Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В теоретической механике доказывается, что у всякого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые замечательны тем, что тело, будучи вовлеченным в свободное вращение относительно этих осей, стремится сохранить состояние равномерного вращения и ориентацию оси в пространстве, т.е. такие вращательные движения обладают инерцией. Эти оси называются гл а в и ы ми осями и пер ц ни, а моменты инерции тела относительно них и являются глав н ы ми з паче ни я м н моментаниерции тела. Заметим, правда, что вращение относительно главном оси, которой соответствует промежуточное по величине значение главного момента инерции, является неустойчивым.
У тел с симметричньзм распределением массы всякая ось симметрии является главной осью инерции. Например, у однородного цилиндра таковыми являются ось симметрии, параллельная образующей цилиндра (укаэанная на рисунке вверху страницы) и бесчисленное множество перпендикулярных ей осей симметрии, проходящих через центр масс цилиндра. У однородного шара любая ось, проходящая через его центр, является главной осью инерции.
Убедиться в инерционности вращения тела относительно главных осей инерции можно, если подбрасывать пустой спичечиьщ коробок, щелчком вовлекая его во вращение. Инерцию проявят только вращения относительно главных осей 1 и 2 (рис. 50), а вращение относительно оси 3 с промежуточным по величине главным значением момента инерции 1, (1, >1, > 1,), как и относительно любой другой оси, осуществить не удастся. Теорема Гюйгенса о параллельных осях. ЪЛо~еух ицюйвл1' ел относительно неко о сн не ез ен ассС тела е м м н н и Уотнос- чь опа елл ь ойейос ен ось охо е ез ен сс плюс о ~ э с: Г !ьтВ' (19.14) Для доказательства теоремы проведем ось Ох с началом отсчета О в дентре масс так, чтобы она проходила через обе оси перпендикулярно к ним. Запишем формулу (19.6) для момента инерции и!' малого элемента массой с)н тела относительно оси, не проходящей через центр масс, выразив квадрат расстояния до оси г" по теореме косинусов нз треугольника на рис.
56; сзяг" =с)л(г'+В'42Вгсозеэ)=юлгэ+мнВ*е2ВеЬлх. Здесы - расстояние от элемента тела до оси, проходящей через центр масс, н учтено, что гсозд=х - координата элемента тела в СО с началом в центре масс. Суммируя обе части этого равенства по всем элементам тела, имеем: ) глзйя ') ггбл ьВз ) сйл <22)) хеся. Два г г г первых интеграла являются моментами инерции тела у' н у относительно осей, соответственно, не проходящей и проходящей через центр масс; ) сбя =т - масса тела, так что Рнс. 56 Р=!+лзВэе2В) !эл. (19.!51 г Радиус-вектор центра масс тела определяется формулой (19.16) которая получается из формулы (12.2) для радиуса-вектора пентра масс системы материальных тачек заменой масс точек яь па массы с(т малых элементов тела и переходом от суммирования к пнтегрярованию по объему тела К.
Следовательно, координата х, 1 г центра масс тела по оси Ох определяется формулой х, = — ) хс)т, откуда ) хс(ю = х, т . ю„ г Но в выбранной СО центр масс находится в начале координат, следовательно х, = О, откуда ) хсвя О и формула (19.1э! переходит в соотношение (19 14), которое н требовелось доказать. Теорема о параллельных осях позволяет вырюить момент инерции относительно любой осн через момент инерции того же тела относительно оси, проходящей через центр масс, который в свою очередь согласно формуле (19.13) выражается через главные значения момента инерции.
Таким образом для нахождения момента инерции тела относительно любой осн достаточно знать три главных значения его момента инерции, 69 Дла тел сложной формы или неоднородных по составу, когда плотность зависит от координат, непосредственный теоретический расчет главных значений момента инерции может оказаться затруднительным и даже вообще неосуществимым. Тогда на помощь приходят зксперяментальньзе методы измерения моментов инерции.
Один из таких методов основан на крутильных колебаниях, в которые тем или иным способом вовлекается исследуемое тело. Частота крутильных колебаний зависит от момента инерции тела (см. формулу (36.23) на с. ! !9) в последний может быль рассчитан, если измерять частоту колебаний и параметры установки, входящие в расчетную формулу. Кинепяческав энерпш врвщающепкя тела. Выведем формулу для кинетической энергии твердого тела массы и, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ю. Кинетическая энергия пй'„малого элемента тела массы Ат, движущегося по окружности радиуса г с линейной скоростью з, согласно (!5.5), (5.6) и (!9.6) равна с(И'„= й— птг' = 2эйяю г' =угу! ю, где 41 - момент инерини рассматриваемого элемента. э Кинетическая энергия тела, как адаптивная величина, складывается из кинетических энергий всех малых элементов тела, т.е.
определяется взятым по всему объему тела ин- тегралом Ю'„=) пИ'„=Т!аээ) п7 . Последним интеграл согласно (!9.7) представляет со- бой момент инерции 1 тела относительно оси вращения, так что И'. = 21ю' 2 (!9.!7) Снова прослеживается аналогия с поступательным движением, при котором И'„= Ттг'. с учетом соответствия т ~-э 1, ге+ ю обе формулы совпадают. Работу силы )г, приложенной к телу, вращающемуся относительно оси, также можно представить в виде, аналогичном случаю прямолинейного движения тела вдоль оси Ох.
С учетом формул (!5З) и (!4.3) (иижнее выражение) и замечая, что величина малого перемещения с7 точки приложения силы по дуге окружности радиуса г связана с углом повоорота Ыээ соотношением 11 = ге(уэ (см. рнс. 57, на котором ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и изображается точкой О), имшм: Ао = ) г; о7 = ) г,гЫР=) М, О(о (сравните с с(1=ге!р'' рз ф Ызэ г О формулои Ае = ~г с(с с учетом соответствия х++ яэ, Рис. 57 Сведем в одну таблицу физические величины и формулы, в которых проявляется соответствие поступательного (вдоль координатной оси Ох) и вращательного (относительно осв Ог) движений в инерциальной СО Олух: 70 Таблица линейная координата х сь угловая координата р лг си линейная скорость я = —, т„= — еь =йз' "=й угловая скорость ю, и, =— ли й ф, лих оЪ а'В, И' линейноеускорениеа= —, а,= — '= —, еь угловоеуск.
ф= —, ф = — *=— ус' ' й М' с7с ' с~з й' масса и=~сап ь+ момент инерции / = ~ с*сея импульс Р, = щт„+ь момент импульса 2., = ую сила Р, еь момент силы М, = ~гх,р ] тв=~р 2-й закон Ньютона узх т — =,Г Р йгз в УУ= ~,Мол <-» ур - ние моментов кинетическая энергия; работа: сил должна быть равной их сумме: Г = ,'~ Р, а момент М равнодействующей отяоси- тельно любой точки и осн - сумме моментов этих сил: М = "ГМ, . Так как момент си- лы зависит от точки приложения силы, то всегда неоходимо указывать точку приложы ния равнодействующей. Центр тяжести тела. В ряде случаев, когда на асолютно твердое тело действуют несколько сил, ихудается заменить одной - р аз н од ей с та у ю щей, т.е. оказывающей одинаковое с ними действие на тело.
Точнее говоря, замена нескольких сил на их равнодействующую не должна изменить двяжение тела как абсолютно твердого. Поскольку в уравнении движения центра масс стоит сумма действующих иа тело сил, а в уравнении моментов - сумма моментов этих сил, та равнодействующая Г нескольких П Силы тяжести, действующие на элементы тела массы ш в однородном поле тяготения с ускорением свободного падения 8, имеют равнодействующую Р = шй и се точкой приложения является центр масс тела. Для доказательства этого утвержденна достаточно показать, что сумма моментов еМ = [к, сш8) сил тяготения, действующих на малые элементы массой с(ш тела, равна моменту суммарной силы тяжести Г = шд, приложенной к центру масс тела, т.е.
[[г, й|г) =[с„ш81, г (19.18) Эдесь г,, - радиус-вектор центра масс тела, опредсляемый формулой (19.16). Чтобы избежать громоздких выражений, докажем это утверждение для тела, состоящего из двух материальных точек массами т, к ш„соединенных жестким невесомым стержнем (рис.
58), В этом случае требуется показать, что [г,.ш,й)+[г„шгй(= л'~' шгг', (т,епь)8 ш~ + ги М! М2 (19.19) О )й 1'т,+ш Рис. 58 Преобразуем выражение, стоящее в правой части формулы, вынося скалярные множи- тели )фи, +ш,) и ш, ель за знак векторного произведения (эта операция законна, так как не изменяет ни модуля, ни направления векгорного произведения) и сокращая их, а такзке используя днстрибутнвиость векторного произведения (см, (М.28)): -')гь "'", (ш,+т)8~=[(мгг+шг), я[=[юг„л]+[тг,,й)=[»,шй~+[г„ш81, «д+м, что и требовалось доказать. Очевидно, что аналогичные выкладки можно провести для произвольной совокупности малых элементов любого твердого тела; при этом сумма в левой части равенства (19.19) перейдет в интеграл, стошций в левой части равенства (19.18).
Таким образом центр масс тела замечателен не только тем, что сто движение подчиняется второму закону Ньютона, но и тем, что он является то шой приложении равнодействующей сил тяжести, действующих на элементы тела. Отсюда и второе название этой точки- центр тяжести. Покажем иа нашем прнвсре, что работ» б( =(шл, Й;)+ (иззу, з(гг) сил тяж«сш рг = шг й н Рэ = шгд . лсйствтюших на эхсмсвтм тел», Равна Работе б(=(шй,Ж,) нх РавнсдсйстеУющсй Г = гвл, пвнасжсивсй к пмпРУ тяжести зсла [Ягп Ягз, Сг - пспсисшснис РассматРивасвых элементов н центра тяжжтн). действительно, используя вайстеа скааярнага праизвсвсшш (си Ы.28), инссж; с .ю-(м ю .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
