И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть f ( a ) < f (b) . Выберем произвольноеε >0и обозначимδ=ε. Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } –f (b) − f (a )произвольное разбиение сегмента [ a , b] , Δ T < δ . Тогдаnnk =1k =1( f (b) − f (a) ) = ε .f (b) − f (a )Значит, функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] .Теорема доказана.1.3.5.
Интегрирование сложных функцийГоворят, что функция f ( x ) удовлетворяет условию Липшица на сегменте [ a , b] , если существует константанийC > 0 такая, что для любых значе-x1 , x 2 ∈ [a, b] выполнено:f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ C x1 − x 2(при этом C называется константой Липшица).Замечание 1. Очевидно, что если функция f ( x ) удовлетворяет условиюТеорема 5.
Пусть функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] ,M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Пусть функция ϕ ( y ) определена на сегa ≤ x ≤ba ≤ x ≤bДоказательство. Будем считать для определённости, что f ( x ) не убы-числоε=Липшица на сегменте [ a , b] , то она непрерывна на этом сегменте.1.3.4. Функции, монотонные на сегментено). Если f ( a ) = f (b ) , то f ( x ) = f ( a ) = f (b ) для любой точкиk =1S (T ) − s (T ) = ∑ ( M k − mk )Δx k = ∑ ( f ( x k ) − f ( x k −1 ))Δx k <менте [ m, M ] и удовлетворяет на нём условию Липшица. Тогда сложнаяϕ ( f ( x )) интегрируема на сегменте [a, b] .Доказательство. Зафиксируем число ε > 0 .
Так как функция f ( x ) ин-функциятегрируеманасегменте[a, b] ,тосуществуеттакоеT = {x 0 ; x1 ;K; x n } сегмента [a, b] , что S (T ) − s (T ) <разбиениеε, где S (T ) иCs (T ) – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f ( x ) , соответствующие разбиению T , а C – постоянная из условия Липшица для функцииϕ ( y ) . Пусть M k = sup f ( x) , mk = inf f ( x) ,xk −1 ≤ x ≤ xkxk −1 ≤ x ≤ xkM k∗ = sup ϕ ( f ( x)) , mk∗ = inf ϕ ( f ( x)) .3Более того, существуют числовые множества мощности континуум, имеющиелебегову меру нуль (например, так называемое множество Кантора).
Значит, множество точек разрыва интегрируемой функции может иметь мощность континуум.xk −1 ≤ x ≤ xkТогда для любых двух точекxk −1 ≤ x ≤ xkξ1 , ξ 2 ∈ [ x k −1 , x k ] справедливы неравенства:ϕ ( f (ξ1 )) − ϕ ( f (ξ 2 )) ≤ ϕ ( f (ξ1 )) − ϕ ( f (ξ 2 )) ≤Определенный интеграл Римана29≤ C f (ξ1 ) − f (ξ 2 ) ≤ C ( M k − mk ) .ξ1 , ξ 2Поскольку точки∗ной непрерывности функциивыбираются произвольно, последнее неравенст-∗∗nnεk =1k =1C=ε,для функцииϕ ( f ( x )) . Таким образом, разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции ϕ ( f ( x )) , соответствующими разбиению T , меньшеε .
Это означает, что данная функция интегрируема на сегменте [a, b] . Тео-k =1функциирема доказана.Справедливо и более общее утверждение.a ≤ x ≤bменте [ m, M ] и непрерывна на нём. Тогда сложная функцияϕ (t1 ) − ϕ (t 2 ) < ε 1 ,считать, что δ < ε 1 .еслиε > 0.. Так как функциясуществуетПустьC = max ϕ (t ) .m ≤t ≤ Mϕ (t ) равномерно непрерывнатакоечислоδ > 0,чтоt1 − t 2 < δ .
Не ограничивая общности, можемТак как функция f ( x ) интегрируема на [ a , b] , то существует такое раз-биение T = {x 0 ; x1 ;K; x n } сегмента [ a , b] , что S (T ) − s (T ) < δ , где2S (T ) и s (T ) – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f ( x ) , соответствующие разбиению T .∗Пусть M k = sup f ( x) , mk = inf f ( x) , M k = sup ϕ ( f ( x )) ,xk −1 ≤ x ≤ xkОценим отдельно величину∑ Δxk∈B. Так как в силу построения множе-knδ ∑ Δx k ≤ ∑ ( M k − mk )Δx k ≤ ∑ ( M k − mk )Δx k = S (T ) − s (T ) < δ 2 ,k∈Bk∈Bk =1то∑ Δxk∈Bk<δ .Значит,Доказательство. Зафиксируем числоb − a + 2C[m, M ] , тоk ∈Bϕ ( f ( x )) ин-тегрируема на сегменте [ a , b] .сегменте+ ∑ ( M k∗ − m k∗ ) Δx k ≤ ε 1 (b − a) + 2C ∑ Δx k .ства B имеем:M = sup f ( x) , m = inf f ( x ) .
Пусть функция ϕ (t ) определена на сег-наk∈ Ak∈BТеорема 6. Пусть функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] ,εϕ ( f ( x )) . Тогдаn∗ε1 =∗S ∗ (T ) − s ∗ (T ) = ∑ ( M k∗ − mk∗ )Δx k = ∑ ( M k∗ − mk∗ )Δx k +где S (T ) и s (T ) – соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу дляПоложим∗Пусть S (T ) и s (T ) – соответственно верхняя и нижняя суммы ДарбуS ∗ (T ) − s ∗ (T ) = ∑ ( M k∗ − m k∗ )Δx k ≤ C ∑ ( M k − m k )Δx k < C ⋅a ≤ x ≤bϕ (t ) имеем: M k∗ − m k∗ ≤ ε 1 . Если же k ∈ B ,то, очевидно, M k − m k ≤ 2C .∗во означает, что M k − m k ≤ C ( M k − m k ) .
Тогда∗Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл30xk −1 ≤ x ≤ xkxk −1 ≤ x ≤ xkmk∗ = inf ϕ ( f ( x)) . Разобьём множество целых чисел {1; 2;K; n} на дваxk −1 ≤ x ≤ xkk ∈ A , если M k − mk < δ ;число k ∈ B , если M k − mk ≥ δ . Тогда для всех k ∈ A в силу равномер-множества A и B следующим образом: числоS ∗ (T ) − s ∗ (T ) ≤ ε 1 (b − a) + 2Cδ < ε 1 (b − a + 2C ) = ε .Таким образом, разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции ϕ ( f ( x )) , соответствующими разбиению T , меньше ε .
Это означает,что данная функция интегрируема на сегменте [ a , b] , что и требовалось доказать.Замечание 2. Композиция двух интегрируемых функций не обязательно⎧0, x = 0, x ∈ [0,1] ;⎩1, x ≠ 0x − иррациональное⎧0,f ( x) = ⎨, x ∈ (0,1] ; f (0) = 1⎩1 / n, x = m / n − рациональноебудет интегрируема. Например, пустьϕ ( x) = ⎨(так определённая функция f ( x ) называется функцией Римана. Для неёM = 1, m = 0 ). Тогда⎧0, x − иррациональноеx − рациональное⎩1,– функция Дирихле. Очевидно, что ϕ ( x ) ∈ R[0,1] (она ограничена и имеетϕ ( f ( x)) = ⎨Определенный интеграл Римана31Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл32одну точку разрыва на этом сегменте). Функция f ( x ) также интегрируемаbна [0,1] (см. задачу 17). Однако их композиция – функция Дирихле – не является интегрируемой на сегменте [0,1] (см.
задачу 19).1.4. Свойства определённого интеграла,выражаемые равенствами 41. Линейность интеграла.1.1. Пусть функции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы по Риману на сегментеbn⎛ n⎞α k f k (x )⎟dx = ∑ α k ∫ f k (x )dx .∫a ⎜⎝ ∑k =1k =1⎠aЗамечание 1. Сумма интегрируемой и неинтегрируемой функций естьфункция неинтегрируемая.Действительно, пусть функция f ( x ) интегрируема по Риману на сегмен-[a, b] , а функцияg ( x ) – нет. Предположим, что их сумма f ( x ) + g ( x )также интегрируема на [a, b ] .
Тогда функцию g ( x ) можно представить втевиде разности двух интегрируемых функций:[a, b] . Тогда их сумма и разность также интегрируемы на этом сегменте,причёмbbbaaaНо это означает, согласно свойству 1.1, что и сама функция g ( x ) интегри-∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .Доказательство. Для любого размеченного разбиенияV = {x 0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } сегмента [a, b] справедливо равенство:n∑ ( f (ξk =1knnk =1k =1) ± g (ξ k ))Δx k = ∑ f (ξ k )Δx k ± ∑ g (ξ k )Δx k .Отсюда предельным переходом получаем требуемое утверждение.1.2. Если функция f ( x ) интегрируема по Риману на сегменте [ a , b] , тои функция c ⋅ f ( x ) ( c ∈ R – произвольная константа) интегрируема на[a, b] , причёмbbaa∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx .Доказательство этого факта вытекает из соответствующего свойствасуммnn∑ cf (ξ k )Δxk = c∑ f (ξ k )Δxk .k =1k =1nСледствие.
Линейная комбинацияфункций f k ( x ) ,∑αk =1kg ( x ) = ( f ( x) + g ( x )) − f ( x ) .f k ( x ) интегрируемых на [a, b]α k ∈ R , k = 1,2,..., n , является интегрируемой функцией,причём[ ]руема на сегменте a, b . Полученное противоречие доказывает утверждение.Замечание 2. Сумма двух неинтегрируемых функций может, вообще говоря, быть интегрируемой функцией.Рассмотрим, например, функции⎧1, если x − рационально ,f (x ) = ⎨⎩0, если x − иррационально,⎧− 1, если x − рационально ,g (x ) = ⎨⎩0, если x − иррационально.Их сумма f ( x ) + g ( x ) ≡ 0 и, следовательно, интегрируема на любом сегменте [a, b ] , в то время как каждая из этих функций (типа Дирихле) в отдельности – не интегрируема ни на каком сегменте.2.
Интегрируемость произведения. Если функцииf ( x ) и g ( x ) интегрируемы на сегменте [a, b ] , то их произведение f ( x ) ⋅ g ( x ) также интегрируемо на [a, b ] .Доказательство. Докажем сначала, что из того, что f ( x ) интегрируема2на [a, b ] , следует, что f ( x ) также интегрируема. Действительно, функцияf ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] , а функция ϕ ( x) = x 2 , очевидно,удовлетворяет условию Липшица на сегменте [ m, M ] , где M = sup f ( x) ,m = inf f ( x )a ≤ x ≤b4Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами, рассматриваютсяниже в параграфе 2, посвящённом оценкам интегралов.(xϕ ( f ( x)) = f 2 ( x)сложной функции.2)a ≤ x ≤b− y ≤ 2 max{m , M }⋅ x − y .
Значит, функция2интегрируема на [ a , b] по теореме 5 об интегрируемостиОпределенный интеграл Римана33Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл34f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на [a, b] . Тогда из= S (T ′′) − s(T ′′) +1( f ( x) + g ( x)) 2 − ( f ( x) − g ( x)) 24и свойства 1.1 следует, что и функция ( f ( x ) ⋅ g ( x )) является интегрируе-(отрицательно). Согласно критерию Римана интегрируемости функции на сегменте, это означает, что f ( x ) интегрируема на сегменте [c, d ] .мой по Риману на этом сегменте.Замечание 3.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из интегрируемости произведения двух функций отнюдь не следует интегрируемостикаждой из них в отдельности.В самом деле, возьмём функциидом из двух смежных сегментовПусть теперь функциисоотношенияf ( x) ⋅ g ( x) =)⎧1, если x − рационально ,f (x ) = g (x ) = ⎨⎩− 1, если x − иррационально.() ()Функция f x ⋅ g x ≡ 1 , равная их произведению, интегрируема на любомсегменте, в отличие от каждой из них.Замечание 4. Если одна из функций интегрируема на некотором сегменте,а другая – нет, то их произведение может быть как неинтегрируемым, так иинтегрируемым на этом сегменте.В качестве примера последней из ситуаций можно рассмотреть паруфункций⎧1, если x − рационально ,f (x ) = ⎨и g (x ) ≡ 00,еслиx−иррационально,⎩на произвольном сегменте.3. Пусть функция f ( x ) интегрируема по Риману на сегменте [ a , b] , и[c, d ] ⊆ [a, b] (a ≤ c < d ≤ b ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
