И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844. Интегралы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Интеграл Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846. Интегралы Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .1847. Гамма- и бета-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848. Интегралы Фруллани. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 185§ 5. Вычисление площади плоской фигуры5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2. Квадрируемая фигура и её площадь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классыквадрируемых фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1935.4. Площадь в декартовых координатах.5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно. . . . . . . . . . .1985.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 2075.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнениемF ( x, y ) = 0 .. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно. . . . . . . . . . . 2175.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 2245.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнениемF (r , ϕ ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 227§ 6. Вычисление длины дуги кривой6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятия. . . . . . . . . . . . . . . . 2316.2. Спрямляемая кривая и длина её дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.3. Основные классы спрямляемых кривых. Вычисление длины дуги.6.3.1. Случай параметрического задания кривой в декартовых координатах .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2386.3.2. Случай явного задания кривой в декартовых координатах. . . . . . . . . 2516.3.3. Случай неявного задания кривой в декартовых координатах . . . . . . . 2536.3.4. Случай явного задания кривой в полярных координатах. . .
. . . . . . . . 2556.3.5. Случай параметрического задания в полярных координатах. . . . . . . . 2586Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл6.3.6. Случай неявного задания кривой в полярных координатах. . . . . . . . . . 259Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . .260§ 7. Вычисление объёмов тел7.1. Пространственное тело и связанные с ним понятия.
. . . . . . . . . . . . 2647.2 Понятие кубируемого тела. Объём тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости. Классыкубируемых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 2707.4. Вычисление объёма тела по известным площадям поперечныхсечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.5. Объём тела вращения в декартовых координатах7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно осиOx и вращается вокруг оси Ox .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно осиOx и вращается вокруг оси Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2967.6. Объём тела вращения в полярных координатах7.6.1. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам. . 2997.6.2. Вычисление объёма непосредственно в полярных координатах. . . . 3007.6.3. Случай вращения вокруг луча ϕ = π 2 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3027.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам. . 3037.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . 305Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 309§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения8.1. Понятие кривой поверхности и способы её задания. Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхности. . . . . . . . .
. . . . . . . . 3138.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. . . . . . . . . . . . . . 3188.3. Квадрируемость кривой поверхности и её площадь. . . . . . . . . . . . . 3198.4. Поверхность вращения и её площадь. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 3208.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах. . . . . .3228.5.1. Вращение вокруг оси Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.5.2. Вращение вокруг оси Oy .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.5.3. Вращение вокруг произвольной оси. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.6. Площадь поверхности вращения в полярных координатах . . . . . . 3388.6.1. Вращение вокруг полярной оси. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси. . . . . . . . 3408.6.3. Вращение вокруг произвольной оси. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . .
. . . . 344Содержание7ПРЕДИСЛОВИЕ§ 9. Физические приложения определённого интеграла9.1. Масса плоской кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3469.2. Статические моменты, моменты инерции и центры тяжестиплоских кривых и фигур.9.2.1. Случай плоской кривой.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2.2. Случай плоской фигуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3539.3. Вычисление пути, работы переменной силы и другие примерыпростейших физических задач. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 362Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 366§ 10. Мера и интеграл Лебега10.1. История вопроса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36910.2. Используемые понятия.10.2.1. Эквивалентные множества. Операции над множествами. . .
. . 37010.2.2. Счётные и несчётные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.2.3. Открытые и замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37210.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда. . . . . . . . . . . . . . . . 37310.3. Мера множества. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.4. Измеримые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37610.5. Интеграл Лебега.10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. . . . . . 37910.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 38010.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм. . . 38110.5.4. Свойства интеграла Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 385§ 11. Интеграл Стилтьеса11.1.
Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функционалена пространстве непрерывных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38611.2. Функции ограниченной вариации и их свойства. Определениеинтеграла Стилтьеса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38711.3. Условия существования интеграла Стилтьеса. . . . . . . . .
. . . . . . . . 39111.4. Свойства интеграла Стилтьеса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . 399Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 401Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 524Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526Раздел математического анализа, связанный с изучением определённогоинтеграла, его свойств и приложений, относится к наиболее важным разделамсовременной математики и традиционно включён в учебную программу основных курсов, изучаемых в высших учебных заведениях.Существует большое количество учебных пособий и специальной литературы, посвящённых, в том числе, и этой теме (см., например, список используемой литературы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
