И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 3
Текст из файла (страница 3)
И любой профессионал без труда назовёт ряд изданий,которым он отдаёт предпочтение по глубине и (или) широте охвата изучаемого материала. Эта книга адресована, в первую очередь, именно студенту,впервые изучающему данный раздел.Особенностью учебного процесса в университете является, как известно,то, что студенту для изучения заданной темы необходимо в весьма короткийсрок, отведённый учебной программой, прослушать цикл лекций и посетитьсоответствующее количество семинарских (практических) занятий, посвящённых этой теме. Удобно, если при этом под рукой имеется учебное пособие, куда можно заглянуть в случае, если что-то оказалось непонятым на лекции, или же возникло затруднение при решении задачи на семинаре или привыполнении домашнего задания.
Конечно, преподаватель на семинарах объясняет новый материал, расставляет акценты, и под его руководством учащиеся разбирают решения типовых задач. Но, во-первых, время занятия ограничено, а информационная насыщенность может быть очень плотной, ипросто невозможно успеть порой и сформулировать, и доказать все необходимые для решения задач свойства, и разобраться в нюансах и существующихподходах к решению той или иной задачи. Во-вторых (это касается, в первуюочередь, студентов математических факультетов, более глубоко изучающихвсе разделы анализа), на семинаре часто не хватает времени даже для осмысливания уже разобранного решения, не говоря уже о том, чтобы иметь достаточно времени для самостоятельного его поиска.
И, конечно, надо учитыватьпсихофизические особенности памяти и умение «схватывать» и тут же применять новый материал, которые естественным образом различаются у различных студентов.Целью авторов данного пособия являлось написание книгисопровождения, которая стала бы путеводителем студента в рамках темы«Определённый интеграл». Книга предназначена для активного использова-Предисловие9ния её студентами во время прохождения данной темы на лекциях и практических занятиях. Именно к ней может обратиться студент для получениясправочной информации по возникшему вопросу. В эту книгу он может заглянуть, если на лекции остался непонятым какой-либо вопрос, или если возникли сложности при выполнении домашнего задания. Иногда даже хорошоуспевающему и способному студенту необходимо подробно разобраться врешении того или иного типа задач, посмотреть, как следует оформлять решение, как правильно его обосновывать.
Этим пособием рекомендуем пользоваться в процессе подготовки как к текущим проверочным и контрольнымработам, так и при подготовке к предстоящим зачёту и экзамену.Отличительной особенностью данной книги является то, что она содержит как достаточно полный (включая все необходимые определения и доказательства утверждений по данной теме) теоретический материал, так и служит практическим руководством для решения задач.В книге рассмотрены основные виды определённых интегралов от функций одного действительного переменного, изучаемые студентами на младшихкурсах.В первую очередь, это классический определённый интеграл Римана отограниченной функции по ограниченному множеству. Сформулированы идоказаны все основные его свойства (§1), включая оценки интегралов припомощи теорем о среднем и известных интегральных неравенств (§2); рассмотрены методы вычисления интеграла Римана (§3).Один из параграфов (§4) посвящён обобщению понятия интеграла Римана– несобственным интегралам, когда неограниченными являются либо промежуток интегрирования, либо подынтегральная функция.
Доказываются свойства несобственных интегралов, теоремы о среднем; исследуется сходимостьинтегралов (в том числе, абсолютная или условная, в смысле главного значения) с привлечением теоремы сравнения и вытекающих из неё признаковсравнения, а также методы их вычисления. Приводятся с целью первичногоознакомления наиболее известные в классическом анализе несобственныеинтегралы.Четыре параграфа освещают вопросы геометрических приложений собственных и несобственных интегралов: вычисление с помощью определённыхинтегралов площадей плоских фигур в декартовой и полярной системах координат при различных способах задания кривых, ограничивающих эти фигуры (§5); вычисление длин дуг плоских и пространственных кривых (§6);вычисление объёмов тел, включая объёмы тел вращения (§7); вычислениеплощадей поверхностей тел вращения (§8).
Ещё один параграф затрагиваетфизические приложения определённых интегралов на примерах некоторыхизвестных физических задач (§9).Наконец, последние два параграфа посвящены интересным дальнейшимобобщениям понятия определённого интеграла на примерах интегралов Лебега (для измеримых ограниченных функций, которые могут быть сделаны непрерывными путём изменения их на множестве сколь угодно малой меры, т.е.10Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегрализмеримые функции в этом смысле близки к непрерывным функциям (§10)) иСтилтьеса (для функций с ограниченным изменением (§11)).Каждый параграф иллюстрирован серией разобранных примеров разнообразных типовых задач с подробными комментариями решений для лучшегоусвоения процедуры поиска и обоснования решений.
Завершается параграфсписком контрольных заданий и задач для самостоятельного решения (большинство из которых снабжены подробными решениями или указаниями кним).Книга не охватывает некоторые виды определённых интегралов, которыеобычно изучаются позже, после ознакомления с теорией функций несколькихдействительных переменных. Так, в неё не вошли кратные интегралы, криволинейные интегралы (в которых областью интегрирования служит плоскаяили пространственная кривая), поверхностные интегралы (т.е. интегралы отфункций, заданных в точках некоторой поверхности), а также интегралы, зависящие от параметров.
Не рассматриваются по аналогичной причине и интегралы от функций комплексных переменных.Приносим глубокую благодарность академику В.А.Ильину, автору известных учебников по математическому анализу, за внимательное прочтениерукописи и положительный отзыв о её содержании.Выражаем также признательность и благодарность авторам используемыхпри написании данной книги пособий и трудов, всем рецензентам этой книги– за сделанные ценные замечания, а будущим читателям – за возможные замечания и советы по её улучшению.Надеемся, что наша книга окажется полезной всем тем, кому она адресована.С уважением,авторы.§ 1.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА1.1.
Историческая справкаПонятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребностивычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольныхтел. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности.Великий греческий математик Евдокс Книдский (V–IV века до н.э.) сформулировал первое теоретическое обобщение и обоснование методов вычисления площадей и объёмов, в которых неявно использовались предельныепереходы.
Метод Евдокса был назван в XVII веке методом исчерпывания. Импользовались Евклид, Архимед и другие учёные древности. В длинной эволюции, которую на протяжении почти 2500 лет претерпело понятие предела,метод исчерпывания представляет собой первый этап. Евдокс доказал, чторазность между площадью круга и площадью вписанного в него правильногомногоугольника с числом сторон n может быть сделана меньше произвольного заданного ε > 0 . С помощью своего метода Евдокс доказал, что объёмпирамиды равен трети объёма призмы с той же высотой и тем же основанием,а объём конуса равен трети объёма соответствующего цилиндра.Архимед в своих «Началах» с помощью метода исчерпывания доказывает,в частности, теорему о том, что объёмы двух шаров относятся как кубы ихрадиусов. Сжимая круг радиуса a , Архимед получает эллипс с полуосями aи b и доказывает, что отношение площади эллипса к площади круга выражается отношением малой полуоси к большой и что площадь эллипса равнаπab .
Метод исчерпывания использовался в XVII–XVIII веках, а в некоторыхучебных руководствах и в XIX и в начале XX века.Ученик Галилея, итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598–1647) считается основоположником метода неделимых – предшественникаметода бесконечно малых.
В XVII–XVIII вв. многие из последователей Кавальери, в том числе английский математик Джон Валлис (1616–1703) ужеявно отождествляют неделимые величины с актуально бесконечно малыми.Именно Валлис, как считают, первым в арифметической форме изложил предельный переход, дав мощный стимул в развитие теории пределов. Он жепредложил в 1665 г.
использовать символ ∞ для обозначения бесконечности.Метод неделимых использовали Евангелиста Торричелли (1608–1647), Блез12Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралПаскаль (1623–1662) и другие учёные того времени. Создание этого методастало одним из важных этапов в развитии интегрального исчисления. Дальнейшее развитие метод пределов получил в трудах Исаака Ньютона (1643–1727).Понятия производной, дифференциала и интеграла, как и весь математический анализ, ныне основываются на разработанном в XIX в.
методе пределов, или, что в сущности всё равно, на методе бесконечно малых. В концеXVII века в Европе образовались две крупные математические школы, которые существовали на протяжении почти всего XVIII в. Главой одной из нихбыл крупный немецкий учёный Готтфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716). Как он сам, так и его ученики и сотрудники – Гильом Франсуа Лопиталь (1661–1704), братья Якоб (1654–1705) и Иоганн (1667–1748) Бернулли, атакже его непосредственные последователи, в том числе Леонард Эйлер(1707–1783), жили и творили в основном на континенте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
