И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 9
Текст из файла (страница 9)
эта функция не интегрируема на дан-Замечание 1. Формула Ньютона–Лейбница верна и в случае, когда Φ ( x )– обобщённая первообразная.x интеграл вида−1Пример 2. Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона–Лейбница приводит к неверным результатам:F (a) = ∫ f (t )dt = 0 ).Теорема доказана.Следствие. Производная интеграла с переменным верхним (нижним) пределом находится по правилу′⎛x⎞⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = f ( x ) ,⎜⎟⎝a⎠2ном сегменте. Кроме того, функцияln x , являющаяся первообразной дляподынтегральной функции, разрывна на сегментеФормула Ньютона–Лейбница не применима.б) Подынтегральная функцияточках x =π2и x=3π2[− 1,1](в точкеx = 0 ).1 cos 2 xимеет устранимые разрывы в2 + tg 2 x, принадлежащих промежутку интегрирования.
Вэтих точках функцию можно доопределить до непрерывной значением1 cos 2 x=1, поэтому функция интегрируема на [0,2π ] . Однако перlimπ 3π 2 + tg 2 xx→ ;2 2вообразная функция⎛ tgx ⎞arctg ⎜⎟ имеет разрывы 1-го рода в указанных2⎝ 2⎠1точках. Поэтому формулу Ньютона–Лейбница применять нельзя.в) Первообразная функция arctg1(и подынтегральная функция тоже)xимеет разрыв 1-го рода в точке x = 0 .
Формула Ньютона–Лейбница не применима. Для вычисления интеграла следует найти обобщённую первообразную для подынтегральной функции, обладающую свойством непрерывностина сегменте − 1,1 .Замечание 3. Необходимо отметить, что интегрируемость функции поРиману на некотором сегменте и существование у неё первообразной на этомсегменте, вообще говоря, не эквивалентны друг другу. Существуют функции,интегрируемые на сегменте, но не имеющие на нём первообразной, и наоборот, функции, имеющие первообразную, но не интегрируемые по Риману (см.задачу 54).[]Определенный интеграл Римана41[ ]Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к § 1Вычисление определённых интегралов по определению,т.е.
переходом к пределу интегральных сумм1. Найдите интегральную суммументеσ (T , ξ )для функции[1,2] , разбивая его на частичные сегменты точкамиf ( x ) = x на сег-в правых концах этих отрезков. Вычислитесоответствующий интеграл, переходя к пределу при n → +∞ .2. Убедившись в том, что для функции f ( x ) = 1 + x на сегменте [− 1,4]выполняется необходимое и достаточное условие интегрируемости, вычислите как предел интегральных сумм (по определению) интеграл4I=∫ (1 + x )dx .3.
Следующие определённые интегралы вычислите как пределы соответствующих интегральных сумм, произведя разбиение промежутка интегрирования надлежащим образом:π223bdxx23(0 < a < b) ; е)а) ∫ e dx ; б) ∫ sin xdx ; в) ∫ x dx ; г) ∫ x dx ; д) ∫x1−10a02dx∫1 x 2 .Задачи на свойства интегральных сумм Римана и Дарбу.Исследование функций на интегрируемостьs(T ) и верхнюю S (T ) суммы Дарбу функцииf ( x ) на соответствующих сегментах, деля последние на n равных частей,4. Найдите нижнююеслиx ∈ [− 2,3] ; б) f (x ) = 2 x , x ∈ [0,10] .5.
Какими свойствами должна обладать функция f ( x ) , заданная на некоа) f ( x ) = x ,3тором сегменте, чтобы её нижняя и верхняя суммы Дарбу на этом сегментесовпали с некоторой интегральной суммой (Римана)?6. Приведите примеры (в частности, графические) функций, определённых на сегменте − 1,1 , у которых на этом сегменте нижняя и верхняя суммыДарбу отличны от любой интегральной суммы (Римана).[]то её суммы Дарбу удовлетворяют предельному соотношению ( Δ T== max Δ k – диаметр разбиения):1≤ k ≤ nlim S (T ) = lim s(T ) .ΔT →0Δ T →010. Для функции Дирихле−11[a, b] , не превосходит любую верхнюю, даже если последняя отвечает другому разбиению сегмента [a, b] на частичные сегменты.9.
Докажите, что если f – интегрируемая по Риману на [a, b] функция,ной на сегментеkξk7. Пусть f – ограниченная на сегменте a, b функция. Докажите ограниченность множеств всех верхних и всех нижних сумм Дарбу этой функциина рассматриваемом сегменте.8. а) Докажите, что от добавления новых точек разбиения сегмента на частичные сегменты нижняя сумма Дарбу рассматриваемой на этом сегментефункции f не уменьшится, а верхняя – не увеличится.б) Докажите, что любая нижняя интегральная сумма функции f , задан-kа) x k = 1 + , k = 0,1,..., n ; б) x k = 2 n , k = 0,1,..., n ,nи выбирая значения аргументаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл42⎧1, если x − рационально ;D(x ) = ⎨⎩0, если x − иррационально,рассматриваемой на сегменте [− 1,1] , найдите всевозможные интегральныесуммы (выбирая различным образомξ k ), а также нижнюю и верхнюю сум-мы Дарбу, соответствующие разбиению сегмента на 4 равные части.11.
При каком шаге разбиения сегмента a, b на равные частичные сег-[ ]менты разность верхней и нижней сумм Дарбу функции f , монотонной на[a, b] , будет меньше заданного ε > 0 ?12. Приведите примеры функций, интегрируемых на заданном множествепо Риману и принадлежащих следующим классам интегрируемых функций:а) непрерывных на сегменте a, b ;[ ]б) ограниченных на сегменте [a, b ] функций, множество точек разрывакоторых имеет меру нуль по Жордану;в) монотонных на сегменте a, b ;[ ][a, b] ;д) сложных функций вида ϕ ( f ( x )) , где функция f ( x ) интегрируема насегменте [a, b ] , M = sup f ( x ) , m = inf f ( x ) , а функция ϕ ( y ) опредеa ≤ x ≤ba ≤ x≤bлена на [m, M ] и удовлетворяет на нём условию Липшица.г) удовлетворяющих условию Липшица на сегментеОпределенный интеграл Римана4313.
Приведите (графически) пример функции, неинтегрируемой по Риману на сегменте − 1,2 .[]⎧sgn (sin (π x )), x ∈ (0,1];14. Докажите, что функция f ( x ) = ⎨интегриx = 0,⎩0,руема на сегменте [0,1] .115. Докажите, что∫ f (x )dx = 0 , если0[ ]∫ f (x )dx = 0 .a17. Докажите, что функция Римана⎧1 n, если x − рационально( x = m n; m ≠ 0);⎪ϕ (x ) = ⎨1, если x = 0 ;⎪0, еслиx − иррационально⎩(здесь m ∈ Z , n ∈ N , m, n – взаимно простые числа) интегрируема на любом сегменте [a, b] числовой прямой.18. Докажите, что функция f ( x) = ln(2 + sgn x ) интегрируема на сегменте [ −1,1] .19.
Докажите, что функция Дирихле не интегрируема ни на каком сегменте a, b числовой прямой.[ ]20. Докажите, что для всякого числа λ , 0 ≤ λ ≤ 1 , существует последовательность интегральных сумм функции Дирихле, рассматриваемой на сегменте 0,1 , такая, что её предел равен λ .( )3n −10k =0– произвольная точка?22. Функция f[a, b] ,дифференцируеманасегментепричёмf ′( x ) ≤ M всюду на этом сегменте. Докажите, что для любого разбиенияT сегмента [a, b] такого, что диаметр разбиения Δ T < ε (M (b − a )) , соответствующие ему интегральные суммы σ (T , ξ ) удовлетворяют условиюab21.
При каком δ ε > 0 из неравенствания) вытекает соотношениеξ k ∈ [x k , x k +1 ]∫ f (x )dx − σ (T , ξ ) < ε .16. Пусть функция f обращается в нуль всюду на сегменте a, b , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она определена.Докажите, что[ ]где Δx k = x k − x k −1 , 0 = x 0 < x1 < ... < x k < ... < x n = 3 ,bx ∈ [0,1 2) U (1 2 ,1];x = 1 2.⎧0,f (x ) = ⎨⎩1,Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл44Δ T < δ ( Δ T – диаметр разбие-∫ sin (50 x )dx − ∑ sin (50ξ k )Δxk < ε ( ε > 0 ),[ ]( )23.
Докажите, что если функция f x непрерывна на сегменте a, b , тоона интегрируема на этом сегменте.24. Пусть функция f x определена и ограничена на сегменте a, b ,причём для любого положительного ε существует конечная система интервалов, покрывающих все точки разрыва функции на этом сегменте, суммадлин которых меньше ε .
Докажите, что функция f x интегрируема на[ ]( )( )[a, b] .25. Докажите, что если функцияf ( x ) определена и монотонна на сег-[a, b] , то она интегрируема на этом сегменте.f ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] ,26. Пусть функцияM = sup f ( x ) , m = inf f ( x ) . Пусть функция ϕ (t ) определена на сегa ≤ x ≤ba ≤ x≤bменте [m, M ] и удовлетворяет на нём условию Липшица. Докажите, что тогда сложная функция ϕ ( f ( x )) интегрируема на [a, b] .ментеЗадачи на свойства интегрируемых функций и интегралов,выражаемые равенствами( )[ ]27.
Докажите, что если функция f x интегрируема на сегменте a, b ,то она ограничена на этом сегменте (необходимое условие интегрируемости).28. Верно ли, что если функция ограничена на сегменте, то она и интегрируема на этом сегменте?29. Можно ли утверждать, что если функция не ограничена на заданномсегменте, то она неинтегрируема по Риману на нём?30. Докажите, что если функция f x интегрируема на сегменте a, b ,[ ]то она интегрируема и на всяком сегменте [c, d ] таком, что [c, d ] ⊆ [a, b ] .( )Определенный интеграл Римана45f ( x ) интегрируема на наибольшем подлине из сегментов с концами в точках a, b, c , где a, b, c – различны, то31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
