И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Значит, сделанное пред-ε=∗положение неверно, и I ∗ ≤ I . Лемма 5 доказана.Лемма 6. Нижний (верхний) интегралы Дарбу являются пределами соответственно нижней (верхней) интегральных сумм при стремлении диаметраразбиения к нулю:I ∗ = lim s(T ) ( I ∗ = lim S (T ) ),ε >0Δ T →0ΔT →0δ = δ (ε ) > 0 такое, что для любого T –разбиения сегмента [ a , b] , Δ T < δ , выполнено:s (T ) − I ∗ < ε ( S (T ) − I ∗ < ε ).т.е. для любогонайдётся∗Доказательство. Докажем, что I = lim S (T ) .ΔT →0= {x ; x ;K ; x } такое, что S (T ) < I ∗ +∗0ОбозначимМножество нижних сумм Дарбу ограничено сверху, а, следовательно, у негосуществует точная верхняя грань.
Аналогично доказывается существованиеточной нижней грани у множества верхних сумм Дарбу.что это не так. Обозначим∗δ=∗1∗k∗2.ε2( M − m)(k − 1)ε , поскольку kточек разбиения T , а оно выбирается в зависимости от ε ).(заметим, что выбор числаεδзависит только от– число∗Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – произвольное разбиение сегмента [ a , b] сдиаметромΔ T < δ . Тогда T ′ = {x 0 ; x1 ;K ; x n ; x1∗ ;K; x k∗−1 } – измельчениеT (добавили к T точки разбиения T ∗ ). Из леммы 3 вытекает следующаяцепочка неравенств:0 ≤ S (T ) − S (T ′) ≤ (k − 1)(M − m )Δ T < (k − 1)( M − m)δ =ε. (1)2∗Так как разбиение T ′ является измельчением и для разбиения T , то по∗∗лемме 5 получаем I ≤ S (T ′) ≤ S (T ) .
Тогда, по построению разбиенияT ∗ , имеем:0 ≤ S (T ′) − I ∗ ≤ S (T ∗ ) − I ∗ < ε 2 .(2)Сложив неравенства (1) и (2), получим, что0 ≤ S (T ) − S (T ′) + S (T ′) − I ∗ < ε .Таким образом, доказали, что для любого числа ε > 0 найдётся числоδ = δ (ε ) > 0 такое, что для любого разбиения T сегмента [a, b] , удовле-Δ T < δ , выполнено: 0 ≤ S (T ) − I ∗ < ε . Это означа∗ет, по определению, что I = lim S (T ) .творяющего условиюΔT →0Утверждение для нижнего интеграла Дарбу доказывается аналогично.Лемма 6 доказана.Определенный интеграл Римана23lim ( S (T ) − s(T )) = 0 . Это означает по определению предела, что для лю-1.2.5.
Необходимое и достаточное условие интегрируемостиΔ T →0Теорема 3 (критерий Римана интегрируемости функции на сегменте).Пусть функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] . Тогда f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] тогда и только тогда, когда для любого числаε >0найдётся T – разбиение [ a , b] – такое, чтоS (T ) − s (T ) < ε .Доказательство. Пусть функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] .1) Необходимость. Пусть f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] . Тогда,по определению интеграла, для любого числа ε > 0 найдётся δ = δ (ε ) > 0такое, что для любого размеченного разбиения V сегмента [ a , b] , Δ V < δ ,выполнено: I − σ (V ) <ε3bI = ∫ f ( x)dx ). Последнее неравенство(здесьaперепишем в виде:I−ε3ε3V3≤ s (T ) ≤ I +3, I−ε3≤ S (T ) ≤ I +ε3S (T ) − s(T ) ≤ 2ε 3 < ε .Необходимость доказана.2) Достаточность.
Пусть для любого числаε >0найдётся разбиениеT сегмента [a, b] такое, что S (T ) − s(T ) < ε . Так как s (T ) ≤ I ∗ ≤ I ≤≤ S (T ) (лемма 5), то I ∗ − I ∗ < ε . Поскольку ε – произвольное число, азначения верхнего и нижнего интегралов Дарбу от него не зависят, то по∗следнее неравенство означает, что I = I ∗ . Обозначим I = I = I ∗ .I ∗ = lim s(T ) , I ∗ = lim S (T ) (лемма 6), то получаем, чтоΔ T →0ΔT →0V сегмента [a, b] , Δ V < δ . Мы доказали, чтоI = lim σ (V ) .
Это означает, что функция f ( x ) интегрируема на сегментеразмеченного разбиенияΔV → 0b[a, b] и I = ∫ f ( x)dx . Теорема полностью доказана.Теорема 1. Пусть функция f ( x ) непрерывна на сегменте [ a , b] . Тогдаf ( x ) интегрируема на [a, b] .Доказательство. Пусть f ( x ) непрерывна на сегменте [ a , b] , тогда онаравномерно непрерывна на этом сегменте (теорема Кантора). Пусть ε > 0 –произвольное число. Тогда найдётся число δ = δ (ε ) > 0 такое, то для любых точек ξ ′, ξ ′′ из сегмента [ a , b] , ξ ′ − ξ ′′ < δ , выполнено:f (ξ ′) − f (ξ ′′) <∗Поскольку≤ S (T (V )) (лемма 5), то из (4) получим, что I − σ (V ) < ε для любого1.3.1.
Функции, непрерывные на сегменте(если все элементы множества лежат на некотором сегменте, то точные граниэтого множества также принадлежат рассматриваемому сегменту). Отсюдаполучаем, что∗(4)s (T (V )) ≤ I ≤V , тогдаVεS (T (V )) − s (T (V )) < ε .s (T (V )) ≤ σ (V ) ≤ S (T (V )) (лемма 1) и1.3. Основные классы интегрируемых функцийΔ T < δ . Так как s (T ) = inf {σ (V )} , S (T ) = sup{σ (V )} (см. лемму 2),εПосколькунайдётся(3).Пусть неразмеченное разбиение T соответствует разбиениюI−ε >0δ = δ (ε ) > 0 такое, что для любого разбиения T сегмента [ a , b] , Δ T < δ , выполнено: S (T ) − s (T ) < ε . Значит, для любогоразмеченного разбиения V сегмента [ a , b] , Δ V < δ , выполнено:богоa< σ (V ) < I +то из неравенства (3) следует, чтоСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл24εb−a.Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – произвольное разбиение сегмента [ a , b] ,Δ T < δ . Тогда для любого натурального числаεk , 1 ≤ k ≤ n , справедливы неравенства M k − mk <(так как f ( x )b−aнепрерывна на любом сегменте разбиения [ x k −1 , x k ] , то она достигает нанём своих точных граней, значит, существуют точки ξ k′ , ξ k′′ ∈ [ x k −1 , x k ] , длякоторых f (ξ k′ ) = M k , f (ξ k′′) = mk ). Отсюда следует, что для разностиудовлетворяющее условиюОпределенный интеграл Римана25верхней и нижней сумм Дарбу функции f ( x ) , соответствующих разбиениюT , справедлива оценкаnS (T ) − s (T ) = ∑ ( M k − m k ) Δx k <k =1εb−arΔ Tm < δ . Тогда T = U Tmn∑ Δxk =1k=ε.Говорят, что интервал ( x ′, x ′′) покрывает точку x , если[a, b] .
Если множество точек разрыва f ( x ) на [a, b] имеет меру нуль поЖордану, то функция f ( x ) интегрируема на этом сегменте.Доказательство. Пусть M = sup f ( x) , m = inf f ( x ) . Еслиa ≤ x ≤bM = m , то f ( x ) = M = m для любой точки x ∈ [a, b] , и функция f ( x )интегрируема на [ a , b] (теорема 1).Пусть M > m . Выберем произвольное число ε > 0 . Пусть ( x1′ , x1′′) ,…,(xl′ , xl′′) – интервалы, покрывающие все точки разрыва функции f ( x) наε∑ ( x k′′ − x ′k ) <(возможно, чтоx1′ < a , xl′′ > b ).2( M − m )lr⎛⎞Обозначим I = [ a, b] \ ⎜⎜ U ( x k′ , x k′′ )⎟⎟ . Тогда I = U I m , где I m ⊂ [ a, b] –m =1⎝ k =1⎠сегменты, причём r ≤ l + 1 . Так как функция f ( x ) непрерывна на сегментеI m для любого m, 1 ≤ m ≤ r , то f ( x ) равномерно непрерывна на I m .Значит, существует число δ m > 0 такое, что для любых точек ξ ′, ξ ′′ из сегk =1ментаIm ,удовлетворяющихf (ξ ′) − f (ξ ′′) <εb−a.
Пустьусловиюξ ′ − ξ ′′ < δ m ,выполнено:δ = min δ m , Tm – разбиение сегмента I m ,1≤ m ≤ r[a, b] . Пустьсегменталивы следующие соотношения:nS (T ) − s (T ) = ∑ ( M k − mk )Δx k =k =1+x ∈ (x ′, x ′′) .Числовое множество X называется множеством меры нуль по Жордану,если для любого числа ε > 0 существует конечная система интервалов, покрывающих все точки множества X , причём сумма длин этих интерваловменьше ε ,Теорема 2. Пусть функция f ( x ) определена и ограничена на сегментеlразбиениеT = {x 0 ; x1 ;K; x n } (перенумеровали точки разбиения T ).
Тогда для разности верхней и нижней сумм Дарбу, соответствующих разбиению T , справед-1.3.2. Ограниченные на сегменте функции,множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Жордану[a, b] , причём–m =1Согласно критерию Римана интегрируемости функции на сегменте, этоозначает, что f ( x ) интегрируема на [ a , b] .
Теорема доказана.a ≤ x ≤bСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл26∑ (M− m k ) Δx k ≤k[ xk −1 , xk ]⊂[ a , b ]\ I∑ (M[ xk −1 , xk ]⊂ I∑ Δxk +2(b − a ) [ xk −1 , xk ]⊂ Ilεk =12nкак+ε=ε2εl∑ Δxk ≤ ∑ Δxk = b − a ,[ xk −1 , xk ]⊂ I− m k ) Δx k +ε+ ( M − m)∑ ( x k′′ − x ′k ) <(такk∑ ( x ′′ − x ′ ) < 2( M − m) ,k =1k =1kkM k ≤ M , mk ≥ m ). Это означает, что функция f ( x ) интегрируема насегменте [ a , b] . Теорема доказана.Следствие 1.
Если функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] и имеет на нём конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [ a , b] .( )()Следствие 2. Если функции f x и g x отличаются друг от другатолько в конечном числе точек, то они одновременно интегрируемы или нет всмысле Римана на [ a , b] , и если интегрируемы, тоb∫abf (x )dx = ∫ g ( x )dx .aИтак, ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва нанекотором сегменте, всегда интегрируемы на этом сегменте. Более того,можно привести пример функции, имеющей бесконечное число точек разрыва, которые, однако, удаётся покрыть конечным числом интервалов скольугодно малой суммарной длины (см., например, задачу 14).
Согласно теореме2, такие функции также интегрируемы на конечном сегменте (в более общемвиде утверждение сформулировано в задаче 42).Возникает вопрос: как «много» точек разрыва может иметь ограниченнаяфункция, чтобы быть интегрируемой?Окончательный ответ на этот вопрос даёт теорема 3 следующего пункта.Определенный интеграл Римана27Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл281.3.3. Ограниченные на сегменте функции,множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу< δ ∑ ( f ( x k ) − f ( x k −1 )) = δ ( f ( x1 ) − f (a) + f ( x 2 ) −Числовое множество X называется множеством меры нуль (по Лебегу),если для любого числа ε > 0 существует конечная или счётная система интервалов, покрывающих все точки множества X , причём сумма длин этихинтервалов меньше ε .Приведём без доказательства теорему, отражающую необходимые и достаточные условия интегрируемости функции на заданном сегменте (по Риману).Теорема 3 (критерий Лебега интегрируемости функции).
Функция f ( x )− f ( x1 ) + K + f ( x n −1 ) − f ( x n − 2 ) + f (b) − f ( x n −1 )) =nинтегрируема на сегменте [ a , b] тогда и только тогда, когда множествоеё точек разрыва имеет меру нуль по Лебегу.Доказательство этого факта можно найти, например, в книге [1] (главаVIII, §7).Следствие. Можно показать, что любое счётное числовое множествоимеет меру нуль по Лебегу. Таким образом, функции, ограниченные и имеющие на некотором сегменте счётное число точек разрыва, всегда интегрируемы на этом сегменте3.Теорема 4. Пусть функция f ( x ) определена и монотонна на сегменте[a, b] . Тогда она интегрируема на этом сегменте.вает на [ a , b] (случай, когда f ( x ) не возрастает, рассматривается аналогич-x из[a, b] , и f ( x ) интегрируема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
