И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда f ( x ) интегрируема по Риману насегменте [c, d ] .Доказательство. Выберем произвольное число ε > 0 . Тогда существуеттакое разбиение T = {x 0 ; x1 ;K; x n } сегмента [ a , b] , что S (T ) − s (T ) < ε .a = x0 < x1 < K< xl ≤ c < xl +1 < K < x m < d ≤ x m +1 < K < x n = b ;T ′ = T U {c; d } – измельчение разбиения T . ТогдаПустьS (T ′) − s (T ′) ≤ S (T ) − s (T ) < ε .С другой стороны, T ′′ = {c; xl +1 ;K; x m ; d } – разбиение сегмента [c, d ] ,причёмS (T ′′) − s (T ′′) ≤ S (T ′) − s (T ′) < ε (поскольку S (T ′) − s (T ′) =∑ (M− mk )Δx k и второе слагаемое в сумме не-k[ xk −1 , xk ]⊄[ c , d ]4. Аддитивность интеграла. Если функцияобъединении – сегментеc∫aлоf ( x ) интегрируема на каж-[a, c] и [c, b] , то она интегрируема и на их[a, b] , причёмbbcaf ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx .(1)Доказательство. Докажем интегрируемость.
Возьмём произвольное чиси T ′′ – разбиения сегментов [ a , c ] и [c, b ] , соответст-ε > 0 . Пусть T ′S (T ′) − s(T ′) < ε 2 , S (T ′′) − s(T ′′) < ε 2 . ПустьT = T ′ U T ′′ . Очевидно, что T – разбиение сегмента [a, b] , причёмS (T ) − s (T ) < ε . Это означает, что f ( x ) ∈ R[ a, b] .Докажем равенство (1). Пусть V = {x 0 ; x1 ;K; x n ; ξ 1 ;K; ξ n } – размеченное разбиение сегмента [ a , b] , содержащее точку c в качестве одной източек разбиения x k .
Тогдавенно, такие, чтоn∑ f (ξk =1k) Δx k =∑ f (ξ[ xk −1 , xk ]⊂[ a , c ]k) Δx k +∑ f (ξ[ xk −1 , xk ]⊂[ c , b ]k) Δx k .Заметим, что при стремлении диаметра разбиения к нулю левая частьbстремится к∫ f ( x)dx(поскольку этот интеграл существует); первое слагае-acмое в правой части стремится к∫bf ( x)dx , второе – кa∫ f ( x)dx .cУтверждение доказано.Следствие. Пусть f ( x ) ∈ R[ A, B ] и точки a, b, c лежат на сегменте[ A, B ] (неважно, в каком порядке).
Тогдаcbaacb∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 0 .Определенный интеграл РиманаЗамечание 5. Равенство (1) выполняется и в случае, когда точка35c лежит[a, b] (например, если c лежит правее сегмента [a, b] , и функция f ( x ) интегрируема на [a, c ] ).Замечание 6.
Если функция f ( x ) интегрируема в собственном смысле на[a, c] и не интегрируема на [c, b] , то она не интегрируема на объединенииэтих смежных отрезков, т.е. на [a, b ] .вне сегмента36Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралx + Δx ∈ [ a, b] (в случае x = a нам нужно доказать только непрерывностьфункции F ( x ) справа, и мы берём Δx > 0 , в случае x = b : Δx < 0 ). Тогдаx + ΔxF ( x + Δx) − F ( x) =∫x0x + Δx≤∫f (t ) dt ≤Пусть функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] , x 0 ∈ [ a, b] .x ∈ [ a, b] .
Теорема доказана.Δx →0Пусть функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] ,x0 ∈ [a, b] . Если f ( x ) непрерывна в точке ξ ∈ [a, b] , то функцияx0xF ( x) =называется интегралом с переменным верхним пределом от функции f ( x )на [ a , b] . Аналогично вводится понятие интеграла с переменным нижнимпределом.При доказательстве дальнейших теорем нам понадобится следующеесвойство определенного интеграла: если функции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы по Риману на сегменте [ a , b] , причём f ( x ) ≥ g ( x ) для любой точкиx ∈ [ a, b] , тоbbaa∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx . Это свойство немедленно вытекает изопределения интеграла как предела интегральных сумм и теоремы о предельном переходе в неравенствах (см. параграф 2, п. 2.1, свойство 2).Обратимся к важнейшим свойствам функции F ( x ) .Теорема 1.
Пусть функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] ,xx0 ∈ [a, b] . Тогда функция F ( x) =∫ f (t )dt непрерывна на [a, b] .x0Доказательство. Так как f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] , то онаA > 0 такое, что f ( x) ≤ A∀x ∈ [ a, b] . Возьмём произвольную точку x ∈ [a, b] . Пусть Δx – действи-ограничена на нём. Значит, существует числотельноечисло,достаточномалое,чтобыудовлетворять∫ Adt = A ⋅ Δx .F ( x + Δx) − F ( x) → 0 , т.е. что функция F ( x ) непрерывна в точкеТеорема 2.∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b) ,xx0чтоF ( x) =x0∫ f (t )dt ≤(при этом было использовано свойство 5 п.
2.1 параграфа 2). Это означает,1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом.Формула Ньютона–Лейбницаxx + Δxx + Δxx0Функцияxf (t )dt − ∫ f (t )dt =условию∫ f (t )dtx0дифференцируема в точкеξ и F ′(ξ ) = f (ξ ) .Доказательство. Выберем произвольное число ε > 0 . Так как функцияf ( x ) непрерывна в точке ξ ∈ [ a, b] , то существует число δ > 0 такое, чтоf (ξ ) − ε ≤ f (t ) ≤ f (ξ ) + ε для любой точки t ∈ (ξ − δ , ξ + δ ) .
Пустьсначала ξ ≠ b . Выберем число Δx , 0 < Δx < δ , достаточно малое для того, чтобы сегмент [ξ , ξ + Δx ] целиком лежал внутри сегмента [ a , b] . Тогдаξ + Δx∫ξf (ξ ) − εdt ≤Δxξ + Δx∫ξf (t )dt ≤Δxξ + Δx∫ξf (ξ ) + εdt .ΔxПроинтегрируем последнее неравенство:f (ξ ) − εF (ξ + Δx) − F (ξ ) f (ξ ) + εΔx .Δx ≤≤ΔxΔxΔxЭто означает, что при достаточно малых значенияхΔx > 0 числоF (ξ + Δx) − F (ξ )принадлежит сегменту [ f (ξ ) − ε , f (ξ ) + ε ].ΔxОпределенный интеграл Римана37ξ ≠ a , число Δx принадлежит интервалу ( −δ , 0) и достаточно мало для того, чтобы сегмент [ξ + Δx, ξ ] принадлежал [ a , b] .
То-Доказательство. Пусть x1 , K , x k – точки разрыва функции иПусть теперьгда аналогично предыдущему случаю имеем:ξ∫ξ+ Δxξx ∈ ( x j −1 , x j ) . Положим F j ( x j −1 ) = F j ( x j −1 + 0) , F j ( x j ) = F j ( x j − 0)f (ξ ) − εF (ξ ) − F (ξ + Δx) f (ξ ) + ε( − Δx ) ≥≥( − Δx ) ,ΔxΔxΔxи рассмотрим функциюF (ξ + Δx) − F (ξ )лежит на [ f (ξ ) − ε , f (ξ ) + ε ].ΔxF (ξ + Δx) − F (ξ )существует иТаким образом, мы доказали, что limΔx → 0Δxравен f (ξ ) (в случае ξ = a доказано существование предела справа, в слуF (ξ + Δx) − F (ξ )чае ξ = b – слева). Но по определению lim= F ′(ξ ) .Δx → 0Δxт.е.
снова числоТеорема доказана.[Теорема 4 (формула Ньютона–Лейбница, или основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция f ( x ) непрерывна на сегменте [ a , b] .Тогда∫ f (t )dt = Φ(b) − Φ(a) ,∫ f (t )dtявляется одной из (точных) пер-aгде Φ ( x ) – любая из (точных) первообразных функции f ( x ) на сегменте[a, b] .5x[ ]Теорема 3. Кусочно-непрерывная6 на сегменте a, bимеет (обобщённую) первообразную7 на этом сегменте.функцияF (x ) называется точной первообразной по отношению к функции f ( x )на сегменте [a, b ] , если в любой точке этого сегмента функция F ( x ) имеет производную F ′( x ) , равную f ( x ) (на концах сегмента речь идёт об односторонних производных).( )[ ]Функция f x называется кусочно-непрерывной на сегменте a, b , если она непрерывна на этом сегменте всюду за исключением конечного числа точек разрыва 1-городаx1 , K , x k .Доказательство.
Пусть F ( x) =f (x )Функция6]... , k + 1 , определена и непрерывна на всём сегменте [a, b] . Значит, согласно определению, эта функция является обобщённой первообразной для f ( x )на [a, b ] .f ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] ,x05][~F j ( x ) = F j ( x) + F j +1 ( x j ) − F j ( x j ) , x ∈ x j −1 , x j , j = 1, K , k + 1 .~Тогда очевидно, что функция F ( x ) = F j ( x ) , x ∈ x j −1 , x j , j = 1, 2,..bxвообразных f ( x ) на [ a , b] .f ( x ) непрерывна на каждом из интервалов ( x j −1 , x j ) ,j = 1, K , k + 1 , следовательно, на каждом таком интервале существует точ′ная первообразная для f ( x ) , т.е.
функция F j ( x ) такая, что F j ( x ) = f (x ) ,Отсюда после интегрирования получаем, чтоx0 ∈ [a, b] , то функция F ( x) =a = x 0 < x1 < K < x k < x k +1 = b .Тогда функцияξf (t )f (ξ ) + εf (ξ ) − εdt ≥ ∫dt ≥ ∫dt .ΔxΔxξ + Δx Δxξ + ΔxСледствие. Если функцияСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл38∫ f (t )dt . Так какf ( x ) непрерывна наa[a, b] , то по следствию из теоремы 2 получаем, что F ′( x ) = f ( x ) для любого x ∈ [ a, b] . Поскольку любые две первообразные одной и той же функции могут отличаться только на константу, то для произвольной первообразной Φ ( x ) функции f ( x ) на [ a , b] справедливо соотношение F ( x ) == Φ ( x ) + C .
Тогда имеемF (x ) называется обобщённой первообразной для функции f ( x ) на сегменте [a, b ] , если:1) F ( x ) непрерывна на [a, b ] ; 2) F ′( x ) = f ( x ) в точках непрерывности f ( x ) .7ФункцияОпределенный интеграл Римана39Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл40b∫2∫ sgn xdx = xf (t )dt = F (b) = F (b) − F (a) = (Φ(b) + C ) − (Φ(a) + C ) = Φ(b) − Φ(a)−1aa(здесь был использован тот факт, чтоa′⎛b⎞⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = − f ( x ) .⎜⎟⎝x⎠Замечание 2. В общем случае, когда необходимо продифференцировать поψ (x)∫ f (t , x )dt , в котором подынтегральная функция f (t, x )ϕ (x)и пределы интегрирования ϕпользуют формулу Лейбница:(x ),ψ (x )ψ (x )зависят отx как от параметра, ис-df (t , x )dt = f (ψ ( x ), x ) ⋅ψ ′( x ) − f (ϕ ( x ), x ) ⋅ ϕ ′( x ) +dx ϕ ∫( x )(при этом функцииϕ (x ),ψ (x )ψ (x )∫ f ′(t , x )dt (2)ϕ (x)xдолжны быть дифференцируемы, а функцииf (t , x ) и f x′(t , x ) – непрерывны в соответствующих промежутках.
Строгоеобоснование условий применимости данной формулы изучают позже в разделе «Интегралы, зависящие от параметра»).2Пример 1. Найти∫ sgn xdx .−1Решение. Поскольку функцияF ( x ) = x является первообразной для по-f ( x ) = sgn x (в обобщённом смысле: F (x ) непрерывна на сегменте [− 1,2] , и её производная всюду, за исключением точкиx = 0 , где она не дифференцируема, совпадает с f ( x ) ), то, применяя фордынтегральной функциимулу Ньютона–Лейбница, получаем= 2 −1 = 1.2π1а)sec 2 x∫0 2 + tg 2 x dx ; в)dx∫−1 x ; б)11 ⎞⎞⎛d ⎛∫ ⎜⎜⎝ dx ⎜⎝ arctg x ⎟⎠ ⎟⎟⎠dx .−11 x не ограничена напромежутке интегрирования (в окрестности точки x = 0 нарушается необхоРешение. а) Во-первых, подынтегральная функциядимое условие интегрируемости), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
