Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 23
Текст из файла (страница 23)
по которым и направлена угловая скорость а = сош! (рис. 86 а). рассмотрим движущуюся материальную точку и выразим ее ускорение а относительно СО К через переносное а„и относительное л' ускорения. Чтобы упростить выкладки, будем считать, что относительно СО К' точка движется прямолинейно, удаляясь от оси вращения в релиальном направлении; тогда ее траектория относительно "неподвижной" СО К имеет вид развертывающейся спирали.
(Для наглядности можно представить себе, что СО К' связана с равномерно вращающимся в плоскости чертежа диском, по направляющей радиальной рейке которого со скоростью э'(!) скользит шайба). Скорость г точки а каждый момент времени складывается из ее переносной н относительной скоростей г, н с'. э= э, +з'.
(3! . ! ) Подчеркнем, что о переносных скорости э, и ускорении а, можно говорить как о скорости и ускорении СО К' только при ее поступательном движении, так как только в этом случае их значения одинаковы у всех точек СО К'. При непоступательиом движении СО К' относительно К значения переносной скорости, как и переносного ускорения. различны в разных точках СО К' и в формулах(30.2) и (30.5) г, и а, означают скорость н ускорение той ~очки СО К', в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка. Сейчас будет дан вывод соотношения (30.5) для конкретного случая. когда СО К' равномерно вращается относительно СО К, из когорого станет ясным.
почему при непоступательном движении СО К' ускорения ие складываются. на(с+г( Оя, Огх' щ - на на!пап елп Рис. Збн сз'ту' ,Т1 От 0'-', ег-гги ннщамеля Рис. 86п Рнс. 86 б Это разложение представлено на рис. 86 а для двух положений движущейся точки в 6>лизкие моменты времени г и г+гй; там же изображены траектория и скорость «„(г+г(г) той точки г( СО ((', в ко~арой в момент времени з находилась рассматриваемая материальная точка. Дифференцируя (31.1) по времени. имеем: 97 В ПЕРВОМ СпатаЕМОМ дрр/Р(р ПРИРаЩЕННЕ ПЕРЕНОСНОЙ СКОРОСТИ РЬ, =Г,(Р+с)Р)-Гр(1) Мсжиа ПРЕДСтазитЬ КаК СУММУ ДВУХ ЛРНРаЩЕНИй СКОРОСтн: СРГр =(Гр(РЧ-ар)-Г (1+аРР))+ [гр(г+ргр)- гр(г)~ = рггр чр)гр (рнс. 86 б), так что ')гр ~~гр рй рру й (31.3) Здесь Игр В,(г+аУ)-г,(г) пРедставлхет собой цРнРащенне скоРости фнксиРованной точки А СО К', поэтому второе слагаемое в (31.3) дает переносное ускорение а, .
Оно в нащем случае является центростремительным ускорением (5.6), так как точки СО К' движутся равномерно по окружностям: 2 — р- м ар -- — ю г . ау ПРиРащение Р(гр ='(гр(!+ау)-гр(Р<-Р(Р)1 в (31.3) обУсловлено Различием скоРостей разных точек СО К' и вызывает добавочное ускорение ар~ = рЬр~,Рр(г . (При поступательном движении СО К' скорости всех ее точек одинаковы: г,(!ар(г) =г,(1+ей), так что Ыгр~ = 0 и такое дополнительное ускорение не возникает).
Как видно ю рис. 86 б, (3!.4) )р(гр~!=гр(г+рру)-рр(рьрн)= гс(г+р(г)-агйщсь =аяр'и. нетрудно убеднться, что в векторной форме рЬ, = (щг')ат, так что (31.5) С учетом (3!.3), (31 4) н (3!.з) первое слагаемое в (3! .2) принимает вид: — = -ю г+(щг'~ «!гр рй ар рр ар (31.6) Рассмотрим теперь второе слагаемое рзг'/р(г в (31.2). Приращение рЬ' относительной скорости точки также можно представить в виде суммы двух приращений: ррг' лг' я, + рЬ,' (рис.
86 б), так что рйр' Фг'щл, аг' рй рн рур (31.7) Приращение рЬ' „. представляет собой изменение вектора г' относительно СО К' и дает относительное ускорение аО Ь' р(р (3! ..8) а приращение дг,'„обусловлено поворотом вектора г' относительно "неподвижной" СО К и приводит к добавочному ускорению а,' = р(г,' ррр(г. (При поступательном движении СО К' отлосятсльво К с одинаковой ориентацией их координатных осей изменение относительной скорости г' в обеих СО одинаково: р(г'мр(г.' „, и добавочное ускоре- (31.9) — '='.[-'] еь й е' ю Подставляя в (31.2) выражения дяя оюю/гл и ою'/о) из (31.6) и (3130), имеем окончательна; е= -аг +а'+2[а.ю']. ес и и е е Аю (3)Л Ц Добавочное слагаемое в формуле сложения ускорений в случае равномерного вращения СО Х' относительно К нюывается ускорением Кори оп пса: а = 2[Фри].. Полученный результат справедлив прн любом относительном движении точки.
(31.12) Фервузу (31.12) мсяно вспучить бавсс формааьныи пуни, дифференцируя вектор скорости ю ю = гч г+ ю е', (г и с'„-епиничнь~с векторы е наерювяенни вектсрос юс и т ) Лг ас с'г сЪ',, с(с,' е = — — 'г+т,— + — с,'ет' — '. пф ~~ 'о) ой ' о) 8 зтоа формуле с(г а, з~з — аг(-ае„') = -аюг (Формула лая ~К/с(Г вытскастнз рис.86 в: г(г )з]с)р= асй, откуда ' з(1 )уг/ПГ! = а; направлен вектор и г/ЛГ туя» ис, куда Нт в прсдсюс при сй -Ь О, т.с, к оси врвжению, и|а~=- ес,' 1. а, = (ии /со) г= (о(сг)/ог) г= (аде/Я) г= ат'г= [аж ] лровсриъь).
а' = асс /г/Г тат= [а ю] (несвежее равенство лыко проверить формула ос /оу = аг выводится «н*юспгщо формуле два Нт/й( (см. рис. 86 в)). Подставляю вырезанию двя ас, а, е' в формулу ( ), нмссм: а = -а'г+е'+2[а„т'] Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы перейти к изучению законов ди намики в неинсрпивльных СО. ние не возникает) Как видно из рис. 86 б, 1с)т„' ~ = ада=тазы Легко проверить, что в векторной форме с(т„'ем[а,ю']оу .
так что еы, '/сума' =[в,ю']. С учетом (31,7), (31.8) и (31 9) второе слагаемое в (31.2) принимает вид." 99 б 32. Уравнение движения матермальной точки в равноускоренной системе отсчета Простейшей неинерциальной СО является р а в н о у с к о р е н н а в СО К', которая по определению движется поступательно с постоянным ускорением я, = сожу относительно инерциальной СО К . Примером является СО, связанная с равномерно ускоряющимся или замедляющимся на прямолинейном участке пути вагоном поезда, если СО, связанную с поверхностью Земли, считать инсрциальной. Чтобы установить уравнение движения материальной точки в равноускоренной СО К', т.е, закон, играющий роль второго закона Ньютона в этой СО, запишем ее уравне- ние движения в инерцнэльной СО К - второй закон Ньютона ма =,'э У; - и выразим стоящее в нем ускорение точки а черш ес ускорение а'относительно СО К' по формуле (30.4): щ (яр + н') = ~ г', . С целью придать искомому уравнению движения в СО К' вид второго закона Ньютона, оставим слева произведение массы точки на ее ускорение относительно СО К', а член щя перенесем в правую часть равенства; ша' = ,'Г г; - ша,.
! (32.1) Таково уравнение движения материальной точки в равноускоренной неинерциальной СО К'. В левой его части, как и во втором законе Ньютона, стоит произведение массы тачки на ее ускорение, но в правой части к сумме сил ~Г г,, действующих на точку. добавляется дополнительное слагаемое -ща,. Подобные слагаемые в уравнении движения материальной точки в неинерциальных СО нэзывают с и л а м и н н е рц н и. Следовательно, в равноускоренной неииерцнальной СО возникает сила инерции вида г"„= -ша, (32.2) Этн силы действуют в любой точке иеинсрциальной СО, образуя поле сил инерции, ко- торое в равноускоренной СО однородно, так как ускорение аэ во всех ее точках одина- ково.
Строго говоря, сняв ииерцян не подпадает под определимо силы. данное раже . Сливино этому определению (см. 3 7) силы харжнриэуют вэаимадсйотвнс тел, в то ерема кэк сали иншцви нс обус. ловлснм дсястлмем нв рэммвтрнвэсмос тело каких-либо других тел, в воэннквмт только кэк следошиэ ускоренного движения СО К'. Кроме того, сжы инерции зависят ст ускорению системы отсчсвэ аэ, в то время «ак раисе предполагалась инвариантнссть сил по «рваней мере но стнопннию к преобразованиям Галилея. С друг Я тароям, силн ннэрянн яроявл щт ээбя, вызывал ускорение мэтэриэлызоа точки, точно тэк ж, как и эоншэ лругис силы, стоящие в плевой части уравнения движннэ.
Поэт шу. сслн обобщить апусдсшннс снл, полонна в осмову то, «ак онн фигурируют во втораи ээконс Ньютона н нс требуя их ияввриантности при переходе от авион СО к другой и вьшсмнсиия третьего закона Ньютон», то силы инерции подпадут под эта определение. Так что опвхэпь ли силу юнрцми к квтегсрми сил или нет - вопрос чисто тсриинологячссяий, В качестве примера рассмотрим математический маятник, покоящийся в положении равновесия в равноускоренной СО, движущейся с постоянным горизонтальным ускорением яэ относительно инерциальной СО. Найдем силу натяжения Т нити и угол фх который она составляет с вертикалью в этом положении, решив збдачу как в инерциальной, твк и в неинерциальной СО.
)оо Наблюдатель К, находящийсв в инерциальной СО К (рис. 87 а), рассулщает так: я нахожусь в инерцизльной СО, поэтому шарик маятнвка массой ш подчиизешл второму закону Ньютоны ша = ~Г Р; . На шарик действуют две силы: сила натяження вити Т и ! сила тяжести шй, а его ускорение по условию задачи а =а,, поэтому второй закон Ньютона запишетая в вице ша, = Т+ шй. Из поатроениа, представленного на рис. 81 а, : е - э -о ° ~-сг гй'..~'-ч7'.'. Наблюдатель К', находящийся в рааноускоренной СО К' (рнс. 87 б), раасуждаст иначе: я нахожусь в неинерциальной равноускоренной СО, поэтому во втором законе Ньютона должен кроме сил натяжения нити Ти тяжести шй, действующих на шарик со стороны нити н Земли, учесть силу инерции Р =-та,: ша' Т+глй+(-гла,). В моей СО К' шарик покается, те, а' =О и, штчцоватепьяо, Т+тй ь(-шас) об.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
