевмща и ющ моменте импульса Ь отисситюьно любой точки етой ссп: Х= уз =!оз. Вследствие симметрии тсы всякому малому сто элементу мессы сбн соствсизвуст симметрично расположенный стиве\мовене осн врвщсвис зависит тон жс массы, во с протизсаоложио направленной скоростью з' = -з (рнс. 49).
Запщисм суммарный х моиспт вмпущсе такой пары элементов опвжюсчьнс некоторой !~жги 11 и» точки О оис врвщсииа, представлю ис радиусы-векторы г и г' кзк сумму ссстввлвющих, извравщниых псрпсКввкулзрио и в' пзраалевьно оси врвщеаив Ох: г =г +г и г'=г'+з; (пв. ус сЬн рзввевьнмс ссстввлнощие расим: г', з;): яь ' = як+а' = зх [г, йиз)+(г',с(щз~ =~(г +г), йиз]4((г„'+г),а3тг') ~;зу .)+~.„,а .)+(;,и ")+~„йщ')=а, О 1г„йп з )е Ях,'-'(г„с(щз) = ехз + ж,'еиуз ' , пссколзкУ все тсао ионна нрсдставзпь касс совсхупнссть пар оютвстсщпщых Рис.49 зюиснтов, то я Ллв поеного мсмсатв аипувьса тела Е = А„, по и трсбсвзвссь доказать. Как следует нз определения (19.7), момент инерции тела относительно оси зависит от того, как распределена масса тела относительно этой оси. Момент инерции тем больше, чем более удалены элементы тела от оси, так как тем больше нх вклад (за счет г' в формуле (19.6)).
Так, например, момент инерции однородного бруска максимален относительно осн симметрии 1, параллельной короткому ребру, и минимален относительно оси симметрии 2, параллельной длинному ребру: 1, > 1, (рис. 50). Рис. 50 Формула (193) позволяет судить сб изменении момемта импульса вращающегося теяа по измснснщо его момента инерции и упювой скорости, что делает наглядщщ проэвщния заказа сохрацищя момщтэ импульщ в системах с вращашпэиииоя гелани. Ванна збх!иктиы лскщшнные демонстращщ со "скамьей Жуковского", которая манш вращаться относительно вертикальной оси. Если пренебречь сп. вами трении, то момент импульса оканьи вместе со всем, что иа ней нахоявтса, относительно оси вращения должн сохранятьсл, так «ак монмпы относительно этой оси прочих внешних снл .
силы танести и реашщи опоры ° раенм вумо. 8 одном нз ось»тон щнонлратар сидит на оканье с машинными попс. лами в раздвинутых руках и скамья приводится вс вращение. Когда демонстра»'ср прибэннает гены»щ к туловищу, момент ннерцин системы уменылаегся, и а о»атвстшвии с »эконом сохранения момента эщ пульса /Ф сщп( угловая сксросп вращнпм увслпчиаается (рис. 51 «).
8 другам варна»не демонстратор дернит в руках велосипедное колесо, укрсппшнсе нз вертикальной сои (рис. 51 б), причем вначаве скамья и колесо нсподмсснн (а».„ш = О). Когда демонстратор начвнэст раскручивать колесо (а» ыО), скамья с демонстратором приходит во вращение (ш„но) в противонолавнсм направлении, поскольку ламент шптульса системы долксн оставаться равны» нуно ыгонгг шэ ж ш, ш,я, ээ < г; б) Рис. 51 Уравнение движения ддя вращении твердого тела относительно оси (уравнение мо. ментов).
Второй закон Ньютона для материальной точки (7.1) - (7.4), являясь в то же время законом поступательного движении тела, для вращательного движения тела как целого теряет смысл. поскольку в этом законе фигурирует ускорение одной точки, а при вращении тела его точки имеют различные ускорения. Чтобы получить уравнение движения для вращения тела относительно оси Ог, рассмотрим тело как совокупность малых элементов, т.е, как частный случай системы материальных точек, и воспользуемся законом изменения момента импульса относительна осн О* (14.15), подставляя в него выражение (!9.9) длш момента импульса тела и учитывая при дифференцировании, что момент инерции тела не зависит от времени, йн получим: 1 — =~'М;" .
Заменяя согвасно (19.2) производную угловой скорости по сэ»э э времени на угловое ускорение и опуская символ "виещ," у моментов снл, имеем: (19.!О) оизве ениемоме аии иителаотносител нор в а ен яна ло ое око ение н с мме моментов относител но той же оси сил ейств ю их на алема ивае мое тело со сто оны гих тел. Уравнение (!9.10) является уравнением движения для вращения твердого тела относительно оси; его называют уравнен нем м о и ент о в, так как в нем фигурируют момент инерции н моменты снл. При решении залач уравнение моментов (!9.10) записывают в проекции на ось вращения Ог; с учетом (19.2) имеем: 7 — „, =~Мак и !з ! (!9.1!) Напомним формулы ддя модуля момента силы М, = (гз Гз~ относительно оси Ок г,Г зша ~М,)= О Г„ гзГ, (!4.3 а) Здесь г„- радиушвекгор (относительно оси) точки приложения силы Г Г= Г+Г+Г,, Г = Г+ Г- составляющая силы, перпендикулярная оси вращения; п - угол между векторами г„и Г,, Г,= Г„яма - модуль активной составляющей Г,силы Г!л'=Г,зюаплею силы Г (рис.
52). Знак входвщей в уравнение (19.11) проекции М, = +~(Мс~ необходимо проверять в каждом конкретном случае (см. далее формулы (36.10) я (36.20) и комментарий к нкм). Рис, 52 нально моменту инерции: б = 'Г Мо„~/, вытекает физический смысл момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньшее по величине угловое ускорение приобретает тело под действием данного момента приложенных сил. Следовательно, момент 5-4467 Заметим, что уравнения движения для поступательного (второй закон Ньютона) н вращательного (уравнеиие моментов) движений имеют одинаковую структуру с той лишь разницей, что в уравнении моментов вместо линейного стоит угловое ускорение, вместо суммарной силы - суммарный момент сил, а вместо массы тела - его момент инерции относительно оси вращения.
(Такое формальное и смысловое соответствие величин и формул, описывающих поступательное и вращательное движение тела, можно проследить н далее - см. таблицу на с. 70.) Поэтому для тела, вращающегося относительно оси, можно ставить и решать такие же задачи, что и для движения матери- альмой точки илн постуцатсльного движения тела. Например, прямая задача в случае вращательного движения, т.е. нахождение кинематического закона вращения сз(г), состоит в решении дифференциального уравнения (19.11) при заданных начальных условиях: р(0)= сз, и ш,(0)= аг (Рекомендуем забежать впереди сопоставить решения задач о свободных колебаниях пружинного н физического маятников в 9 36).
Из уравнения моментов, согласно которому угловое ускорение обратно пропорцио- 66 Вычнсленне моментов ннерплн. Являясь фундаментаэьной характеристикой тела, момент инерции появляется практически во всех формулах динамики вращательного движения твердого тела, поэтому возникает пролема его еычисления. В простейшем случае, когда тело состоит из отдельных материальных точек, соединенных невесомым каркасам, его момент инерции просто равен сумме моментов инерции всех точек: ! = ~, 7, = ~Г щ г,' .
(19.12) Для тел конечных размеров с непрерывным распределением массы момент инерции вычисляется интегрнроэанием согласно определяющей его формуле (19.7). В тривиальном случае, когда все элементы тела находятся на одинаковых расстояниях от осн вращения (примеры: тонкий стержень, вращавшийся относительно параллельной ему оси; тонкостенный цилиндр, вращающийся относительно оси симметрии (рнс. 53)), в формуле (!97) г=)! сола! и ! =) гс!т=) йлот= )2') с(т=тйз, т е, У формула для момента инерции нмеет такой же внд, как н для матернальной точки.
Сравнительно легко вычисляются моменты инерция однородных снмметркчиых тел простой формы относительно нх осей симметрии. В качестве примера выведем формулу для момента инерции тонкого однородного стержня длины ! и массы е относительно перпендикулярной ему осн Ох, проходящей через середнну стержня (рнс.
54). Напрааим ось Ок вдоль стержня, выбрав начало отсчета на осн вращения. Момент инерции лу отдельного малого элемента стержня длиной с(х, находящегося на расстоянии х от оси вращения, ло формуле (19.6) равен лу = Лтхз. Масса йл элемента равна произведению массы, приходящейся на единицу длины стержня т/1, на длину элемента с!х." гЬл =(т/!)г(х, так что д! =(т/!)х'с)с. Суммируя моменты инерции асех малых элементов стержня, т.е. беря интеграл (!9.7) в пределах от х, = — !/2 до х, =7/2, находим: Рнс.
53 э т 'гт, ех 1 з ! =) су = ) — х сх = — — т ! !!312 Рис. 54 Ниже приводятся формулы для моментов инерции некоторых однородных тел простой формы относительно укюанных осей симметрии: цнлицлра, шара и прямоугольнога параялелепнпсда (е - масса тела, обозначения размеров показаны на рисунке; оси проведены штрнх-пунктирной линией). инерции относительно некоторой оси является мерой инерции тела, вращающегося относительно этой оси, подобно тому как масса есть мера инерция тела при его посту"пательном движении. 67 1 лз) 3 1 2 1== лзл 2 5 1= — т(аз+бе) 1 12 хо е Тверезы.
М е з н о ас ь о осн сев ен мсе тела и со аляю ей с гл ас главна!с значедия момеента ~щзщййи 1„1„1, формудойй 1 1 сааза +! аозза еу,сааза (19.13) Доказательство этой теоремы выходит за рамки курса обшей физики. Рнс. 55 Моменты инерции оказываются пропорциональными массе тела и квалрату его характерного римера в направлении, перпендикулярном оси вращения. Прн этом коэффициент пропорциокальности как правила меньше единицы, так как для бальщинства элементов тела их расстояние до оси меньше входящего в формулу размера тела. Поскольку в зависимости от условий задачи тело может участвовать во вращеняи относительно той или иной оси, возникает необходимость находить момент инерции тела относительно любой оси. Существуют две теоремы, позволяющие выразить момент инерции тела относительно произвольной оси всего через три значения момента инерции, сводя тем самым задачу к нахождению этих трех так называемых главных значений момента инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
