Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако во многих задачах зтн деформации столь малы, что имн можно пренебречь н считать все расстояния между элементами тела неизменными: га =сонэ!, где г„- расстояние между 1-м н й-м элементами тела, -такое тело называется абсолютно твердым. Поскольку в этой главе речь идет только об абсолютно твердом теле, будем дяя краткости именовать его твердым телом нлн просто телом. Чтобы охарактеризовать положение механической системы, необходимо зацать соответствующее число координат.
Число независимых координат (параметров), значення которых, изменяясь при движении системы, однозначно опредюнпот ее положеннев пространстве, называют числом степеней св о 6 оды. Материальная точка, движение которой ничем не ограничено, имеет трн степени свободы, так как ее положение вполне определяется тремя независимыми параметрами, например, декартовыми координатами х(з),у(з),л(г) . Система, состоящая из Аз мате. рнальных точек, в общем случае обладает 3дз степенями свободы, поскольку для опнсания ее положения необходимо задать по трн координаты х„у„я, (з 1,2,3) каящой нз Е точек. Если, однако, по условиям задачи на движение точек наложены ограничении, называется плотностью массы,илнпросто плотностью вещестаа,которая тем самым численно равна массе, приходящейся на единицу объема вещества.
Если в формуле (17.1) перейти к пределу прн ЬР -э О . то мы.получнм истинную, нлн микроскопическую плотность, которая сложным образом изменяется от точкн к точке, выявляя распределение массы внутри молекул, атомов, атомных ядер. В механике макроскопическнх телдостаточно оперировать с м акр о с ко п и ч ес к о й плотностью вещества, т.е. плотностью, усредненной по области тела хотя и малой по макроскопнческнм масштабам, но все же содержащей огромное количество атомов - ее линейные размеры должны существенно превосходить размер атома. Именно такой м а к р ос ко п и ч е с к н б е с к о н е ч н о м ал ы й объем зз!г имеется в виду в формуле (17.!) и других аналогичных формулах, определяющих макроскопнческие характеристики вещества.
Если известна плотность как функция координат, то масса малого элемента тела объемом Ы' согласно (17.1) равна без = р(х,у,з) АР, 60 число степеней свободы уменьшается. Так, число степеней свободы материальной тачки, которая может двигаться только в определенной птоскостн, например, в координатной плоскости хбу, равно двум, так как ее движение описывается двумя независимыми координатами х(г),у(з) . У точки, которая может двигаться только вдоль прямой, одна степень свободы.
Система, состоящая из двух материальных точек с координатами х„у„з, н х„у„з,, расстояние) между которыми в процессе движения не ме- няется: 1= = салаг ("жесткая гантель" ), имеет ие б, ках у двух ншависнмых точек, а 5 степеней свободы, так как нз шести координат точек незавнсимымн являются только пять, а шестая выражается через эти пять из написанного выше условии жесткости. В трех последних случаях говорят, что на систему наложены жесткие связи. Абсолютно твердое тело, если на его В движение не наложены ограниченна, облаз о С дает шестью степенями свободы. Действв( тельно, положение тела вполне определяется зз заданием трех координат какой-либо его точки, например, декартовых координат центра масс х„у„з,, и трех угловых координат, характеризующих ориентацию тела.
У Две угловые координаты, например, полярхс ный и азимутальный углы О и р, определял ют направление какой-лнба оси тела, проходящей через центр масс (рис. 44), а третий угол фиксирует последнюю степень свободы, Рнс, 44 связанную с возможным вращением тела относительно этой оси. Важвымв частными случаями движення твердого тела являются поступатеаьное и вращательное движения. П а с т у п а т е л ь и ы и называется движение, прн котором всякая прямая линия тела перемещается, оставаясь параллельной самой себе.
Прн поступательном зшижении угловые координаты, характеризующие ориентацию тела в пространстве, остаются постаянимми, а изменяются координаты х„у„з„которые тем самым реалюуют посгупатеаьные степени свободы. В р а ш е н и е м в общем случае называют движение тела, прн котором по крайней мере ошаа его точка (точнее - то'ша пространства, связанного с телом, так как эта точка может не принаалежать телу) остается неподвижной в рассматриваемой СО. При вращательном движении аэменюотса угловые координаты, которые тем самым реализуют вращательные степени свободы.
Теория вращения тела с одной неподвижной точкой выходит эа рамки курса и в дальнейшем будет рассмотрен лишь один пример такого движение - прецессия гироскопа (см. с,72). Мы ограничимся изученном частного случая вращательного движения- ар а щения о ты о с и тель но о с и, когда неподвижной остается не одна точка, а линия тела (ось вращения). При этом точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости орбит перпеэщикулярны ей.
Покюкем, что произвольное движение твердого тела моюю рассматривать как одновременно происходящие поступательное и вращательное движения. На рис. 45 изображены два положеияя 1 и 11 движущегося тела в близкие моменты времени г и 7+Ьг. Видно, что нз положения 1 в положение П можно перейти, совершив поступательное перемещение 1-+1' вместе с некоторой точкой О тела и соответствующее вращение 1'-+11 относительно точки О. Этим и доказано сделанное утверждение для каждого малого участка пути, а следовательно и для движения в целом.
61 Замети», что такое разложение щиження не поступательное я ерещежльное может быть оделено беечиещнныи числов раззнчвмх 3 способов а звеиениооти от выборе точки Д щзредслвощио поьтупетелыще Взизение тета. В честности, кежлсе малое переиещенне тела 2' ионна раееиетрнветь как чистое зРащение отноапееьно некоторой осн (игновениой оси вращеепз) н теи еаиьщ произвольное леиженяе о теле прехсгеениа кек псещлоеетезьность бесконечно малых поворотов относительно игнавсенай оен ерещенн», непрерывно воняющей оное поло:кение в пространстве. Поскольку теория вращения относительно точки нами г+сп изучаться ие будет, вне поля зрения останется и произвольное движение твердого тела. Мы ограничимся рассмотреРис. 45 пнем ил о ского движения, при которомвсеточкитела движутся в параллельных друг другу плоскостях; его можно представить как совокупность поступательного движения н вращения относительно неподвижной оси, перпендикулярной этим плоскостям (простейший пример- качение цилиндра по плоскости).
8 18. Поступательное двнжемме твердого тела Покажем, что при поступательном движении все точки (малые элементы) тела нмегот одинаковые скорости и ускорения, т,е. движутся одянаково: их траектории лишь смещены друг относительно друга. Действительно, радиусы-нектары г; и г„г -й и уе-й точек тела связаны соотношением: (18.1) г,(г) — г(г) = йе, где Мв - вектор, проведенный из 1 гй в Уг-ю точку (рис 46). При поступательном движении тела вектор 2(е остается постоянным, так как не изменяются ни его модуль (в силу абсолютной твердости тела), ни его направление (по определению поступательного движения).
Дифференцируя соотношение (!8.1) по времени, приходим к равенству скоростей; т,(г)- е,(г) = О, или з,(г) = з„(г), (18.2) а дифференцируя (18.2) - к равенству ускорений точек тела: Рис. 46 а,(г) а„(г). (18.3) Поскольку все точки тела движутся одинаково, поступательное движение вполне описывается кинематическим законом движения одной произвольной точки тела, н, следовательно, тело, могущее совершать только поступательное движение, обладает тремя степенями свободы.
Но уравнение движения одной замечательной точки телаего центра масс - известно: оно дается теоремой о движении центра масс (12.5). (Еще раз подчеркнем, что законы, доказанные для произвольной системы материальных точек, справедливы и дла твердого тела как частного случая такой системы): (18.4) ща,= 2 Р. Здесь щ - масса тела, а„-ускорение центра масс тела, ',Г Р; - сумма спл, денствующих на рассматриваемое тело со стороны других тел.
Таким образом поступательное движение тела подчиняется второму закону Ньютона со всеми вытекающими последствиями. Будучи одинаковыми при поступательном движении, скорости элементов массы ат, тела определяют скорость э тела как целого: э, = э. В результате формульз для за. висящих от скорости физических величин (импульса, кинетичесекой энергии и т.д.), характеризующих поступательное движение тела, оказываются такими же, как для материальной точки: Р= Гбщэ,=э~ Ьщ=тэ, И'„= Э -Ьтр, = — и ~бль=-лзэ, ит.д.
(18,5) 3 ! 2 ! 2 б 19. Вращательное движение тела относительно осн. Кинематика. При описании вращения тела относительно оси условимся направлять ось Ог декартовой СО вдоль осн вращения. Положение тела можно охарактеризовать углом И, который составляет радиус-вектор некоторой точки тела, лежащей в плоскости хбу, с осью Ох (рис. 47). Следовательно, тело, которое может совершать только вращательное движение относительно неподвижной оси, обладает одной степенью свободы.
г При вращении тела радиусы-векторы (относительно оси) всех его точек за малый промежуток времени бг поворачиваются на один и тот же угол бр, поэтому угловые ско- А рость и ускорение имеют одинаковые значения для всех точек тела и могут служить характеристиками вращения тела как целого (см. формулы (5.2) - (5.5)): (!9.!) Рнс.47 (!9.2) Момент импульса вращающегося тела. Выведем формулу, связывающую момент импульса тела уэ относительно оси вращения и угловую скорость ю тела. Момент импульса иьз отдельного малого элемента тела массой с!и, рассматриваемого как материальная тачка, определяется формулой (!4.4): Ы., ='(г,с(р)=!г,г(лз э], где г - радиус- вектор элемента относительно оси вращения, я)э = Фщ э - импульс элемента, причем его скорость э связана с угловой скоростью гс тела соотнощением (5.6): г = юг (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
