И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вторая школа,предшественниками которой были Валлис и Барроу, возглавляемая Ньютоном, состояла из английских и шотландских учёных. В их числе был и КолинМаклорен (1698–1746). Обе школы привели к созданию дифференциального иинтегрального исчислений. В своих трудах Эйлер излагает многочисленныеприёмы вычисления не только неопределённых, но и определённых интегралов, применяя и развивая новые методы как, например, интегрирование попараметру, использование разных подстановок (подстановки Эйлера) и др. Онвычислил много труднейших определённых интегралов, например1∫0(x − 1)dx = ln 2 ,ln xважных несобственных интегралов, например,+∞sin xdxx0∫и открыл ряд новых важнейших интегралов1(например, бета-функцию∫ x (1 − x )m0n+∞dx и гамма-функцию∫e−xx n dx ).0В 1777–78 гг.
Л. Эйлер впервые применил к вычислению определённыхинтегралов функции комплексного переменного. Свой вклад в развитие интегрального и дифференциального исчислений внесли также Джозеф Луи Лагранж (1736–1813) и французский учёный и просветитель Жан Даламбер(1717–1783). В середине XVIII в. Л.
Эйлер и Ж. Лагранж свободно владелидвойными и тройными интегралами. Криволинейные интегралы были рассмотрены в 1743 г. в трудах А. Клеро.В начале XIX в. интегральное исчисление, как и дифференциальное исчисление, было перестроено на новых основаниях. Реформа интегральногоисчисления была начата крупным французским математиком Огюстеном ЛуиОпределенный интеграл Римана13Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл14Коши (1789–1857). Определённый интеграл, рассматриваемый как пределинтегральной суммы, О.
Коши выдвинул как одно из важнейших понятий1.2. Определение интеграла Римана1b1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана∫ f (x )dx , предложенныманализа. При этом он воспользовался символомaДжозефом Фурье (1768–1830). Именно благодаря Коши этот символ вошёл вобщее употребление и сохранился поныне. Термин «определённый интеграл»предложил в 1779 г. П. Лаплас. Коши впервые аналитически доказал существование определённого интеграла у непрерывной функции, а также точноопределил простейшие несобственные интегралы для неограниченного промежутка интегрирования и для функций с конечным числом точек разрыва.Дальнейшие обобщения понятия интеграла, связанные особенно с изучением тригонометрических рядов, были даны Бернардом Риманом (1826–1866), Анри Лебегом (1875–1941) и др.
Б. Риман первый определил необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной функции. Емупринадлежит общее определение определённого интеграла, поэтому интегральную сумму и стали называть «римановой», хотя по существу это понятие восходит ещё к Архимеду, а в современной форме для случая непрерывной функции им пользовался Коши. А. Лебегу принадлежит обобщение понятия интеграла (интеграл Лебега), основанное на теории меры (мера Лебега) ипозволяющее интегрировать чрезвычайно широкий класс функций.В развитии интегрального исчисления в XIX в.
приняли важнейшее участие и русские ученые. Так, М.В. Остроградский предложил оригинальныйприём интегрирования рациональных дробей (метод Остроградского), позволяющий алгебраически выделить рациональную часть интеграла (1845).
Емуже принадлежат имеющие фундаментальное значение в интегральном исчислении и его приложениях формулы преобразования n -кратных интегралов в(n − 1) -кратные. Большое число специальных определённых интегралов вы-Пусть дан сегмент [ a , b](a < b ) .если a = x 0 < x1 < ... < x n = b(n ∈ N ) .T = {x 0 ; x1 ;K; x n } назовём (неразмеченным) разбиением сегмента [a, b],Разбиение T ′ называется измельчением разбиения T , если T ⊂ T ′ (т.е.′T содержит все те же точки, что и T , и, возможно, ещё какие-то).Разбиение T называется объединением разбиений T1 и T2 , еслиT = T1 U T2 .Замечание.
Если T = T1 U T2 , то T – измельчение T1 , и T – измельчение T2 .Зафиксируем некоторое разбиение T = {x 0 ; x1 ;K; x n } . Обозначим дли-k -го сегмента разбиения Δx k = x k − x k −1 , k = 1,2,..., n . ВеличинаΔ T = max Δx k называется диаметром разбиения T .ну1≤ k ≤ nВыберем на каждом из сегментов [ x k −1 , x k ] точку2разбиением сегмента [ a , b] .
Неразмеченное разбиение T , соответствующееV , будем обозначать T (V ) .Пусть функция f ( x ) определена на сегменте [ a , b] . Суммаразбиениюnσ (V ) = σ (T , ξ ) = f (ξ1 )Δx1 + K + f (ξ n )Δx n = ∑ f (ξ k )Δx kk =1b2ξ k : x k −1 ≤ ξ k ≤ x k .Совокупность точек V = {x 0 ; x1 ;K; x n ; ξ 1 ;K; ξ n } назовём размеченнымчислил Н.И.
Лобачевский (1792–1856). Математик В.Я. Буняковский (1804–1889) открыл широко применяемое неравенствоb⎛b⎞⎜ ∫ f ( x )g ( x )dx ⎟ ≤ ∫ f⎜⎟a⎝a⎠Конечное числовое множество(x )dx ⋅ ∫ g (x )dx ,2aносящее его имя. Крупнейшие исследования по интегральному исчислениюпринадлежат П.Л. Чебышёву. Среди них – продолжавшие исследования Н.Абеля и М.В. Остроградского работы об интегрировании в конечном виденекоторых иррациональных функций. В частности, П.Л. Чебышёв доказал,что известные ещё в XVIII в.
три случая интегрируемости в конечном видебиномиального дифференциала являются единственными.Общая теория интеграла связана с развитием теории множеств и теориифункций действительного переменного.называется интегральной суммой (Римана) функции f ( x ) , соответствующейразмеченному разбиению V .Действительное число I называется определённым интегралом Риманаот функции f ( x ) на сегменте [ a , b] , если это число является пределом интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю (причём значение предела не зависит от выбора размеченного разбиения), т.е. если для любого ε > 0 найдётся δ = δ (ε ) > 0 такое, что для произвольного размеченного разбиения1V сегмента [a, b] с диаметром Δ V < δ , выполнено:Бернард Риман – немецкий математик (1826–1866).Определенный интеграл Римана15Теорема 2 (необходимое условие интегрируемости).
Пусть функцияf ( x ) интегрируема по Риману на сегменте [a, b] . Тогда f ( x ) ограниченаn⎛⎞⎜I − σ (V ) < ε ⎜ I − ∑ f (ξ k )Δx k < ε ⎟⎟ .k =1⎝⎠на [ a , b] .bОбозначение:I = ∫ f ( x)dx . При этом f (x )dx называется подынтеaгральным выражением,Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл16f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменнойинтегрирования, [ a , b] – сегментом (промежутком) интегрирования.
Числоa называется нижним, а b – верхним пределами интегрирования.Если функция f ( x ) определена в точке a , то по определению будемполагатьДоказательство (от противного). Предположим, что f ( x ) не ограниче-T = {x 0 ; x1 ;K; x n } с диаметромA=abba∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx .Функция f ( x ) , для которой существует определенный интеграл Римана,называется интегрируемой (по Риману, или в собственном смысле) на сегменте [ a , b] .
Обозначение: f ( x ) ∈ R[ a, b ] .Докажем корректность приведённого определения.Теорема 1 (единственность интеграла Римана). Если существуют двачисла I 1 , I 2 , удовлетворяющие данному выше определению интеграла, тоI1 = I 2 .I 1 ≠ I 2 . Предположим, радиI 2 − I1> 0 . Тогда, по опреопределённости, что I 1 < I 2 , и обозначим ε =2делению, существует δ = δ (ε ) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V сегмента [ a , b] , удовлетворяющего условию Δ V < δ , выполняДоказательство (от противного).
Пустьется:I 1 − σ (V ) < ε , I 2 − σ (V ) < ε . Значит,I 2 − I 1 = I 2 − I 1 ≤ I 2 − σ (V ) + I 1 − σ (V ) < 2ε = I 2 − I 1 .Полученное противоречие доказывает утверждение.n∑ f (ξk =1, k ≠ r[a, b] , то поусловию, найдётся сегмент[ xr −1 , xr ] , на котором f ( x ) не ограничена. Пусть M > 0 – произвольное (сколь угодно большое) число, ξ1 , K, ξ r −1 , ξ r +1 , K , ξ n – любыечисла, удовлетворяющие условиям ξ k ∈ [ x k −1 , x k ] . Обозначим∫ f ( x)dx = 0 .Если a < b и f ( x ) интегрируема по Риману на сегментеопределениюи рассмотрим разбиениеразбиенияaaδ >0Δ T < δ . Пона на сегменте [ a , b] . Зафиксируемk)Δx k .Так как f ( x ) не ограничена на сегменте[ xr −1 , xr ] , то существует точкаM+A. Тогда получим, что для любоΔx rго M > 0 и для любого δ > 0 существует V = {x 0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n }ξ r ∈ [ xr −1 , xr ]такая, что f (ξ r ) >– размеченное разбиение сегмента [ a , b] , Δ V < δ , такое, чтоσ (V ) ≥ f (ξ r )Δx r −n∑ f (ξk =1, k ≠ rk) Δx k >M+AΔx r − A = M .Δx rЭто означает, что множество интегральных суммщих условию Δ V < δ , не ограничено при любомσ (V ) , удовлетворяю-δ > 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
