И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найдём C : так§3. Основные методы вычислениякакI (b )b=aприобращаетсявнуль,107тоотсюдаln (a + 1) + C = 0 , т.е. C = − ln(a + 1) . Окончательно, I (b ) = lnполучаемb +1.a +1Отметим также, что существует довольно широкий класс несобственныхинтегралов, вычисляемых путём сведения их к эйлеровым интегралам (гаммаи бета-функциям).
Этот способ вычисления изучается после ознакомления(как правило, позже – на 2-м курсе обучения) со свойствами эйлеровых интегралов.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл108x3 : 0 = C ,x2 : 0 = −A + D + C ,x1 : 0 = D − 2 B + C ,x0 : 1 = A − B + D ,21находим A = D = , B = , C = 0 . Подставляя эти коэффициенты в33формулу Остроградского, получаем∫x3.5. Интегрирование специальных классов функцийВ теме «Неопределённый интеграл», которую в высшей школе обычноизучают перед тем, как приступить к определённым интегралам, рассматриваются способы интегрирования дробно-рациональных, иррациональных,тригонометрических, гиперболических, показательных, логарифмических инекоторых других классов функций.
Формула Ньютона–Лейбница позволяетвоспользоваться знанием первообразной для вычисления аналогичного определённого интеграла. Поэтому в данной книге мы не останавливаемся на соответствующих методах вычисления определённых интегралов от указанныхклассов функций.Ограничимся примером, демонстрирующим вычисление интеграла отдробно-рациональной функции при помощи метода Остроградского.1Пример 1. Вычислить интеграл∫x04dx.+ 2 x + 3x 2 + 2 x + 13Решение. Отметим, что на промежутке интегрирования подынтегральнаяфункция не имеет особенностей, и вычислим вначале соответствующий неопределённый интеграл.
Поскольку(4dx2x + 12dx=+ ∫ 2=22+ 2 x + 3 x + 2 x + 1 3( x + x + 1) 3 x + x + 142x + 12x + 1arctg+C .=+23( x + x + 1) 3 333Таким образом, приходим к окончательному результату:12πdx⎛ 2x + 142x + 1⎞∫0 x 4 + 2 x 3 + 3x 2 + 2 x + 1 = ⎜⎜⎝ 3(x 2 + x + 1) + 3 3 arctg 3 ⎟⎟⎠ = 9 3 .01Ниже рассматриваются особенности интегрирования периодическихфункций, функций, имеющих на промежутке интегрирования ось или центрсимметрии, а также взаимно обратных функций.3.5.1.
Интегрирование периодических функцийТеорема 1. Пусть периодическая с периодом T функция f ( x ) интегрируема на каждом конечном сегменте. Тогда для любых a, b ∈ R верно равенство)322то разложение по формуле Остроградского ищем в виде∫x4dxAx + BCx + D= 2+∫ 2dx .2+ 2 x + 3x + 2 x + 1 x + x + 1x + x +1D . А именно, дифференцируя последнее равенство и приводя дроби к общему знаменателю, в результате приравнивания числителей получаем тождество()()1 ≡ A x 2 + x + 1 − ( Ax + B )(2 x + 1) + x 2 + x + 1 (Cx + D ) ,Решая систему уравненийb +Taa +TДоказательство.b∫3Далее методом неопределённых коэффициентов ищутся значения A, B, C иb∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx .2x + 2 x + 3x + 2 x + 1 = x + x + 1 ,4abf ( x )dx = ∫ f ( x + T )dx =ab∫f ( x + T )d ( x + T ) =b +T∫ f (x )dx .a +Taf ( x) является периодической спериодом T ≠ 0 .
Тогда для любого действительного a справедливо равенТеорема 2. Пусть непрерывная функцияствоa +T∫aTf ( x)dx = ∫ f ( x)dx0§3. Основные методы вычисления109(интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которогоравна периоду, всегда принимает одно и то же значение).a +T∫Φ (a ) =Доказательство. ОбозначимaTf ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Тогда0Φ ′(a ) = f (a + T ) − f (a) ≡ 0 , значит, Φ (a ) = const .
ОднакоTT00Φ (0) = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = 0 .a +TОтсюда следует, что Φ (a ) ≡ 0 , т.е.∫aTf ( x)dx = ∫ f ( x)dx для любого a .0Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл1103.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр)симметрии в середине промежутка интегрирования[метричном относительно x = 0 , то⎧ a⎪2 ⋅ ∫ f ( x )dx,∫−a f (x )dx = ⎨ 0⎪0,⎩aT∫ f (t )dt = 0 .0Доказательство. 1) Необходимость.
Рассмотрим произвольную первооб-0риодом T следует, что F (T ) =∫ f (t )dt + C = F (0) = C , откуда0T∫ f (t )dt = 0 .a0a−a−a0сделаем в первом из получившихся интегралов замену t = − x , и учтём послеэтого чётность подынтегральной функции:0∫f ( x )dx +−a2) Достаточность. Если∫0T +x0TF ( x ) = ∫ f (t + T )dt + C =T= ∫ f (τ )dτ +0T +x∫T∫ f (τ )dτ + C =f (τ )dτ + C = F ( x + T ) .0∫f (− t )d (− t ) +a= ∫ f (t )dt +0a∫ f (x )dx =0aa00∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx .б) Случай, когда f ( x ) – нечётная функция, рассматривается аналогично.[ ]Следствие. 1) Если функция f ( x ) непрерывна на сегменте a, b , и еёграфик имеет на этом сегменте ось симметрии x =b∫f (t )dt = 0 , то имеемx∫f ( x )dx =a0Ta0f : F ( x ) = ∫ f (t )dt + C . Из периодичности F с пеTf ( x ) − нечетная функция.если∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx ,xразную для функцииf ( x ) − четная функция;еслиДоказательство.
а) Пусть f ( x ) – чётная функция. Воспользуемся свойством аддитивности определённого интегралаТеорема 3. Пусть непрерывная на всей числовой прямой функция f является периодической с периодом T . Тогда первообразная F функции f является периодической (с тем же периодом) тогда и только тогда, когда]Теорема 1. Если функция f ( x ) непрерывна на сегменте − a, a , сим-f ( x )dx = 2aa+b, то2b∫ f (x )dx .a +b2[ ]2) Если функция f ( x ) непрерывна на сегменте a, b , и её график имеет⎛a+b ⎞;0 ⎟ , то⎝ 2⎠на этом сегменте центр симметрии в точке ⎜b∫ f (x )dx = 0 .aПример 2. Вычислить интеграл∫ (x2−23− 3 arcsin 51 x + 7 x 4 arctg( x ))dx .5§3. Основные методы вычисления111Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл112Решение. Интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция нечётная (как сумма нечётных функций), а промежуток интегрирования симметричен относительно точки x = 0 .= bf (b ) − af (a ) −3∫ arctg (cos x )dx .Пример 4. Вычислить интеграл0Решение. Заметим, что график подынтегральной функции arctg (cos x )центрально симметричен относительно точки[(π2 ;0 ) , абсцисса которой] []3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функцийТеорема. Пусть функция f дифференцируема и обратима на сегменте[a, b] ,g – обратная для f функция, определённая на f ([a, b]) .
ТогдафункцияF ( x ) = xf ( x ) −f (x)∫( g) ( y )dyxпеременную x через y , найдём её обрат1+ xsin 2 yную функцию: g ( y ) =. По теореме, доказанной выше, имеем1 − sin 2 yиз равенства y = arcsinπ333sin 2 yx3arcsin0arcsin0=⋅−⋅−dxarcsin∫0∫0 1 − sin 2 y dy =21+ x=π +[ ]F ′( x ) = f (x ) + xf ′( x ) − g ( f ( x )) f ′( x ) = f ( x ) .[ ]f ([a, b]) посредст-Следствие. Интеграл от обратимой функции f по сегменту a, b связанbf (b )af aДоказательство этого факта немедленно получается, если к функцииприменить формулу Ньютона–Лейбница:∫af (b )⎛f ( x )dx = F (b ) − F (a ) = bf (b ) − ∫ g ( y )dy − ⎜ af (a ) −⎜f (a )⎝3∫0(1 − sin y ) − 1 dy =21 − sin 2 yπ3π⎛1 ⎞4π⎟⎟dy = π + ( y − tgy ) 0 3 == π + ∫ ⎜⎜1 −− 3.23ycos⎝⎠0Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к § 3Задачи на вычисление определённых интеграловбез использования замены переменной и интегрирования по частям∫ f (x )dx = bf (b ) − af (a ) − ∫( g) ( y )dy .b[ ]неотрицательна, дифференцируема и возрастает на сегменте 0,3 .
Выражаяf aс интегралом от обратной к ней функции g по сегментувом равенства:x1= arcsin 1 −1+ x1+ xy = arcsinπявляется первообразной для функции f на a, b .Доказательство. Действительно, пользуясь определением первообразнойи свойством g ( f ( x )) ≡ x , получаемxdx .1+ xРешение. Подынтегральная функция]этой функции по сегментам 0, π 2 и π 2 , π равны по модулю и противоположны по знаку, а значит, в сумме равны нулю. Итак, искомый интегралравен нулю.∫ arcsin0является серединой сегмента интегрирования 0, π .
Поэтому интегралы от[∫( g) ( y )dy .f aπПример 3. Вычислить интегралf (b )f (a )⎞⎟=()gydy∫f (a )⎟⎠f1. Используя геометрический смысл определённого интеграла как площади криволинейной трапеции и изобразив эскизы графиков подынтегральныхфункций, вычислите:21⎤⎡а) ∫ ⎢ x + ⎥dx ; б)2⎦0 ⎣32∫01⎫⎧⎨ x − ⎬ − 1dx ; в)2⎭⎩3∫−1x − 1 − 1dx ;§3. Основные методы вычисления2π1г)∫1 − x 2 dx ; д)0∫113Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл11462πx − x 2 dx .в)002. Вычислите интегралы⎧x 2 , x < 0; б)а) ∫ f ( x )dx , где f ( x ) = ⎨⎩ x, x ≥ 0−11∫ f (x )dx , где f (x ) =xа)−2двумя способами: 1) вначале используя свойство аддитивности интеграла;2) сразу с помощью формулы Ньютона–Лейбница.3.
Найдите интегралы:⎧ x 2 , если 0 ≤ x ≤ 1;(),если()fxfxdx=⎨∫0⎩2 − x, если 1 ≤ x ≤ 2;⎧ x, если 0 ≤ x ≤ t ;1⎪б) ∫ f ( x )dx , если f ( x ) = ⎨ 1 − x0⎪⎩t 1 − t , если t ≤ x ≤ 1.2π14. Найдите ошибку в рассуждениях при вычислении следующих интегралов:а)∫ (x − 1)0⎛ 1 + cos 2 x ⎞⎟ dx =2⎠0∫ ⎜⎝231в)1=−= −2 ;x −1 012πб)22113π∫00[0π04 13sh 2∫sh1dx1+ x2.[ ]9. Пусть дифференцируемая на сегменте 0,3 функция y = f ( x ) в точках x = 1 и x = 3 имеет локальные минимумы y min = 2 и y min = 0 соответственно, а в точках x = 0 и x = 2 – локальный максимум y max = 4 .3Вычислите∫ f ′(x ) dx .10.
Найдите ошибки в рассуждениях:2πа)dx∫ (2 + tg x )cos202π∫ [e ]dx .0t < l;t > l;1б)dx∫ 1+x23б)∫ sgn (x − x )dx ;30x. Применяя подстановку t = tgx , получаем)d (tgx )dt∫0 2 + tg 2 x = ∫0 2 +t 2 = 0 .2π. Применяя подстановку x =−116. Вычислите интегралы от ограниченных разрывных функций:⎧⎪1,f (t )dt , где f (t ) = ⎨⎪⎩0,02dx=22 + tg x cos 2 x∫(−1x0]– множество тех значений сегмента 0,4π , для которых подынтегральноевыражение имеет смысл.8. Вычислите интеграл= 0.2∫sin x dx , где EEЗамена переменной при вычислении интеграловπ5. Вычислите определённый интеграл от ограниченной разрывной функции, разбивая промежуток интегрирования на части так, чтобы на каждой изних однозначно раскрывалась целая часть (используя свойство аддитивности):а)dx .0cos 2 x dx = ∫ cos xdx = sin x 0 = 0 ;44∫−1 3 x dx = 3 −∫1 x dx = xx6∫ x sgn (cos x )dx ; б) ∫ sgn (sin (ln x ))dx ; в) ∫ cos xа)dxπx7.
Вычислите интегралы от ограниченных разрывных функций:12∫ [x]sin01, имеемt11dxdtdt∫−11 + x 2 = − −∫1 t 2 1 + 1 t 2 = − −∫11 +t 2 =( ( ))= −(arctg1 − arctg (− 1)) = −π2< 0.§3. Основные методы вычисления1∫в)⎛d ⎜1⎜⎝−11⎛⎞⎞⎜1 + 2 x ⎟ ⎟⎜⎟⎟⎝⎠⎠dx =dx115Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл116f ( x ) непрерывна на сегментеf (a + b − x ) = f ( x ) для любых x ∈ [a, b] . Докажите, что17. Пусть функция111+ 21x11.
Можно ли вычислить интеграл1= − <0.3b∫18. Докажите равенство1∫0 x f (x )dx = 2 ∫0 xf (x )dx (a > 0) .3менной x = sin t , взяв в качестве новых нижнего и верхнего пределов интегрирования числа t1 ,t 2 : а) π и π 2 ; б) 2π и 5π 2 ; в) π и 5π 2 ? Вычислите интеграл в каждом случае, когда указанная замена допустима.12.
Применимы ли указанные подстановки в следующих интегралах (вкаждом случае приведите обоснование, почему):2π3∫31 − x 2 dx , x = sin t или x = cos t ; б)07∫ (x2)dxг) ∫, t = tgx ;21+sinx010b21. Вычислите интегралы:1(2∫x 2−xа)2πвыполнитезамену)12(x + 1) (x − 1)f ′( x )dx∫−11 + f 2 (x ) , если f (x ) = x 3 (x − 2) .15. Докажите, что для любой функции f ( x ) , непрерывной на сегменте[a, b] , справедливо23f (x )dx =b∫ f (a + b − x )dx .∫a−2dxx2 −1;∫x⋅ 1 + 3 x 8 dx .15af (x )dx = (b − a )∫ f (a + (b − a )x )dx .00 , 75а)ln 2dx∫ (x + 1)0x2 +1; б)1∫e − 1dx ; в)x0г)∫ (1 − x ) dx (n ∈ N ) ;2 n01∫ ( x − 2)−11[ ]122. Применяя подходящую замену переменной, вычислите интегралы:dx2x 2 − 10 x + 13.23. Вычислите интегралы:16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
