Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Упругие силы, действующие между элементами тела, зависят только от относительного расположения последних, т.е. от формы деформированного тела, и. следовательно, потенциальны, Поэтому упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией и работа внешних сил идет на ее приращение (при достаточно медленном процессе деформации кинетическая энергия элементов тела остается равной нулю).
Если принять потенциальную энергию недеформированного тела равной нулю, то потенциальная энергия )р упруго растянутого (или сжатого) тела в соответствии с ее общим определением дается формулой (25.)). Считая справедливым закон Гука (24 2), имеем: 84 Знергия, приходящаяся на единицу объема тела. нюывается п л о т н о с т ь ю э н е р- гин: (25.3) где О(У - энергия вещества в обьеме ЛР в окрестности рассматриваемой точки. Прн однородной деформации энергия распределена по телу равномерно, плотность энергии одинакова во всех точках тела и, следовательно, равна отношению полной энергии тела (25.2) к его объему: (15.4) Аналогичные выкладки приводят к формуле такого же вида Лля плотности энергии при однородной деформации сдвига: (25.5) где С -модуль сдвига, у - угол сдвига.
Таким образом плотность энергии линейно зависит от соответствующего упругого модуля и квадратичио от величины, характеризующей деформацию. Если превышен предел упругости, силы взаимодействия между элементами тела перестают быть потенциальными и лишь часть работы внешней силы идет на создание потенциальной энергии тела; другая ее часть расходуется на выделение теплоты.
Пусть в процессе нагрузки (участок 0-П кривой нагрузки на рис. 70) достигнуто напряжение о„> о,, после чего нагрузка медленно уменьшена до нуля (кривая разгрузки П -+ в,). На первом этапе внешняя сила совершает положительную работу, определяемую плоШадью фигуры ОПг„, а на втором этапе - отрицательную работу, опредечяемую площадью фигуры з,Пс„. Суммарная работа внешней силы, равная разности этих площадей (заштрихованная площадь ОПе;), расходуется на выделение теплоты. ГЛАВА У! ЭЛЕМЕНТЪ| ГИДРОДИНАМИКИ Гидродинамика охватывает весь круг вопросов, связанных с течением жидкости. Систематическое изложение основ гидродннамики выходит за пределы общего курса физики и мы ограничимся изучением отдельнЫх важных закономерностей. Некоторые из них, как это будет оговорено, справедливы и е аэродинамике, т.е.
применимы и для движения газа. Перечислим некоторые свойства жидкости, которые будут использоваться в дальнейшем. Жидкость не обладает упругостью формы: в ней под действием статических внешних сил происходит лишь деформация всестороннего сжатия, связанная с уменьшением среднего расстояния между молекулами, Прн этом напряжение (см. с. 79 и формулу (22.!)) всегда нормальное и изотрапное. т.е.
оно перпендикулярно любому малому элементу поверхности внутри жидкости и не зависит от его ориентации. Это напряжение в жидкостях называют д а в л е н и е м: р = АД)АУ, (26. )) где АЕ - величина силы, с которой взаимодействуют друг с другом частицы жидкости, лежащие по одну и по другую сторону элемента поверхности площадью Ьу. (Формула (26.!) справедлива и для газов, но в иих сила Ь к в большей степени обусловлена переносом импульса молекулами, чеч непосредственным силовым взаимодействием). Важным свойством жидкости, отличающим ее от газов, являстая весьма малая сжимаемость. Поэтому во многих задачах жидкость рассматривают как несжимаемую, считая ее пдотность постоянной: д= сонм .
ф 26. Классификация движений жндкоспз При достаточно больших скоростях движения жидкости в ней возникают хаотически меняющиеся со временем завихрения - такое нерегулярное течение жидкости называется т у р б у л е н т н ы м и вами изучаться не будет. При меньших скоростях жидкость движется словчи, не перемешивающимися друг с другом; такое слоистое течение жидкости называется л а м и н а р н ы м (количественный критерий, определяющий тип движения жидкости, обсуждается далее, см.
мелкий шрифт на на с. 93). Описывать движение жидкости можно, задавая векторное поле скоростей г(х,у,",г), характеризующее значения скорости движения жидкости в каждой точке х,у,з пространства. Подчеркнем, что при таком способе описания скорость э(х,у,дг) не "привязана" к тому или иному малому элементу (частице) жидкости, а определяет скорость все новых и новых частиц жидкости, проходящих через рассматрнваемую точку «,уд пространства. Если поле скоростей не изменяется со временем, то течение называется с т а ц и о н а р н ы и; при стационарном теяении скорость частиц жидкости в данной точке пространства постоянна: э = т(х,у,с), гь)ст = О . В дальнейшем речь пойдет в основном о свойствах стационарного течения жидкости.
Для описания движения жидкости вводится понятие линии тока и трубки тока. Л и н и е й т о к а называется линия, к которой векторы скорости касательны ео всех ее тачлах (рис. 73). При стационарном течении жидкости линии тока, очевидно, являются траекториями частиц жидкости (не путать с траекторией движения отдельных молекул, которые вместе с левое движение). Т р у б к о й т о к а называется часть текущей жидкости, сбоку ограниченная поверхностью, обра- Рнс. 73 86 зованной линиями тока (на рис.73 жирными линиями выделен элемент трубки тока). Подсчитаем обьем жидкости, протекающий за единицу времени черш некоторую мысленно выбранную поверхность 5 .
Через малый элемент этой поверхности плошади Ьб за малое время Ьг пройдет объем жидкости Ьи= „Ьупг, (26.2) где з„ - проекция скорости г жидкости в окрестности рассматриваемого элемента поверхности на нормаль в к нему (рис. 74 а). Действительно, за время Ьг частицы жидкости, находящиеся в окрестности элемента поверхности Ь5, пройдут путь гпг в направлении вектора з . Как видно из рис.
74 б. элемент поверхности Ь5 пересекут те и только те из ннх, которые находятся в обьеме Ьг' параллелепипеда с площадью основания ЬЯ и ребром длиной вЬГ (ПРочие частиЦы либо не дойдут, либо пройдут мимо элемента ьб). Высота параллелепипеда л = гьг сова . где а - угол между направлениями скорости г и нормали л, так что Ь Г= г созапббг, откуда с учетом с сова = с„следует формула(26.2). поделив выражение(26.2) на ьы найдем объем жидкости, протекающей за единицу времени через элемент поверхности Ь5: ЬФ =.„Ь5. (26.3) суммируя выражения вида (26.3) по всем элементам поверхности, получим формулу для искомого объема жидкости Ф, протекающего за единицу времени через поверхность Я: Ф=~ „45, (26.4) Интеграл в правой части (26.4) называется п о т о к о м в е к т о р а г через поверхность 5, а формула (26.3) определяет поток через малый элемент Ь5 поверхности. г х(г и) б) Рнс. 75 Рис.
74 Другой важной характеристикой векторного поля является ц и р к у л я ц н я в е ктоо р а по контуру, которая применительно к полю вектора з запишется в виде: ~цо7 с (26.5) (кружок на символе интеграла означает, что интеграл берется по замкнутому контуру А). Циркуляция расшифровывается следующим образом: в некоторой точке контура берется скалярное произведение скорости з и малого перемещения в1 вдоль контура, как показано на рис. 75; (г.Ы!) =ийгсоза = с с(1, где и - угол между векторами я и с(1, а Ч =г сова - проекция вектора г на направлениеЖ, н затем такие выражения суммируются по всем элементам 41 контура Ь. В частном случае вихревого движения жидкости, 87 когда ее частицы описывают замкнутые траектории, циркуляция скорости по этим траекториям заведомо отлична от нуля, так как подынтегральная функция ц в (26.з) знакопостоянна.
Понятия потока и циркуляции используются при описании векторных полей любой физической природы, в частности - электрического и магнитного полей в теории зэзектромагнегизма. 8 27. Уравнение неразрывности Выделим мысленно в стационарном потоке жидкости узкую трубку тока и рассмотрим объем пространства между ее двумя фиксированными перпендикулярными сечениями площадью 65, и 65, (рис. 76), Условие стационарности требует, чтобы масса жидкости в рассматриваемом объеме не менялась со временем.
т.е. массы жидкости, втекюощей и вытека1ощей из него за некоторый промежуток времени бы должны быть одинаковыми. Согласно (26.3) за бг секунд через сечение А5, втекает объем Ы', = ц 65, пг жидкости, масса которой Ала =7)дГ = де = — =. — "з гэ 73г, Ь5, ЛЫ а через сечение 65, вытекает масса жидкости Пш =Рзг, 65з Д!, гДе Ц, 78 и км Рз - значениЯ скоРости и плотности жгшкости, соответственно. в окрестности сечений 65, и 65з. Приравнивая выражения для бт, и Аль н Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
