И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Получили проти-воречие с существованием интеграла Римана. Теорема доказана.Следствие. Неограниченная на сегменте [ a , b] функция не интегрируемапо Риману на этом сегменте.1.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению,т.е. переходом к пределу интегральных суммПодчеркнём, что этот способ активно применялся как основной способвычисления интегралов в то время, когда ещё не была известна формулаНьютона–Лейбница. В настоящее время данный способ практически не используется, сохранив, тем не менее, своё важное теоретическое значение.Для того чтобы воспользоваться им, необходимо предварительно убедиться в интегрируемости функции f x на заданном сегменте a, b .
Тогда( )[ ]Определенный интеграл Римана17для вычисления интеграла достаточно будет рассмотреть лишь одно из бесконечного числа возможных разбиений. Затем производится некоторое«удобное» для данной функции на данном сегменте разбиение его на n частейa = x 0 < x1 < x 2 < ...
< x n = b .Отметим, что, вообще говоря, не всегда наиболее подходящим бывает разбить сегмент a, b на равные части. Общих рекомендаций для выбора разбиения не существует. В каждом конкретном случае следует учитывать специфику подынтегральной функции, её поведение на промежутке интегрирования.Далее осуществляется выбор промежуточных точек ξ k на каждом эле-[ ][]ментарном сегменте разбиения x k −1 , x k , k = 1,2,..., n , в качестве которыхчасто берут левые или правые концы этих сегментов, их середины и т.п.
Точки x k и ξ k следует выбирать из расчёта, чтобы полученная в результате интегральная сумма была наиболее простой с точки зрения последующего вычисления от неё предела. Далее составляется интегральная сумма видаn∑ f (ξ )Δxkk =1k,и, наконец, вычисляется её предел (условие Δ V → 0 при этом заменяется на18Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралσ (T , ξ ) =n∑ f (ξ )Δxk =1kk.Геометрический смысл произведения f (ξ k )Δx k есть площадь элемен-тарного прямоугольника с основанием Δx k и высотой f (ξ k ) . Поэтому геометрический смысл интегральной суммы – это сумма площадей всех такихпрямоугольников.Если теперь устремитьyBдиаметрразбиения к нулю, тоy=f(x)число точек деления будетнеограниченно увеличиватьf(ζκ)ся, и в силу интегрируемостинепрерывной функции насегменте a, b в пределеAполучим площадь указаннойвыше криволинейной трапеции, т.е.
численно искомаяплощадьтрапеции S равнаxопределённому интегралу:xn-1 xn =ba=x0 x1xκ ζ xbκ κ +1S = f ( x )dx .[ ]∫n → +∞ ):ab∫af ( x )dx = limn → +∞n∑ f (ξ )Δxk =1kkПолученное в результате число и есть искомое значение определённого интеграла.1.2.3. Геометрический смысл определённого интегралаРассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой AB графика непрерывной неотрицательной функции y = f x , снизу – сегментом a, b оси Ox , слева и справа – отрезками()1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу2.[ ]вертикальных прямых x = a и x = b соответственно.Произведём разбиение этого сегмента произвольными точкамиa = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = bна n частичных сегментов, k = 1,2,..., n , выберем на каждом таком сегменте[xk −1 , xk ] произвольную точку ξ k и составим интегральную суммуНаряду с римановыми существуют и другие виды интегральных сумм.Пусть функция f ( x ) определена и ограничена на сегменте [ a , b] .
ОбозначимM = sup f ( x) , m = inf f ( x) ,a ≤ x ≤ba ≤ x ≤bM k = sup f ( x) , mk = infxk −1 ≤ x ≤ xkxk −1 ≤ x ≤ xkf ( x) ,где T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – некоторое разбиение сегмента [ a , b] .Верхней (нижней) суммой Дарбу функции f ( x ) на сегменте [ a , b] , от-вечающей разбиению T = {x 0 ; x1 ;K; x n } , называется суммаnn⎛⎞S (T ) = ∑ M k Δx k ⎜ s (T ) = ∑ mk Δx k ⎟ .k =1k =1⎝⎠2Гастон Дарбу – французский математик (1842–1917).Определенный интеграл Римана19Лемма 3.
Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – разбиение сегмента [ a , b] ,∗Число I = inf {S (T )} ( I ∗ = sup{s (T )} ) называют верхним (нижним)TTинтегралом Дарбу от функции f ( x ) на сегменте [ a , b] (здесь точная верхняя и нижняя грани берутся по всем возможным разбиениям T сегмента[a, b] ).Докажем некоторые свойства сумм и интегралов Дарбу.Лемма 1.
Для любого размеченного разбиения V сегмента [ a , b] имеетместо неравенство:s (T (V )) ≤ σ (V ) ≤ S (T (V )) .Доказательство. Поскольку для любогоξ k ∈ [ x k −1 , x k ] , k = 1,2,..., n ,справедливо неравенство m k ≤ f (ξ k ) ≤ M k , то, умножив его на Δx k ипросуммировав затем по всемn∑ Δx mk =1kkk , получимnnk =1k =1T ′ = {x 0 ; x1 ;K; x n ; x1′ ;K; xl′ } – измельчение разбиения T . ТогдаS (T ′) ≤ S (T ) , s (T ′) ≥ s (T ) ,S (T ) − S (T ′) ≤ l (M − m )Δ T , s(T ′) − s(T ) ≤ l (M − m )Δ T .Доказательство. Пусть T ′ = {x 0 ; x1 ;K; x n ; x ′} , где x ′ ∈ [ x k −1 , x k ] .имеетвид:Тогдаk-еслагаемоевсуммедляS (T )M k Δx k = ( x k − x k −1 ) ⋅ sup f ( x) , а соответствующее слагаемое в суммепричёмxk −1 ≤ x ≤ xkдля S (T ′) :( x ′ − x k −1 ) sup f ( x) + ( x k − x ′) sup f ( x) ; все остальныеЛемма 1 доказана.Лемма 2.
Для любого разбиения T сегмента [ a , b] справедливо:sup f ( x) ≤ M k , то S (T ′) ≤ S (T ) . С другой стороны,S (T ) − S (T ′) ≤ M k Δx k − (( x ′ − x k −1 ) sup f ( x) +xk −1 ≤ x ≤ x′+ ( x k − x ′) sup f ( x)) ≤ ( M − m)Δx k ≤ (M − m )Δ T ,V (T )x′≤ x ≤ xkгде точная нижняя и верхняя грани берутся по всем возможным размеченнымразбиениям V , отвечающим разбиению T .Доказательство. Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – произвольное разбиениепоскольку M k ≤ M ,сегмента [ a , b] . Возьмём любое(найдётся точкаM k = sup f ( x) , тоxk −1 ≤ x ≤ xkξ k ∈ [ x k −1 , x k ] такая, что f (ξ k ) > M k −n∑ f (ξk =1Так какnk) Δx k > ∑ M k Δx k −k =1εb−an∑ Δxk =1ksup f ( x) ≤ M k ,xk −1 ≤ x ≤ x′x′≤ x ≤ xkS (T ) = sup{σ (V )} , s (T ) = inf {σ (V )} ,ε > 0.x′≤ x ≤ x kxk −1 ≤ x ≤ x′слагаемые в этих суммах совпадают.
Так как≤ ∑ Δx k f (ξ k ) ≤ ∑ Δx k M k .V (T )Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл20εb−a. Тогда= S (T ) − ε ,поскольку сумма длин всех частичных отрезков разбиения равна длине исходного сегмента. Значит, для любого числа ε > 0 найдётся V – размеченное разбиение сегмента [ a , b] , для которого σ (V ) > S (T ) − ε . Однако изσ (V ) ≤ S (T ) для любого размеченного разбиения V .Следовательно, S (T ) = sup{σ (V )} .леммы 1 следует, чтоVВторое утверждение леммы доказывается аналогично.
Лемма 2 доказана.sup f ( x) ≥ m , sup f ( x) ≥ m . Значит, при до-xk −1 ≤ x ≤ x′x′≤ x ≤ xkбавлении одной точки верхняя сумма Дарбу уменьшится не более чем наM − m Δ T . Тогда при добавлении l точек она уменьшится не более чем на)l (M − m )Δ T(так как диаметр разбиения при измельчении может толькоуменьшиться).Утверждение для нижней суммы Дарбу доказывается аналогично.Лемма 3 доказана.T1 , T2 – произвольные разбиения сегмента [a, b] . Тогдаs(T1 ) ≤ S (T2 ) .Доказательство. Обозначим T3 = T1 U T2 . Тогда T3 – измельчение идля T1 , и для T2 . Значит, s (T1 ) ≤ s (T3 ) ≤ S (T3 ) ≤ S (T2 ) (последняя цепочЛемма 4. Пустька неравенств вытекает из предыдущей леммы и из леммы 1).Лемма 4 доказана.Определенный интеграл Римана21Лемма 5. Если функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] , то для неёсуществуют верхний I∗и нижнийI ∗ интегралы Дарбу, причём для любогоразбиения T сегмента [ a , b] выполнено:s (T ) ≤ I ∗ ≤ I ∗ ≤ S (T ) .Доказательство.
Докажем существование интегралов Дарбу. По условию, ∃M :f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [a, b] . Для любого разбиения T сегментаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл22Пусть M = sup f ( x) , m = inf f ( x ) .a ≤ x ≤ba ≤ x ≤bM = m , то f ( x ) = M = m для любого x ∈ [a, b] . Тогда дляпроизвольного разбиения T имеет место равенство:S (T ) = M (b − a ) = I ∗ ,Еслии лемма доказана.Пусть теперьM > m . Возьмём любое ε > 0 . Так как I ∗ = inf {S (T )} ,T[a, b] имеемnnk =1k =1то существует разбиение Ts (T ) = ∑ mk Δx k ≤ M ∑ Δx k = M (b − a ) .∗Перейдём к доказательству неравенств. Так как I = inf {S (T )} , тоTI ∗ ≤ S (T ) . Аналогично s(T ) ≤ I ∗ .
Покажем, что I ∗ ≤ I ∗ . Предположим,∗I∗ − I> 0 . Тогда существует T1 – разбие2I ∗ + I∗∗ние сегмента [ a , b] , для которого S (T1 ) < I + ε =, и существует2I ∗ + I∗T2 – разбиение сегмента [a, b] , для которого s (T2 ) > I ∗ − ε =.2Отсюда s(T2 ) > S (T1 ) , что противоречит лемме 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
