И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 15
Текст из файла (страница 15)
< x n = b[ ]сегмента a, b такое, чтобы точки ci ,i = 1,2,..., p , входили в число точекразбиения. Тогда, с одной стороны,n −1n −1∑ (F (x ) − F (x )) = ∑ F ′(ξ )Δxk =0где21k +1ξ k ∈ (x k , x k +1 ) .Функция1kk =01kn −1k= ∑ f (ξ k )Δx k ,k =0F (x ) не является первообразной для функции f (x )на[a, b] .(1)§3. Основные методы вычисления81(по теореме Лагранжа о конечных приращениях).
С другой стороны,n −1p∑ (F (x ) − F (x )) = ∑ (F (c ) − F (c )) =k =01k +11ki =0= F 1 (c1 ) − F1 (c0 ) + F 1 (c p +1 ) − F1 (c p ) +1k +11p −1∑ (F (ci =1i +1k− 0 ) − F (ci + 0 )) == F (b − 0) − F (a + 0) + F (c1 − 0) − F (c p +0) +p −1+ ∑ (F (ci +1 − 0 ) − F (ci + 0 )) = F (b − 0 ) − F (a + 0 ) +i =1+ F (c1 − 0 ) − F (c1 +0 ) + F (c 2 − 0 ) − F (c 2 + 0 ) ++ F (c 3 −0 ) − F (c3 + 0) + ...
+ F (c p −0) − F (c p + 0) =p= F (b − 0) − F (a + 0) − ∑ (F (ci + 0 ) − F (ci − 0 )) .(2)i =1Переходя к пределу, устремив диаметр разбиения Δ T к нулю, из (1) получаемn −1bk =0a∑ (F1 (xk +1 ) − F1 (xk )) = ∫ f (x )dx .Δ →0limTpai =1∫ f (x )dx = F (b − 0) − F (a + 0) − ∑ (F (c + 0) − F (c − 0)) .iСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл– добавление (с одновременным вычитанием) к подынтегральной функции константы или некоторого выражения; обычно за этим следуетразбиение интеграла в сумму более простых интегралов;– одновременное умножение или деление числителя и знаменателя дробипод знаком интеграла на некоторое выражение (например, при интегрировании функций с радикалами иногда полезен приём умножения насопряжённое выражение);– выделение полных квадратов (кубов);– использование формул сокращённого умножения;– выделение у подынтегральной дроби целой части;– выделение в числителе дроби производной от знаменателя;– использование алгебраических тождеств, тригонометрических и гиперболических формул и т.п.В частности, при интегрировании гиперболических функций используются известные тождества:1.
Основное гиперболическое тождество: ch x − sh x = 1 .2. Формулы одного аргумента:21 − th 2 x =2112(x ≠ 0) ., cth x − 1 =2ch xsh 2 x3. Формулы двойного аргумента:Сопоставляя полученный результат с (2), приходим к выводу, чтоb82iТеорема доказана.Замечание. Разность F (ci +1 + 0 ) − F (ci − 0 ) есть величина скачка значений функции F в точках разрыва.Итак, рассмотрим способы аналитического вычисления определённыхинтегралов, основанные на использовании формулы Ньютона–Лейбница.3.1. Интегрирование путём сведения к табличным(известным) интеграламс помощью различных преобразованийИногда интеграл удаётся вычислить, не прибегая к специальным методам,а просто сводя его к табличным с помощью различных преобразований подынтегрального выражения и используя свойства интегралов.
К преобразованиям такого рода относят, например, следующие:sh2 x = 2 ⋅ shx ⋅ chx , ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x .ch 2 x − 1ch2 x + 1, sh 2 x =,22(chx + shx )n = ch(nx ) + sh(nx ) , (chx − shx )n = ch(nx ) − sh(nx )(n ∈ N ) .x± y xm y5. Формулы сложения: shx ± shy = 2 shch,22x+ y x− yx+ y x− ychx + chy = 2chchsh, chx − chy = 2 sh.22224. Формулы понижения степени: ch 2 x =6. Формулы суммы и разности двух аргументов:sh x ± y = shx ⋅ chy ± shy ⋅ chx , ch x ± y = chx ⋅ chy ± shx ⋅ shy ,()th( x ± y ) =()thx ± thycthx ⋅ cthy ± 1(x ± y ≠ 0) ., cth( x ± y ) =1 ± thx ⋅ thycthy ± cthx7.
Формулы преобразования произведений синусов и косинусов в суммы:shx ⋅ chy =1(sh(x + y ) + sh(x − y )) ,2§3. Основные методы вычисления831(ch(x + y ) + ch(x − y )) ,21shx ⋅ shy = (ch( x + y ) − ch( x − y )) .21chx ⋅ chy =0Пример 1. Применяя формулу Ньютона–Лейбница, вычислить определённый интеграл83xx dx =44−118303))1− x21− x0) = (arcsin x +Пример 4. Вычислить интеграл∫12+1− x22∫1− x0)1xdx120=2π62∫=0+dx1− x2−3− 1.2x 4 + x −4 + 2dx .x3Решение. Заметим, что под знаком квадратного корня находится полныйквадрат. Это позволяет избавиться от радикала и тем самым существенно упростить вычисление интеграла:⎛ 2 1 ⎞⎜x + 2 ⎟x ⎠⎝dx =3xI=∫12∫x2 +x131x 2 dx =2⎛11 ⎞dx =5 ⎟⎠∫ ⎜⎝ x + x11() ()1⎞ 21⎛1⎞dx1 ⎛ 1 x −1=⎜−⎟⎟ = − ⎜ ln 3 + arctg ⎟ .lnarctgx∫0 x 4 − 1 2 ⎜⎝ 2 x + 12⎝2⎠⎠01(d 1− x21dx∫Пример 5.
Вычислить интегралТогда201− x2dx =22−12) (( )(∫11+ x1 ⎞3⎛= ⎜ ln x − 4 ⎟ = ln 2 + .164x ⎠ 1⎝11x2 +1 − x2 −11−.==224222 x −1 2 x +1x −1 2 x − 1 x + 1x3 + x 2 + 2x + 3dx .∫0x2 + 2Решение. Разделив многочлен в числителе навидеx 2 + 2 , представим его в1x3 + x 2 + 2x + 3= x +1+ 2.2x +2x +21⎛ x21x ⎞1 ⎞⎛⎟ =arctgТогда I = ∫ ⎜ x + 1 + 2⎟dx = ⎜⎜ + x +x + 2⎠22 ⎟⎠ 0⎝ 20⎝3 11= +arctg.222112∫01+ xdx .1− xРешение. Умножим и разделим подынтегральную дробь на выражение1+ x ≠ 0 :∫= 11 14 .Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на два, а затемдобавим (и вычтем) в числителе единицу.
В результате дробь раскладываетсяна сумму двух дробей:Пример 3. Вычислить интеграл222dxПример 2. Вычислить интеграл ∫ 4.x−1011228(−112Решение. Этот интеграл изначально является табличным (от степеннойфункции):∫1+ xdx =1− xx dx .−132∫Разнообразные задачи с использованием перечисленных выше преобразований рассмотрены в специальных пособиях по интегрированию, например,[16], а также пособиях более широкого профиля, освещающих, в том числе, иэтот раздел ([15,17–18]).Приведём несколько примеров.∫Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл84Пример 6. Вычислить интеграл∫ (2 x + 7 )0()′x 2 + x + 1dx .Решение.
Заметим, что x + x + 1 = 2 x + 1 , и преобразуем интеграл квиду:2§3. Основные методы вычисления1∫ ((2 x + 1) + 6)08586Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл⎛x − 5⎞x + 5⎞⎞⎛⎛⎜ π 2 d ⎜ sin⎟ π 2 d ⎜ cos⎟⎟1 ⎜2 ⎠⎟2 ⎠⎝⎝=− ∫=x−5x+5 ⎟cos 5 ⎜ π∫πcos6⎜ 6 sin⎟22⎝⎠1x 2 + x + 1dx = ∫ (2 x + 1) x 2 + x + 1dx +01+ ∫ 6 x 2 + x + 1dx =01π()1 ⎛x−5x+5 ⎞ 2=⎜⎜ ln sin− ln cos⎟ =cos 5 ⎝22 ⎟⎠ π211⎞3⎛= ∫ x 2 + x + 1d x 2 + x + 1 + 6 ∫ ⎜ x + ⎟ + dx =2⎠40 ⎝0⎛2= ⎜⎜⎝3⎛2= ⎜⎜⎝3(x2613⎞⎞⎛ x 131+ x + 1 + 6⎜⎜ ( + ) x 2 + x + 1 + ln x + + x 2 + x + 1 ⎟⎟ ⎟⎟ =82⎠⎠ 0⎝ 2 4)1⎞⎞⎛131x + x + 1 + 3⎜⎜ ( x + ) x 2 + x + 1 + ln x + + x 2 + x + 1 ⎟⎟ ⎟⎟ =242⎠⎠ 0⎝3113 9=3 − + ln 1 + 2 3 .26 4(2)3(πПример 7.
Вычислить интеграл2⎛ x −5 x + 5⎞cos⎜−⎟2dx122⎝⎠ dx =Решение. Имеем ∫=∫x−5x+5π sin x − sin 5 2 cos 5 πcos66 sin22x−5x+5x−5x+5π+ sincossin2 cos12222 dx ==x−5x+52 cos 5 π∫sincos622x−5x+5 ⎞π ⎛sin⎟2⎜ cos12 +2 ⎟dx =⎜=x−5x+5⎟2 cos 5 π∫ ⎜cos⎟6⎜ sin22 ⎠⎝2=dx.∫π sin x − sin 52sin)6πx−512=lnx+5cos 5cos2π=πsin1(lncos 5cosπ 2−52π 2+51lncos 5sinπ 2−5− lncos26⋅ cossinπ 6−52π 6+5)=2π 6+522.π 2+5π 6−5cos⋅ sin22100π∫Пример 8.
Вычислить интеграл1 − cos 2 x dx .0100ππРешение.∫100π1 − cos 2 x dx =0∫k =02 sin x dx = 2099 π ( k +1)= 2∑100π2∫ sin x dx =0ππ∫ sin x dx = 100 2 ∫ sin x dx = 100 2 ∫ sin xdx =πk00= 100 2 (− cos x ) 0 = 200 2 .ππ2Пример 9. Вычислить интеграл∫ sin x sin 2 x sin 3xdx .0Решение.
Преобразуем подынтегральную функцию по тригонометрическим формулам:⎛1⎞sin x(sin 2 x sin 3 x ) = sin x⎜ (cos x − cos 5 x )⎟ =⎝2⎠§3. Основные методы вычисления87sin 2 x 11− (sin 6 x − sin 4 x ) = (sin 2 x − sin 6 x + sin 4 x ) .444=πТогда⎞1 ⎛ e 4 ln 2 − e −4 ln 2e 2 ln 2 − e −2 ln 2= ⎜⎜−2+ 3 ln 2 ⎟⎟ =8⎝82⎠1⎞ 3 ln 2 2251 ⎛ 16 − 161.= ⎜⎜− 4 + + 3 ln 2 ⎟⎟ =−8⎜8481024⎟⎠⎝3dxПример 12. Вычислить интеграл ∫ 2.21 sh x ⋅ ch xπ2∫ sin x sin 2 x sin 3xdx =01 ⎛ cos 2 x cos 6 x cos 4 x ⎞ 2 1+−⎜−⎟ = .4⎝264 ⎠0 62Пример 10.
Вычислить интеграл∫ shx ⋅ sh2 x ⋅ sh3xdx .0Решение. Последовательно применяя формулы преобразования произведения гиперболических функций в суммы1(ch(α + β ) − ch(α − β )) ,21shα ⋅ chβ = (sh(α + β ) + sh(α − β )) ,2shα ⋅ shβ =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл88Решение. Пользуясь основным гиперболическим тождеством ch x −2− sh 2 x = 1 , представим единицу в числителе дроби как гиперболическуюединицу:333dxch 2 x − sh 2 x=∫1 sh 2 x ⋅ ch 2 x ∫1 sh 2 x ⋅ ch 2 x dx =получаем3dxdx∫1 sh 2 x dx − ∫1 ch 2 x dx == (− cthx − thx ) 1 = − cth3 − th3 + cth1 + th1 .3212∫ shx ⋅ sh2 x ⋅ sh3xdx = 2 ∫ sh2 x ⋅ (ch4 x − ch2 x )dx =0Пример 13. Вычислить интеграл от разрывной функции:0n +1∫ ln[x]dx , где n ∈ N , [x] – целая часть числа x .21= ∫ (sh6 x − sh 2 x − sh 4 x )dx =4012ch12 ch8 ch4 7⎛ ch6 x ch4 x ch2 x ⎞−−−.=⎜−−⎟ =168 ⎠02416848⎝ 24ln 2Пример 11. Вычислить интеграл∫ sh4xdx .Решение.
Преобразуем подынтегральную функцию с помощью формулпонижения степени для гиперболических функций:ch2 x − 1ch4 x + 12, ch 2 x =.sh x =221 ⎛ ch4 x + 1⎞ 14− 2ch2 x + 1⎟ = (ch4 x − 4ch2 x + 3) . ИнтегТогда sh x = ⎜4⎝2⎠ 82рируя, получаемln 2[ков k , k + 1) , где kn +10ln 21 ⎛ sh4 x⎞4∫0 sh xdx = 8 ⎜⎝ 4 − 2sh2 x + 3x ⎟⎠ =0[]Решение. Известно, что функция y = x терпит разрывы 1-го рода в техточках, где её аргумент принимает целочисленные значения.
Найдём точкиразрыва подынтегральной функции: x k = 2,3,...n . На каждом из промежут-= 1,2,..., n , имеем ln[x ] = ln k , поэтомуn k +1∫ ln[x]dx = ∑ ∫ ln xdx =1k =1 knk +1k =1k∑ ln k ∫ dx =1Пример 14. Вычислить интегралd ⎛∫ dx ⎜⎜n∑ ln k = ln(1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n ) = ln(n!) .k =111⎞⎟dx .⎟⎠⎝1+ 2 x1Решение. Заметим, что функция F ( x ) =не является первообраз11+ 2 xной для подынтегральной функции на сегменте [− 1,1] , поскольку F ( x ) разрывна в точке x = 0 ( lim F ( x ) = 1 , lim F ( x ) = 0 ).
Поэтому вычисление−1x → −0x → +0данного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница с использованием этой§3. Основные методы вычисления89функции в качестве первообразной было бы неправомерным и привело бы кневерному результату. Однако, используя функцию F ( x ) , можно найти пер-[]⎧ F (x ),вообразную на всём сегменте − 1,1 .
Для этого рассмотрим функцию⎪F ( x ) = ⎨1,⎪ F (x ) + 1,⎩∫ g (t )dt = G(t (b)) − G(t (a)) .С другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функции,[− 1,1] ,причёмет с подынтегральной функцией. Поэтому, по определению, данная функцияявляется первообразной (в обобщённом смысле) для подынтегральной функции на сегменте − 1,1 .
Теперь по формуле Ньютона–Лейбница получаемd ⎛∫ dx ⎜⎜−1]1⎝1+ 21xg (t ) непрерывна на этом сегменте). Тогдаt (a )x = 0;0 < x ≤ 1.⎞⎟dx = F (1) − F (− 1) =⎟⎠]t (b )F ′( x ) = F ′( x ) для любого x ∈ (− 1,0 ) U (0,1) , т.е. её производная совпада-[[функции g (t ) на сегменте c, d (она существует в силу того, что функция− 1 ≤ x < 0;В отличие от F ( x ) , она уже является непрерывной на1Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл90(G (t ( x)))′ = g (t ( x )) ⋅ t ′(x ) для любого x ∈ [a, b] . Значит, функция G (t ( x ))является первообразной для g (t ( x )) ⋅ t ′( x ) на [a, b] , и по формуле Ньютона–bЛейбница получаем∫ g (t (x ))t ′(x )dx = G(t (b)) − G(t (a)) .aТеорема доказана.Замечание 1.
К новой переменной интегрирования t переходят в тех слу-чаях, когда получаемая в результате новая подынтегральная функция g (t )удобнее для интегрирования по сравнению с исходной подынтегральнойфункцией f ( x ) . Основная сложность этого метода состоит в том, чтобы12⎛1 ⎞= .⎜ + 1⎟ −⎝ 3 ⎠ 1 + 0,5 3«увидеть» в исходном подынтегральном выражении f ( x )dx более простоедля интегрирования выражение g (t ( x ))t ′( x )dx = g (t )dt . Практически реали-3.2. Интегрирование путём замены переменнойИзложим один из сильнейших приёмов для интегрирования функций –метод замены переменной, или метод подстановки, в применении к определённым интегралам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
