Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 27
Текст из файла (страница 27)
101 Возникновение биений легко понять на качественном уровне, ие прибегая к выкладкам. Второе колебание можно записать в виде: х,(г) Аяв(ш+бш)1=ляа(ая+Ьшг) и рассматривать второе слагаемое бд(г) = сзш г в его фазе как медленно меняющийся со временем сдвиг фаз с первым колебанием ц(1) = А эш шг . В некоторый момент времени колебания аинфаэны и результирующее колебание имеет максимальную амплитуду 2А (ам.
момент г = 0 на рис. 101). Со временем разность фаз растет, амплитуда суммарного колебания уменьшается и через промежуток времени г = я/Ьш, за который набшкит разность фаз л, обращается в нуль. С дальнейшим ростом разности фаз амплитуда начинает увеличиваться, пока не достигнет максимума, когда колебания опять станут сннфаэнымн, и тд. Период биений, как видно из рис.!01.
Т, =2! -"2я/Лш. Приведенное рассуждение позволяет понять характер биений при неодинюсовых амплитудах А, и А, складываемых колебаний. В этом случае максималъная амплитуда при бяениях А =А чА,, а миниматьнав - А=!Аз-А~, как изобрахсено на рис.!02. Рекомпчпуем читателю подумать над объяснением биений на языке векторной диаграммы. Сложение взаимно перпендикулярных пзрмоннчмжих колебаний. Рассмотрям теперь, что получитсл в результате сложения двух взаимно перпендикулвриых колебавий одинаковой чаатоты.
В механике такая задаче возникает, если материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях а круговой частотой я, праисходащих, например, вдоль координатных асей Ох и Оу: «(г) = А, яп шг. у(г) = А яа(ах+и) (35.6) и требуется найти траекторию движения точки. Иными словами, формулами (35.6) задан кинематичеакий закон движения, а нужно получить уравнение траектории в форме связи между координатами х и у. С этой целью исключим время из уравнений (35.6), преобразуя второе уравнение: у=~пи(сх+д)=А (янах совр+сова!пар)= А (зшсх созп';з/1-яазат яа Р) и подставляя сюда эначеняе зш аг = х/А, из первого уравнения: 111 Промежуток времени между соседиимн максимумами модуля амплитудной функции А(г) определяет период биений Т,.
Как видно из рис. 101, он вдвое меньше периода т= 2п/((бш/2) амплитудной функции А(г): т, = т/(2 2п/бя и больше периода Т = 2я/ш колебаний в я/пш раз. Иллюстрацией биений могут служить знакомые многмм колебания громкости звука, порожденного двумя слегка раастроенными струнамя музыкального инструмента (пианино, гитара).
Эти периодические шменения громкости отражают колебания амплитуды при бненяях. У=А,((х/А,)<сэре~6 — х'/А,' нои). Чтобы избавиться от радикала, делим обе части равенства иа А,, уеднняем слагаемое с радикалом и возводим обе части равенства в квадрат: (у/А, — х/А, соз р)' = (1- х'/А,') но' р . Раскрьшаз квадрат скобок и перенося слагаемое с х* в левую часть равенства, получим: х у у —, -2 — — соя и+ —, = зш' и . А,' А, А, А,' (35.7) Вто уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2А, н 2А, (рис.
103 а). (То, что траектория не выходит за рамки указанного прямоугольника, очевидно заранее, так как согласно (35.0) -А, < х < А, и -~ < у < А, ). Рассмотрим частные случаи. Если колебания координат х и У сннфазны: р= 2тз, то зш !э = О, сову = 1 и уравнение (35 7) принимает вид: (х/А, -у/А,)' = О, откуда У= А А, (35.8) В этом случае эллине вырождается в прямую с цоложитезьным угловым коэффициен- том А /А, (прямая 1 на рнс. ! 03 б).
При разности фаз р = и л/2, т е. при сдвиге по вре мени иа четверть периода, на' р = 1, созр = 0 н уравнение (35 7) принимает вид: х з+ А,' А,' (35.9) у= — х. А, А, (35.10) В этом случае эллипс снова вырождается в прямую, но с отрицательным угловым коэффициентом -А,/А, (прямая 2 на рнс.
103 б). Заметим, что характер движения точки в рассмотренных частных случаях легко угадывается без выкладок, если мысленно представить себе колебания ее координат (35.6) при указанных разностях фаз. б) Рнс. !ОЗ Это - уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно координатных осей (эллнпс на рис. 103 б). При равных амплитудах А, = А, = А уравнение (35.9) превращается в уравнение окружности разиуса А: х'+у' = А' . Если колебания координат х н у противофазны, те.
Р=(2л.>1)я, то зш 0=0, совр=-! и уравнение(35 7) дает: (х/А, ьу/А,)' = О, откуда П лскииоимои дсмоистрапии рсзультят слоаслия взаимна псрпсидикуляриьзх колсбаиии ма ызо иаблюлвть иа экрвис осциллографа, если ю обо пары отклаияюллих пластин коилсис.зторов подать псрсмсииыс сииусоидальиыс исправили» одиияковой частоты. При ис строго одинаковых ыстотах этих мапряисмий возникает медленно изменяющаяся со врсмсисм разность фаз колсбамий, авк это поясиювюь при рассмотрению биений, и эллипс ис заране видоизменяете», прииима» вссвазмоамыс лрм двииых А, и ~ формы.
Г(олученные результаты можно использовать при сложении взаимно перпендикулярных векторов, изменяющихся по закону гармонического колебания с одинаковой частотой! Е, = Еыаю от и Е, = Емаю(яд+ рз), где Еи и Еи - постоЯнные амплитУдные векторы. В этом случае уравнения (35.7-!О) с Ем и Еи вместо А, и А, определяют линию, которую описывает конец суммарного вектора Е = Е, + Е, (рис. (08 в). При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с различными частотами траектория точки может иметь сложный вид, однако если частоты ю и ы„ колебанкй координат х и у относятсл как небольшие целые числа и, и и;.
юо(ы »,/г0, то форма траектории сравни тельна проста. Такие траектории на зываются фигурами Лиссажу некоторые из них приведена! иа рис (04. Легко понять, что отношение час ~Х О~Я тот ю, и е„равно отношению числа точек касания траекторией двух сосед- них сторон прямоугольника 2А, и 2Аг ш,г ш =13 Рис. (04 шт: юу-- т..й 8 36. Свободные пармонические колебания 8-4467 Теперь мы переходим к изучению динамики колебательных движений. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, под действием каких сил происходят те или иные механические колебания. В процессе решения этой задачи устанавливается, как зависят характеристики колебаний от параметров, характеризующих условия, при которых происходятколебания. Колебания можно классифицировать в зависимости от условий, обеспечивающих их протекание (вид сил, действующих в колебательной системе, способ ее подпитки энергией и т.п.).
В этой связи можно упомянуть а в т о к о л е б а н и я, когда колеблющемуся телу в нужные моменты времени за счет специального устройства сообщается энергия от внешнего источника, ие дающая колебаниям затухнуть. (Пкальный пример автоколебаний - часы-ходики, где колеблющимся телом является маятник, источником энергии - поднятая гиря, регулятором поступления энергии от гири к маятнику-анкер. Большоесходствосавтоколебаниями имеют реп а к сационные кол е б а н и я, когда система периодически выводится из положения равновесия, в которое возвращается (релаксирует) самостоятельно.
Мьг, однако, ограничимся рассмотрением диух видов колебаний: свободных, или со 6 от в си н ы х колебаний,- как нщатухвюших, так и затухающих, - и в ы н у ж д е и н ы х. Настоящий параграф посвящен изучению свободных гармонических колебаний. Будут рассмотрены три примера, из которых станет ясно, что понимается в физике пад свободными гармоническими колебаниями и как зависят их характеристики от параметров колебательной системы. 1! 4 силы реакции опоры Л' и упругой силы Р~, - только упругая сила имеет проекцию на ось Ох: Е, =-Лх (см.
формулу (10.11)), и уравнение дани!ения имеет вид: н(л (36.1) Рис. 105 В математике принято записывать дифференциальное уравнение, располагая функцию и ее производные в левой части уравнения. начиная с производной наивысшего порялка с коффициентом 1 при ней. В соответствии с этим уравнение (36.!) перепишем в виде: А'х !с —,-;- — х = 0 . й' т (36.2) Внд уравнений (36.1) и (36.2) подсказывает искать решение в виде гармонического колебания: «(1) = А яш( сс,г+ д), (36.3) так как вторая производная синуса равна самой функции с обраткым знаком. О конкретных значениях постоянных величин - амплитуды А, круговой частоты юь и начальной фазы р а формуле (36.3) пока не делается никаких предположений. Действительно лн функция (36.3) удовлетворяет уравнению (36.2) и если да, то при каких значениях постоянных А. ю„зз, покажет проверка.
Беря вторую производную функции х(1) из (36.3) по времени: лих/Аз' = -А ю, мп(м,з+ р) и подставляя ее и саму функцию т(!) в уравнение движения (36 2). имеем: -А аз,' яш(а!4!э)4(Л/т)Ама(юд+р)=0. Сокращая множитель Аяп(юг+ай), приходим к соотношению -гсь'4)с/т=0, откуда (36.4) Таким образом решением уравнения движении (36.2) янляется гармоническое колебание с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы (множитель Ама(ю,1+О), в который онн входят, в процессе подстановки сократился), но с вполне определенной круговой частотой, определяемой формулой (36.4).
Наличие в решении (36.3) двух произвольных постоянных А и (э гарантирует, что это решение - общее н других решений Пружинньзй маятник. Рассмотрим тело массой т . прикрепленное к концу упругой невесомой пружины жесткостью Л, другой конец которой закреплен неподвижно (п р уж н н н ы й м а я т н и к]. Чтобы в уравнение движения тела не вошла сила тяжести, не играющая принципиальной роли для возникновения колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
