И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛомоносоваУДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73С14Факультет вычислительной математики и кибернетикиПечатается по решению Редакционно-издательского советафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.В. ЛомоносоваР е ц е н з е н т ы:академик РАН Ильин В.А., профессор, д.ф.-м.н. Соколов Н.В.,доценты, к.ф.-м.н. Фоменко Т.Н., Фомичёв В.В.И.В. Садовничая, Е.В. ХорошиловаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.С14ОПРЕДЕЛЁННЫЙИНТЕГРАЛ:ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЙУчебное пособиедля студентов университетовОпределённый интеграл: теория и практика вычислений: Учеб.пособие для студентов университетов. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им.
М.В. Ломоносова (лицензия ИД №05899 от24.09.2001 г.); МАКС Пресс, 2008. – 528с.ISBN 978–5–89407–335–4ISBN 978–5–317–02464–2Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам вычисленияопределенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач. Книга содержит разделы, посвященные методам вычисления собственных интегралов,свойствам несобственных интегралов, геометрическим и физическим приложениям определённого интеграла, а также некоторым обобщениям интеграла Римана – интегралам Лебега и Стилтьеса.Изложение теоретического материала подкреплено большим количеством(более 220) разобранных примеров вычисления, оценок и исследования свойствопределённых интегралов; в конце каждого параграфа приводятся задачи длясамостоятельного решения (более 640, подавляющее большинство – с решениями).Цель пособия – помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях.
К нему может обратиться студент для получения справочной информации по возникшему вопросу. Книга также может быть полезна преподавателям и всем желающим изучить данную тему достаточно подробно и широко.Для студентов университетов, в том числе математических специальностей, изучающих интегральное исчисление в рамках курса математическогоанализа.УДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73МАКС ПРЕССМОСКВА – 2008ISBN 978–5–89407–335–4ISBN 978–5–317–02464–2© Факультет Вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008© Садовничая И.В., Хорошилова Е.В., 2008СОДЕРЖАНИЕ4Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл2.3.4.
Неравенство Минковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.5. Неравенства для выпуклых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . 73Предисловие. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 1. Определённый интеграл Римана1.1. Историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Определение интеграла Римана. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 161.2.3. Геометрический смысл определённого интеграла. . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4. Суммы и интегралы Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости . . . . . . . . .
231.3. Основные классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1. Функции, непрерывные на сегменте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрывакоторых имеет меру нуль по Жордану . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 251.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрывакоторых имеет меру нуль по Лебегу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.4. Функции, монотонные на сегменте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.5. Интегрирование сложных функций. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами. . . . . 311.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. ФормулаНьютона–Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 35Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . 41§ 2. Оценки определённых интегралов:теоремы о среднем, интегральные неравенства2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. . . . 532.2. Интегральные теоремы о среднем.2.2.1. Первая теорема о среднем.
Среднее значение функции . . . . . . . . . . . 572.2.2. Вторая теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3. Некоторые известные интегральные неравенства.2.3.1. Неравенство Коши–Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.2. Неравенство Коши. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.3. Неравенство Гёльдера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований. . . . . .
. . . . . . . . . . . . 813.2. Интегрирование путём замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3. Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4. Другие способы вычисления определённых интегралов. . . . . . . . . . 1053.5. Интегрирование специальных классов функций. . . . . . . . .
. . . . . . . .1073.5.1. Интегрирование периодических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр)симметрии в середине промежутка интегрирования. . . . . . . . . . . . 1103.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 111Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения . . . . . . . 112§ 4. Несобственные интегралы4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связьмежду ними. Сходимость (расходимость) интеграла.4.1.1.
Несобственный интеграл 1-го рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.1.2. Несобственный интеграл 2-го рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (поКоши).4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченномпромежутке. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши). . . . . . . . . . . . . 1304.2.3. Среднее значение несобственного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственногоинтеграла. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.4. Свойства несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6. Вычисление несобственных интегралов.4.6.1. Формула Ньютона–Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6.2. Формула замены переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.6.3. Формула интегрирование по частям . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.7. Исследование сходимости несобственных интегралов. . . . . . . . . . 1534.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интеграловот неотрицательных функций. Теорема сравнения . . . . . . .
. . . . . 1544.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости) . . . . . . . 1574.7.3. 2-й признак сравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью) . . . . .
. . . 1624.7.5. Признак Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Содержание54.7.6. Признак Абеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.7. Признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1694.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимостиинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.7.9. Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла . . . 1744.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами. . . .1814.9.
Некоторые известные несобственные интегралы.1. Интегральные синус и косинус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832. Интеграл Эйлера–Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833. Интегралы Френеля . . . . . . . . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
