Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 19
Текст из файла (страница 19)
68 а н 68 б), напряжение сг определяется формулой а„аа а„~~ (2?.2) о о с~и а сга а, и предсаюаают собой юнзар иаирилеаил, йа диагональные каипанситы о, а, а определяют иариыьиые иапражниа иа юалаадхах, периеидеаулариых саагаеите)еэюии асан координат, а иедл- агаиаэьиме «аипаиелты О' = а, а„= а, сг = о; - таигеилиальиые иапражниа иа этих пааюадхах. В рассмотренных случаях однородного раашжеиия-сжатия и сдвига напряжение (соответственна, нормальное и тангенциальное) одинаково во всех точках тела и его можно получить как отношение величины силы Г, ириходюцейся на параллельное основанию сечение образца, к площади сечения: пма р а= —.
5 (22. 3) При этом величина силы Г в формуле (22.3) равна величине внешней силы, приложенной к основанию образца. Это следует из условия равновесия ,'Г Р, = 0 части образца, заключенной между основанием и рассматриваемым сечением образца, как видно из рис. 69. Риа. 69 9 23. Связь между напряжением и деформацией Из изложенного выше следует, что напряжения и деформации связаны друг с другом.
Исследуем эту связь на примере деформации растяжения-сжатия. На рис. 70 приведен типичный график экспериментально установленной зависимости напряжения о от относительного удлинения д. Если подвергать деформации образец, иаходившийгл первоначально в иедеформираванном состоянии, то при сравнительно небольших деформациях и напряжениях (е< е„, сг< сг ) они прямо пропорциональны друг другу, т е. имеет место линейная зависимость между деформацией и напряжением.
Когда деформация превышает значение л,, линейный ход кривой о(з) нарушается, однако деформации еще остаются у и р у г и и и вплоть до предела упругости а„,л, . Определяющим свойством упругих деформаций является то, чта при снятии о П внешнего воздействия оии исчезают н тело восстал а„ навливает первоначальную форму. В области упругости процесс обратим: тело при разгрузке проходит Л те же состояния деформации, определяемые участком 0-У кривой, что и при нагрузке, только в обратном порядке.
За областью упругости начинается область ил а с ти ч с с к о й деформации. Если, увеличивая напряжение, зайти в эту область, а затем уменьшать напряжения, то кривая разгрузки П-д, 0 не будет совпадать с кривой нагрузки 0-П: е;, иа лу за деформация как бы отстает от напряжения - это явление называется г и с т е р е з и с о и Риа.
70 Вследствие гистерезиса для пластической деформации не существует однозначной связи между иа- пряжением и деформацией; одному и тому же значению напряжения могут соотвеы ствовать различные значения деформации я зависимости от предыстории, т.е. от тозов, каким способом тело было приведено в р ксматриваемое состояние. В частиоеггь при полном снятии внешнего воздействия гено не восстанавливает свою исходную форму, причем о с т а т о ч н а я д е ф о р м а ц и я ь, зависит от максимального напряжения.
которое было достигнуто в процессе нагрузки. В области пластической деформации кривая сг(я) идет все более полого и переходит в почти горизонтальный участок, называемый о б л а с т ь ю т е к у ч е с т и, когда тело продолжает деформироваться практически без увепичения нагрузки ("течет"). пока не наступит разрыв. Сходный характер имеет и зависимость сг ( у) тангенцнального напряжения от угла сдвига при деформации сдвига. а следовательно.
кривой на рис. 70 мОжно руководствовагься и в случае произвольной деформации, поскольку она сводится к неоднородным растяжению-сжатию и сдвигу. В зависимости от количественных характеристик кривой о(г) можно условно клас- сифицировать вегггесзва. Среды с большим значением предела упру~ости о, естественно назвать упругими, причем те из ннх, у которых кривая о(«) е области пропорпиональиости идет круто, являются жесгкими (сталь, слоновая кость). У образцов, изготовленных из жестких материалов. большие нагрузки вызывают малые деформации, которыми во многих задачах можно пренебречь, считая тело абсолютно твердым. Вещества с малой областью упругих деформаций пластичны (полнмеры, из мегапяовсвинец); дяя изготовпенных из них образцов характерны остаточные деформации, возникающие даже при незначитеяьных воздействиях. Вещества с маней протяженностью обнести ппастической деформации являются хрупкими, они разрушаются практически сразу после достижения предела упругости (стекло, фарфор).
й 24. Закон Гука Упругие деформации в линейной области зависимости о(е) подчиняются з а к о н у Г у к а . который дая однородной деформации растяжения-сжазиз икэеет вид: г"„Л) 5 (24.)) или (24.2) о,=Су, (24. 3] где о,=Г,)б - тангенциальное напряжение. у - угол сдвига (рис.
Вб), который ввиду малости деформации характеризует относительную деформацию: Л(7) = ей у = у. Коэф- фициент пропорциональности С, характеризующий жесткость вещества по отношению ксдвиговой деформации,называется модулем сдвига. 4-4447 Закон Гука в форме (24 )) обычно записывают для образца в целом. понимая под баб) длину, площадь поперечного сечения и абсолютное удяинение (сжатие) образца, а под г„— величину приложенной внешней силы. В форме (24.2) закон!'ука справедлив и дяя любого продольного элемента тела, если под сг понимать нормальное напряжение на его торцах, а под ь' - относительное удлинение этого элемента, Коэффициент пропорциональности Е, зависящий от свойств вещества и характеризующий его жесткость.
называется модулем одностороннего растяжения, ияи и о д у л е и Ю н г а. Для деформации сдвига закон Гукв имеет вид, аналогичный (24.2): й для деформации изгиба стержня при условии выполнения закона Гука (э4.2) для всех его слоев расчет дает следующую зависимость между стрелой прогиба Л и величиной приложенной силы Р: ЕаЬ' 4Н (24,4) где Е - модуль Юнга вещества, а - ширина, Ь ° толщина стержня, Ь - расстояние между точкой закрепления стержня и точкой приложения силы (рис. 66). Для деформации кручения цилиндрического образца при условии выполнения закона Гука (24.3) для всех его цилиндрических слоев расчет приводит к следующей зависимости между модулем момента М = 2л Р пары снл (рис.
67) и углом кручения Гы (24.5) где и одул ь кр учен и я 0 определяется выражением лС рг Д=— 2Н (24.6) сительное удлинение я=[4„(х ьцх)- 4,(х)Ь(бх так что закон Гука для него запишется в виде: а„ =Е(4,(хьбх)-4,(х)1(лх. Если неограниченно уменьшать длину элемента, переходя к пределу при Лх-+О, то слева будет стоять значение напряжения а(х) в точке х, а справа - производная с(4„(ах смещения по координате х, взятая в той же точке (в общем случае, когда смещение зависит и от других координат, зто будет частная до дефаржаиии (луюэлир) лрл дери р.калии Ье(х) .
4(хчх)х) (-' — -з ~+ — — м (! х х х+.1х Рис. 71 здесь б - модуль сдвига вещества. Я - радиус, Н - высота образца. Формулы (24.4) и (24,5) - (24.6) выражают закон Гука для деформаций изгиба и кручения. Таким образом, закон Гука для всех рассмотренных видов упругих деформаций констатирует пропорциональность некоторой силовой характеристики, являющейся мерой силового воздействия (напряжение, сила, момент сил), и геометрической величины, характеризующей деформацию (относительиые удлинение и сдвиг, стрела прогиба, угол кручения). При этом в законе Гука для фундаментальных деформаций растяжения-сжатия (24.2) и сдвига (24.3) коэффициенты пропорциональности - модуль Юнга и модуль сдвига - зависят только от свойств вещества В случаях деформаций шгиба и кручения, которые сводятся, соответственно, к неоднородным растяжению.
сжатию и сдвигу. эти коэффициенты в формулах (24,4) и (24.5) зависят от модулей соот. ветствуюших деформаций, а также от размеров тела. В теоретической механике деформации описывают, задавая в каждой точке вектор 5(х,у,с), показывающий, куда сместилась при деформации точка среды, находившаяся в точке «,у,с пространства. Если поле смешений однородно. т,е, 4(х,у,с) = сошд то зто означает поступательное перемещение тела как целого; при различных значениях вектора 6 в разных точках тело деформировано. При деформации растяжения-сжатия вдоль оси Ох векторы смещения направлены вдоль этой оси и зависят от координаты х: 4(х] 4„(х)( (( - единичный вектор в направлении оси Ох).
Рассмотрим малый цилиндрический элемент длиной Ьх, основания которого имеют координаты х и хьлх (рис. 7!). Если векторы смегцения в точках х и хьдх равны соответственно 4(х) и 4(х+Ьх), то рассматриваемый элемент получит абсолютное удлинение «,(хтбх) — 5,(х) и отно- производная озз"', 1ту, о которой см. на с. 8); тт„(х) = Š— '. оэб, 2зх (24.7) фотрмуззв (24.7) представляет собой закон Гука для деформации растяжения-сжатия в дифференципльиой форме. который устанавливает локальное сОотношение между напряжением и деформацией, связывая значения напряжения и производной смещения по координате в одной и той же точке среды.
При деформации сдвига поле сиешеиий направлено вдаль оси Оу и зависит от координаты хз «(х) = з, (т)1 (1 ° едииичньм вектор в напрзваении оси Оу). В результате как видно из рис, зх иааьзй заечеит тели длины Лх испмтывшт лефариапию епвига с углам сдвига уютду=(е,(хтжт) — -",(х)1/дх и закон Гуш дв» кого запишеюа а виде сг, = сз(ьз (хььх)-ь",(х))1)дх , перехода к пределу при Дх -+ О, получим закон Гука ляя ди)юриации сдвига в диффереапиазьиой форне. О— х х+Ах оз4 о,(х) = П вЂ” ' дх Рис.
72 (24.8) 4 25. Работа н энергия при деформациях Подсчитаем работу, совершаемую приложенной к торцу образца силой Р (другой торец закреплен) при медленном растяжении образца от его естественного состояния (е= 0) до состояния с относительным удлинением е . Каждая из малых работ зй, совершаемых в процессе деформации при очередном удлинении образца на пу, выражается формулой пя = Ез(1 = ОЯз(1 = о51,(с(11(,); здесь 51з = Г - объем недеформированного образца, а А(11, аз([(1-!з)11з~ =з(е, так что еИ =)го(е)т(е. Полная работа, будучи суммой малых работ, определяется интегралом: А ) ) о(е)е(е з (25.!) и, следовательно, равна произведению площади, ограниченной кривой зависимости о(е), лвумя ординатами и осью абсцисс, на объем тела. На что расходуется зта работа, существенно зависит от того, является деформация упругой или пластической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
