И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Докажите, что если функцияcbaac32. Докажите, что из интегрируемости функций f и g на сегментеbbbaaaf ± g , при этом∫ ( f (x ) ± g (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx .f ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] иc – произвольная константа, то функция cf (x ) также интегрируема на этом33. Докажите, что если функциясегменте, причёмbbaaa ≤ x ≤b[m, M ] и непрерывна на нём. Докажите, что сложная функцияϕ ( f ( x )) интегрируема на [a, b] .f ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] ,41. Пусть функцияM = sup f ( x ) , m = inf f ( x ) . Пусть функция ϕ (t ) определена на сегa ≤ x ≤ba ≤ x≤bменте [m, M ] и интегрируема на нём.
Верно ли, что композиция функцийf и ϕ (т.е. сложная функция ϕ ( f ( x )) ) интегрируема на [a, b] ?42. Докажите, что если две ограниченные на сегменте [a, b ] функцииf ( x ) и g ( x ) совпадают на нём всюду, за исключением множества точекжордановой меры нуль, то либо обе эти функции интегрируемы на [a, b ] , иb34. Докажите, что если функция f интегрируема на сегменте[a, b] , афункция g таким свойством не обладает, то сумма f + g этих функций не[a, b] .35.
Докажите, что неинтегрируемость функций f и g на сегменте[a, b]не влечёт, вообще говоря, неинтегрируемость суммы f + g этих функций наданном сегменте.36. Докажите, что если функции f x и g x интегрируемы на a, b ,( )функцияих интегралы равны∫ cf (x )dx = c ⋅ ∫ f (x )dx .может быть интегрируемой наПустьменте∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .[a, b] следует и интегрируемость их суммы (разности)f ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] ,M = sup f ( x ) , m = inf f ( x ) . Пусть функция ϕ (t ) определена на сег40.a ≤ x≤bсправедливо свойство аддитивности интеграла Римана:bСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл46[ ]()f (x ) ⋅ g ( x ) также интегрируемо на [a, b] .37. а) Докажите, что неинтегрируемость функций f и g на сегменте[a, b] не влечёт, вообще говоря, неинтегрируемость произведения f ⋅ gто их произведениеэтих функций на данном сегменте.б) Приведите пример неинтегрируемой на сегменте a, b функции, квадрат которой интегрируем.38.
Докажите, что из интегрируемости произведения двух функция, вообще говоря, не следует интегрируемость каждой из них в отдельности.39. Докажите, что если одна из функций интегрируема на некотором сегменте, а другая – нет, то их произведение может быть как интегрируемым, таки неинтегрируемым на этом сегменте.[ ]∫abf ( x )dx = ∫ g ( x )dx ,aлибо обе они неинтегрируемы на этом сегменте. Следует ли отсюда, что еслифункция f x интегрируема на сегменте a, b , то, не изменяя свойства ин-[ ]( )тегрируемости и самого значения интеграла функции[ ]f ( x ) на сегментеa, b , её значения на множестве жордановой меры нуль можно заменитьпроизвольными конечными значениями?43. Докажите, что если функция f x интегрируема на a, b , то равенство( )[ ]b∫ f (x )dx = 02af ( x ) = 0 во всех точках непрерывности f ( x ) , принадлежащих сегменту [a, b ] .44.
Докажите, что если функция f интегрируема на сегменте [a, b] , то иеё абсолютная величина f интегрируема на этом сегменте.имеет место тогда и только тогда, когдаf на сегменте [a, b] ,вообще говоря, не следует интегрируемость самой функции f на этом сег45. Докажите, что из интегрируемости функциименте.Определенный интеграл Римана4746. Пусть функция f интегрируема на сегменте[A, B] . Докажите, чтоf обладает свойством интегральной непрерывности: для любого сегмента[a, b] ⊂ ( A, B ) справедливоba47.
Пусть функция f ограничена и монотонна на сегментежите, что1[0,1] . Дока-1 n ⎛k⎞⎛1⎞f ⎜ ⎟ = O⎜ ⎟ .∑∫0n k =1 ⎝ n ⎠⎝n⎠48. Пусть f – дифференцируемая на сегменте [a, b] функция, причёмf ′( x ) ≤ 1 для любого x ∈ [a, b] . Докажите, что если T :f ( x )dx −a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n = b – такое разбиение, что его диаметрΔT ≤1, тоb−ab∫anf (x )dx − ∑ f (ξ k )Δx k ≤k =1nи) lim∑ (nx + k )(nx + k + 1)k =1n2n → +∞(x > 0) ;к) nlim→ +∞1n1при любом выборе точек2ξ k ∈ [x k −1 , x k ) . Покажите, что приведённая оценка неулучшаема.222++ ... +n +1 n +1 2n +1 n21 ⎞n −1⎞1⎛ 1⎛ 1+ 2 + ...
+ 2 ⎟ ; б) lim ⎜++ ... +⎟;2n→+∞n+n⎠nn ⎠⎝n⎝ n +1 n + 21 nπknn ⎞⎛ nв) lim ⎜ 2;г);...limsin+++⎟∑22222n → +∞n → +∞ nnn +2n +n ⎠⎝ n +1k =1⎛ 1 p + 2 p + ... + n p ⎞1 nk⎜⎟⎟ ( p > 0) ;1+;е)д) limlim∑n → +∞ nn → +∞ ⎜nn p +1k =1⎝⎠а) lim ⎜n → +∞b−a⎞1 n ⎛π n1ж) lim ∑ f ⎜ a + k, f ( x ) ∈ R[ a, b ] ;з) lim sin ∑;⎟n → +∞ nn→+∞n ⎠n k =1 2 + cos(πk n )k =1 ⎝11 1+ + ... + − ln nn2 3монотонна и ограничена.151. Дана последовательность интегралов()U n = ∫ x n e − x + 1 dx . Докажи0те, что она монотонна и ограничена, и найдите её предел.Задачи на свойства интегралов с переменным верхним (нижним) пределом52. Докажите, что если f – интегрируемая на сегменте[a, b] функция, тоxфункцияF ( x ) = ∫ f (t )dt – непрерывна на [a, b] .a53. Пусть функция f ( x ) непрерывна на сегментетогда справедлива формула[a, b] . Докажите, чтоb∫ f (x )dx = F (b) − F (a ) ,Задачи с последовательностями49.
Вычислите пределы числовых последовательностей, интерпретируясуммы под знаками пределов как интегральные суммы для некоторых функций на соответствующих сегментах:nn2n50. Докажите, что последовательность x n = 1 +lim ∫ f ( x + h ) − f ( x )dx = 0 .h →0Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл48a()[ ]где F x – любая из первообразных функции f ( x ) на сегменте a, b (основная теорема интегрального исчисления).54. Эквивалентны ли понятия интегрируемости функции f ( x ) на сегмен-[ ]те a, b и существования у этой функции первообразной на указанном сегменте? Существуют ли функции, интегрируемые на некотором сегменте, ноне имеющие на нём первообразной? Существуют ли функции, имеющие нанекотором сегменте первообразную, но при этом не интегрируемые на нём поРиману?55.
Пусть f – интегрируемая на сегменте a, b функция. Выразите зна-[ ]dчение интеграла∫ f (t )dt , где [c, d ] ⊆ [a, b] , через значения функцииcxF ( x ) = ∫ f (t )dt .aОпределенный интеграл Римана56. Докажите, что если интегрируемая на сегменте49[a, b] функцияf не-x[ ]прерывна в точке x 0 ∈ a, b , то функцияF ( x ) = ∫ f (t )dt , где x ∈ [a, b] ,aдифференцируема в точке x 0 , причём F ′( x 0 ) = f ( x 0 ) .57. Докажите, что если f – непрерывная на сегменте[a, b] функция, тоxфункцияF ( x ) = ∫ f (t )dt : а) не может иметь бесконечной производной ни вaодной точке сегмента[a, b] ;ΔFв каждой точке сегмента [a, b] ограничено.Δx58. Пусть f – непрерывная на сегменте [a, b] функция.
Докажите, чтоб) отношениеxфункцияF ( x ) = ∫ f (t )dt является её первообразной на этом сегменте.a[a, b] функция,для любого x ∈ [a, b] , то59. Докажите, что если f – интегрируемая на сегментеудовлетворяющая условиюf (x ) ≤ MF ( x1 ) − F ( x 2 ) ≤ M x1 − x 2 ,гдеx1 , x2 – произвольные точки [a, b] .а) F ( x ) =2б)F ( x ) = ∫ ln tdt ; в) F ( x ) =10xг) F ( x ) =x3а)( )∫ cos t( )2x2∫0d1 + t dt ; д)dx2x2∫0∫x2x3dt∫1+ t4x2;( )2x20x63. Найдите пределы: а) limx → +∞∫1 + t 4 dt0xlim x; б)3x → +0α1f (t )∫ tα+1dt , гдеxsin x∫α > 0 , f (t ) ∈ C[0,1] , f (0) ≠ 0 ; в) lim tgx0x → +0∫tgt dt.sin t dt[a, b] , и вx22 sin tdt ;tx∫точкеx0 ∈ [a, b] имеет устранимый разрыв, то функция F ( x ) = ∫ f (t )dtaимеет в этой точке производную.
Чему она равна?65. Дана функцияx ≥ 0,⎧1,f (x ) = ⎨x < 0.⎩− 1,xx2x3ddt1 + x dx ; е);∫dx x 2 1 + t 22d; к)4dt1+ x⎛ x t2 ⎞2⎜ ∫ e dt ⎟∫0 (arctgt ) dt∫0 cos(t )dt⎜⎟⎝0⎠ .; б) lim; в) lim xа) lim2x→+∞xx →0→+∞x1+ x2t 2∫ e dtxdt .dddsin x 2 dx ; б)sin x 2 dx ; в)sin (x 2 )dx ;∫∫dx adb ada ∫adг)dxdx62. Найдите пределы:61. Найдите производные следующих функций:bcos xt3dddtcos πt 2 dt .л); м)∫∫24dx sin xdx t 2 x + t1xbx364. Докажите, что если функция f интегрируема на сегменте(x > 0) :x5∫ cos(t )dt ;x3ddxddtdж); з); и)∫∫22dx x 2 1 + xdx t 2 1 + tdt060. Найдите производные следующих функцийxСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл50Докажите, что в точкеx = 0 функция F ( x ) = ∫ f (t )dt имеет правую и ле2вую производные, которые не равны между собой.66. Пусть функция f определена на сегментевсём этом сегменте, за исключением точки[a, b]и непрерывна наx 0 , в которой она имеет разрывОпределенный интеграл Римана51Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл52Разные задачиxпервого рода. Докажите, что функцияF ( x ) = ∫ f (t )dt имеет в точке x 0aодносторонние производные, которые не равны.yCy=f(x)x0a67. Как надо выбрать точкуC на графике возрастающейдифференцируемойфункцииf ( x ) (см. рис.), чтобы суммаплощадей заштрихованных фигурбыла наименьшей?b( )2ex∫0 e dt ~ 2 x при x → +∞ .[0,+∞) . До-x∫ tf (t )dtϕ (x ) =0x∫ f (t )dt0возрастает на этом промежутке.70.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функцииx2t + 1dt0 t − 2t + 2]2на сегменте − 1,1 .71. Исследуйте на экстремум и найдите точки перегиба графика функцииxy = ∫ (t − 1)(t − 2) dt .20sin 2 x72. Докажите тождество∫ arcsin0[0,2];2)f (0) = f (2) = 1 ; 3) f ′( x ) ≤ 1 ; 4)cos 2 xt dt +2∫ f (x )dx ≤ 1 ?0xf ( x ) непрерывна и f ( x ) = ∫ f (t )dt , то f ( x )069. Пусть f x – непрерывная положительная функция накажите, что функция[натождественно равна нулю.t2f (x ) = ∫1⎛1⎞ pp⎜limf ( x ) dx ⎟⎟ , где f ( x ) ∈ C [0,1] .p → +∞⎜ ∫⎝0⎠74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
