Д.В. Белов - Механика (DJVU) (1114484), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В однородном поле сил тяготения. как хорошо известно из школьного курса физики, материальная точка движется по параболе. Упругие силы. Упругие деформации тел и связанные с ними упругие напряжения подробно изучаются в главе У. а здесь будет дана минимальная информация об упругих силах, необходимая для решения задач на движение тел. Деформированное тела, стремясь восстановить исходную форму, может оказывать силовое воздействие на другие тела, находящиеся в контакте с ним. Такого рода силой действует растянутая или сжатая пружина на закрепленные на ее концах тела: подставка, леформированная стоящим на ией телом, давит на это тело и т.п.
Деформации и обусловленные ими силы называются у л р у г и м и, если тело после снятия внешних воЗдействий. вызвавпэих зти деформации, восстанавливает первоначальную форму. При сравнительно небольших деформациях величина упругой силы пропорциональна величине, характеризующей деформацию. Так, при растяжении или сжатии упругой невесомой пружины длиной !, до длины 1 на закрепленные на ее концах тела действуют силы, модуль Е' которых пропорционален удлинению (или сжатию) 6! =(1-)э) пружины: (10.10) 30 где я - коэффициент жесткости пружины, зависящий от ее свойств - формы пружины н материала, из которого она изготовлена. Часто в задачах один нз концов пружины закреплен неподвижно, а тело, прикрепленное к другому ее концу, совершает прямолинейное движение. Тогда естественно провести координатную ось Ох вдоль пружины с началом координат в точке, в которой находится тело прн недеформированной пружине (рнс.
19, тело считаем материальной точкой). Упругая сипа, действующая на тело со стороны пружины, направлена вдоль осн Ох н ее проекция Г„ определяется формулой: О Г Г<О О ",",О х (10.1!) ~к '3 где х - координата тела. Действительно, эта формула 'О'"' ' х дает правильное значение модуля силы: Г = ~Г ~ = л~х~ = й 01 х<О и правильно учитывает ее направление: при растянутой пружине (х>0) имеем Г <О, анри сжатой (я<0) Г, >О в Рнс.
19 согласии с истинным направлением силы в этих ситуациях (рис. 19). В достаточно жестких телах упругие силы значительной величины возникают даже при незначительных деформациях, которые во многих задачах не учитывают, рассматривая тело как абсолютно твердое. Прн этом упругие силы фигурируют как неизвестные в уравнениях, в которые они входят.
Примерами такой идеализации являются сила реакции опоры, действующая на тело са стороны деформированной (но пренебрежимо мало) жесткой подставки, н сила натяжения нерастяжимой (растянутой, но пренебрежимо мало) нити, действующая на подвешенное на ней тело. Силы трения. Силы трения возникают прн контакте макроскопических тел и направлены по касательной к их поверхности. На твердое тело может действовать с ил а с у х о г а т р е н и я со стороны другого твердого тела, с которым оно контактирует, н с ила жидкого тр е н и я со стороны жидкой или газообразной среды, в которой она движется.
В свою очередь силы сухого трения подразделяются на силы трения покоя и сипы трения скольжения. Есяиктелу,покоящемуся на горизонтальной поверхности, приножить постепенно возрастающую горизонтальную силу Г, то пока величина этой силы не достигнет величины силы трения скольжения Г ., тела остается в покое. Согласно второму закону Ньютона это оз- начаст, что до начала движения на тело со стороны подставки действует сила Г тело придет в движение и на него будет действовать сила трения скольжения (рис.
20 б). Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы нормального давления 1У подставки на тела и практически не зависит от скорости тела: =О Г трлок тя 61 Рнс. 20 и) Г =,иИ, (10.12) а направление противоположно скорости з тела относительно подставки. Следовательно, в векторной форме сила трения скольжения описывается формулой; равная по модулю н противоположная по направлению приложенной силе: Г =-Г; она называется силой трения покоя (рис. 20 а).
Когда величина приложенной силы дос- тигнет значения силы трения скольжения, 37 (10,13) Коэффициент пропорциональности д между величинами сил трения скольжения и нормального давления называется к о э фф н цн енто и трения сколь же н и я. Он зависит от материалов, нз которых нзготавлены контактирующие тела. На тело, движущееся в жидкости нлн газе, со стороны среды действует сила, имеющаявобщемслучаедвесоставляющне: силу лобового сопротивлен н я Р„,, направленную против скорости г тела, и п о дъ ем н у ю с н л у Г„, перпендикулярную скорости тела (см. рнс. 21 а). Прн движении тела вдоль его оси симметрии подъемная сила не возннкает (рис. 21 б).
Если к тому же скорость тела достаточно мала, то сила лобового сопротивления пропорциональна скорости тела относительно среды: (103 4) где 6 - коэффициент жнлкого трения, зависящий от формы н размеров тела н от свойств сраны. Знак минус отражает тот факт, что сила жидкого трения направлена против скорости тела.
Прн больших скоростях тела линейная зависимость от скорости переходит в квадратичную с другим коэффициентом пропорциональности: р=Ьг яз (10.15) 1 я.с. м— илн в векторной форме; (10.16) р=-Ь г з а) б) Рнс. 2! Подробнее о природе сил жидкого трения см. гл,Ч!, 6 29. Заметим в заключение, что все переменные, от которых зависят рассмотренные силы (раднусы-векторы точек га в (! 0.3), удлинение пружины 6! а (10.10), скорости тела относительно подставки нлн среды в (10.13), (10.14) н (!0.16)) инвариантны относительно преобразований Галилея (6.1), а следовательно, инвариантны и сами силы.
Вместе с ннварнантностью массы и ускорения это приводит к ннвариантностн второго закона Ньютона, чем обеспечивается выполнение принципа относительности Галилея. ГЛАВА П! МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК б 11. Введенне с('г, г = Хг + Хг Ч "-+Ум + Рг (1 1.1) Решение вопроса о том, какие материальные точки включать а состав системы, а какие, соответственно, окажутся внешними, обычно диктуется характером конкретной задачи. В зависимости от этого выбора роль той нли иной силы может измениться.
Например, в снстеме "Земля+Луна" силы, действующие на Землю и Луну со стороны Солнца, - внешние. Если же Солнце включить в состав системы, то в снстеме "Солнце+Земля+Луна" этн силы станут внутренними. Прямая задача динамики для сисэемы материальных точек сводится к решению системы Згц дифференциальных уравнений, так как уравнение двихсення вида (11.1) для каждой нз Ф точек системы даст в проекции на координатные оси трн дифференциальных уравнения для коордннат точки х,(г),у,(г),=,(г). Строгое аналитическое решение удается найти лишь в исключительных случаях, поэтому обычно используют приближенные методы. Однако существует несколько строгих общих законов.
которые хотя сами по себе и не позволяют е общем случае найти траектории отдельных точек системы, вместе с тем дают важную информацию о движении системы в целом. Эта закон (или теорема) о движении центра масс и три закона изменения и сохранения: импульса, момента импульса и механической энергии системы чатернальных точек. Их выводу н обсуждению посвящена настоящая глава. в 12. Закон (теорема) о двнженнн центра масс Для всякой системы материальных точек существует точка пространства, называемая ее центро ч м асс, или центром инерции. По определению, центр масс С расположен относительно точек системы так.
чта сумма произведений масс лг, точек на нх радиусы-векторы 1 относительно центра масс (рнс. 22) равна нулю: т, ~тг1,йб. (12.! ) Получим формулу, выражающую радиус-вектор центра масс в любой СО через массы точек системы и их радиусы-векторы г, в этой СО. Как видно из рис. 22, 1, =г — г н формула (12.1) принимает следующий вид: Рис. 22 Рассмотрев механику отдельной материальной точки, изучим теперь, как ведет себя нхсовокупность,т.е. сИстеиа материальных точек. Состояние системы, состоящей из )(Г материальных точек с нзвесгнымн массами ль,ль,,т„. определяется заданием координат и скоростей всех точек системы. На каждуш материальную тачку системы действуют силы как со стороны других точек системы (в н у трен н не с ил ы), так.
вообще говоря. н со стороны внешннх тел, не входящих в состав рассматриваемой системы (в н е ш н и е с и л ы) . Внутреннюю силу, действующую на 1-ю точку системы со стороны )г-й, будем обозначать символам уг, а результирующую внешнюю силу, действующую на г-ю точку, - символом Рг . Уравнение движения г-й точКн системы с массой т, запишется в виде: 39 „'~ е(г — гс)=О, откуда г',ег,-гс',~ е,=о и для рациуса вектора центра масс получается следующая формула: ',э ег, Ге, (1'э,2) Легко убедиться, что формулы (12.1) и (12.2) согласуются с известными из школы сведениями о центре масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
