И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Существует ли функция f ( x ) , определённая на сегменте [0,2] иудовлетворяющая на нём условиям: 1) f ( x ) непрерывно дифференцируема75. Докажите, что если68. Докажите соотношение эквивалентности:x73. Вычислите предел∫ arcsin0t dt =π4(x ∈ R) .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл54§ 2.2. Пусть функции f (x ) и g (x ) интегрируемы по Риману на отрезкеОЦЕНКИ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА[a, b] , причём f ( x ) ≥ g ( x ) для любой точки x ∈ [ a, b] . Тогдаb∫abf ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dxa(почленное интегрирование неравенств).Доказательство. Так как функцияf (x ) − g (x ) ≥ 0 на [a, b] и( f ( x ) − g ( x)) ∈ R[ a, b] (как разность двух интегрируемых функций), то изпредыдущего пункта следует, чтоВ некоторых задачах требуется, не вычисляя интеграла аналитически (этоможет оказаться затруднительно или даже невозможно), оценить его примерное значение.
В данном параграфе рассматриваются различные интегральныенеравенства и оценки, которые можно использовать в этой ситуации.2.1. Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами 8b∫a( )ствоb∫f ( x)dx ≥ 0 .aДоказательство. ПустьV = {x0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } – произвольноеnразмеченное разбиение отрезка [ a , b] . Тогдаσ (V ) = ∑ f (ξ k )Δx k ≥ 0 ,I = lim σ (V ) ≥ 0 .Замечание 1. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. То есть изтого, что для некоторой интегрируемой на a, b функции f x имеет место[ ]( )bнеравенство∫ f (x )dx ≥ 0 ,не следует, вообще говоря, чтоf (x ) ≥ 0a∀x ∈ [a, b] . Например,π∫ cos xdx = 1 > 0 , но при этом, очевидно, неравен-−⋅ство8π2cos x ≥ 0 не выполняется приπ2< x≤π .Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами, были рассмотренывыше в §1.a[ ]baa∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx ,тоотсюдаследует,что∀x ∈ [a, b]f (x ) ≥ g (x ) , вообще говоря, неверно (см.
пример из замечания 1).3. Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b] и f ( x ) ≥ 0 длялюбого x ∈ [ a, b] . Пусть, кроме того, существует точкаx0 ∈ [a, b] такая,bчтоΔ v →0a()bk =1следовательно,bЗамечание 2. Обратное утверждение о том, что если для некоторых функций f x и g x , интегрируемых на сегменте a, b , выполняется неравен-1. Пусть функция f (x ) интегрируема по Риману на отрезке [ a , b] иf ( x ) ≥ 0 для любого x ∈ [a, b] .
Тогдаbf ( x)dx − ∫ g ( x)dx = ∫ ( f ( x) − g ( x))dx ≥ 0 .f ( x0 ) > 0 . Тогда∫ f ( x)dx > 0 .aДоказательство. Пустьтакое, чтоf ( x0 ) = α > 0 . Тогда существует число δ > 0f ( x) ≥ α 2 для любой точки x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ] (свойстволокального сохранения знака функцией, непрерывной в точке). Введём вспомогательную функцию⎧α 2 , x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ]g ( x) = ⎨.x ∉ [ x0 − δ , x0 + δ ]⎩0,Очевидно, что f ( x ) ≥ g ( x ) для любой точки x ∈ [ a, b] .
Значит, по свойству 2,bbaaα∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx = 2δ ⋅ 2 > 0 .Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем554. Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b] , f ( x ) ≥ 0 дляb6. Если функция f интегрируема на сегментеbлюбой точки x ∈ [ a, b] и∫f ( x)dx = 0 , то f ( x ) ≡ 0 на [a, b] .aax0 ∈ [a, b] такая,ственно нулю на отрезке [ a , b] .
Тогда существует точкаf ( x0 ) > 0 . Значит,b∫ f ( x)dx > 0 (свойство 3). Полученное противоре-для любого сегментаc0≤чие доказывает утверждение.5. Если функция f (x ) интегрируема по Риману на [ a , b] , то и её модульявляется интегрируемой функцией на этом отрезке, причёмaf ( x) dx .ведливо неравенство x − y ≤ x − y , то функцияϕ ( x) = xx и y спраудовлетворя-ет условию Липшица с константой, равной 1, на любом конечном сегменте.Это означает, что сложная функцияϕ ( f ( x)) = f ( x)интегрируема на от-резке [ a , b] . Другое доказательство приведено в задаче 44 параграфа 1.− f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) для любого x ∈ [a, b] , то поbb∫ (−abacad[a, b] и ∫ f (x )dx = 0cf ( x ) ≡ 0 на [a, b] .n⎞⎛b⎟⎜≤()fxdx∑∑⎟⎜∫ kk =1k =1 ⎝ a⎠ba⎛⎞= ∫ ⎜ ∑ f k ( x ) ⎟dx .⎠a ⎝ k =1n[a, b]функцийdcчто противоречит условию. Следовательно, предположение неверно и утверждение доказано.8.
Если функция f x интегрируема на сегменте a, b , причёмk =1 a] [ ]()вольное разбиение сегментавыберем точкуξk[a, b] на частичные сегменты. На каждом из нихтак, чтобыf (ξ k ) ≤ 0 . Но тогда интегральные суммыn∫ f (x )dx ≤ ∑ ∫ f (x )dx =kf следует, что найдётся такой сегмент[c, d ] ( x0 ∈ [c, d ] ⊆ [a, b] ), на котором f (x ) > 0 . Отсюда ∫ f (x )dx > 0 ,[n bb[ ]f (x0 ) > 0 . Тогда из непрерывностиДоказательство (от противного). Предположим, что на любом сегментеc, d ⊆ a, b существует точка, в которой f x ≤ 0 . Выполним произ-anвсякого сегмента c, d ⊆ a, b , тоДоказательство (от противного).
Предположим, что существует такоеx0 ∈ a, b , что f ( x0 ) ≠ 0 . Ради определённости будем считатьaf ( x) dx ,f k (x ) , k = 1,2,..., n , верно неравенство] [ ]для[ ]I = ∫ f ( x )dx > 0 , то существует сегмент [c, d ] ⊆ [a, b ] , на котором f ( x ) > 0 .aчто и требовалось доказать.Следствие. В общем случае для интегрируемых на⎛ n⎞f k ( x )⎟dx =∫a ⎜⎝ ∑k =1⎠c∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x )dx = 0 .bb∫ f ( x)dx ≤ ∫bb( )bf ( x) )dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx , т.е.ad7. Если функция f непрерывна на сегменте[aДоказательство. Так как для любых действительных чиселсвойству 2 имеем:db∫ f ( x)dx ≤ ∫Далее, так как[c, d ] ⊆ [a, b] имеем: ∫ f (x )dx = 0 .Доказательство.
В самом деле, требуемое соотношение следует из цепочки неравенствab[a, b] и ∫ f (x )dx = 0 , тоdДоказательство (от противного). Пусть функция f (x ) не равна тожде-чтоСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл56k∑ f (ξ )Δxk =1kkбудут неположительны и, следовательно, их предел приΔ T → 0 , равный интегралу I , не может быть положительной величиной.Полученное противоречие с условием I > 0 доказывает утверждение.Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем9.
Пусть функция57Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл58f ( x ) неотрицательна на сегменте [a, b] и интегрируе-∫ f (x )dx > 0 (a < b) необходиaмо и достаточно, чтобы множество нулей функции[ ]f ( x ) не было всюду[ ]точкаи, следова-cbтельно,b∫ad∫ f (x )dx > 0∫ f (x )dx > 0 .b2) Необходимость (от противного). ПустьДоказательство.∫f ( x )dx > 0 , и множествоf ( x ) всюду плотно на сегменте [a, b] . Тогда все нижниесуммы Дарбу функции f на этом сегменте равны нулю и, значит,нулей функцииПустьсначалана[a, b] . Так как2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функцииТеорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции f (x )и g (x ) интегрируемы на сегменте [ a , b] , и пусть функция g ( x ) ≥ 0x ∈ [ a, b] .Тогда,еслиbbbaaabbbaaa(3)bЕслиПри построении оценок значений определённых интегралов часто оказываются полезными следующие теоремы.M = sup f ( x) ,a ≤ x ≤bm = inf f ( x) , то существует число μ ∈ [ m, M ] такое, чтоa ≤ x ≤b∫ g ( x)dx = 0 ,то из последнего неравенства вытекает, чтоab∫ f ( x) g ( x)dx = 0 , и соотношение справедливо для любого действительноaго числаμ .
В противном случаеb∫ g ( x)dx > 0Множество называется всюду плотным, если в любой сколь угодно малой окрестности каждого его элемента содержится по крайней мере ещё один элемент этого множества.(функция g (x ) неотрица-aтельна на отрезке [ a , b] , значит, и интеграл от неё неотрицателен). Тогдаbможем поделить неравенство (3) на∫ g ( x)dx :a9g ( x) ≥ 0m ∫ g ( x)dx ≤ ∫ f ( x) g ( x)dx ≤ M ∫ g ( x)dx .2.2. Интегральные теоремы о среднемлюбогоaЗаметим, что в крайней левой и в крайней правой частях неравенстваконстанту можно вынести за знак интеграла:aдля(2)∫ mg ( x)dx ≤ ∫ f ( x) g ( x)dx ≤ ∫ Mg ( x)dx .f ( x )dx = 0 . Получили противоречие, что доказывает утверждение.(≤ 0)bf ( x) g ( x)dx = f (ξ ) ∫ g ( x)dx .m ≤ f ( x) ≤ M для любого x ∈ [ a, b] , то, умножив последнее неравенствона g (x ) , получим mg ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ Mg ( x ) ∀x ∈ [ a , b ] .
Посколькуa∫(1)произведение двух интегрируемых функций – интегрируемая функция, и знакнеравенства сохраняется при взятии интеграла (см. свойство 2 п. 2.1), тоabaξ ∈ [a, b] такая, что[ ]a ≤ c < d ≤ b , на котором f ( x ) > 0 . Но тогдаaЕсли, кроме того, функция f (x ) непрерывна на [ a , b] , то существуетплотным9 на a, b .Доказательство. 1) Достаточность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
