И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Докажите, что если функция f ( x ) непрерывна на сегменте a, b , тоb1∫x014. Найдите интеграл I =a−11г)0∫9dx ; б) ∫ x ⋅ 3 1 − x dx ; в)переменнойt = sin x .b[A, B ] ⊃ [a, b] .df ( x + y )dy при A − a < x < B − b .dx ∫a0∫ f (x )cos xdxm20. Пусть f ( x ) – непрерывная функция на сегментеНайдите2интегралеn0− 6 x + 13 dx , t = x − 6 x + 13 ?В1mn∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx , n, m ∈ R+ .013.219.
Докажите равенство:πxdxв) ∫, t = tg ;12 − 5 cos x2−πд)xdx∫ 12 − 5 cos x , t = tg 2 ;0πa2a0а)ba1 − x 2 dx с помощью замены пере-причёмa+bf ( x )dx .2 ∫a∫ xf (x )dx =−11[a, b] ,а)dx; б)xe +1 x2 +1∫(−1)()124. Вычислите интеграл∫x−122πdx∫0 3 + cos x ; в)1∫ x+0dxx2 + x +1dx(0 < α < π ) .− 2 x cos α + 1.§3. Основные методы вычисления25. Найдите положительную дифференцируемую на117[0,+∞ )f ( x ) , если известно, что при замене независимой переменнойфункциюСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл118[ ]33.
Пусть f ( x ) > 0 , f ′( x ) < 0 на сегменте 0,1 . Докажите, что1∫ xf (x )dx ≤ 2 ∫ f (x )dx .xξ = ∫ f (t )dt0она переходит в функцию e1.а) limn → +∞2π2∫ sin (x )dx > 0 .26. Докажите, что027. Докажите, используя замену переменной интегрирования, что еслифункция f ( x ) непрерывна на сегменте − a, a , симметричном относитель-[]но x = 0 , тоf ( x ) − нечетная функция.если2а)111+ x21+ x2иб)dx∫1 1 + x 4∫−11 + x 4 dx , полагая t = x − x .a∫00(xdx2+ a2)3; б)2∫0(adx2− x2aа) lim)3; в)2∫a2n → +∞∫n → +∞ab∫ f (x )sin∫ x (ln x )m∫ ln x dx .1eа)∫eexcos 2 xdx ; б)∫ (x ln x ) dx .2101xe x dx2132. Докажите неравенство ≤ ∫.≤25 0 25 − x + x3 11n∫ sin37.
Вычислите интеграл0∫ f (x )sin (n x )dx (a > 0) ;aa(2n +1)x cos2dx (m, n ∈ N ) .2mx cos 2 n xdx(n, m ∈ N )с помощью0формулы понижения по одному из параметров.38. Вычислите интегралы:πn −1n −1∫ sin x cos((n + 1)x )dx ; б) ∫ cos x sin ((n + 1)x )dx (n ∈ N ) .00π 2∫ cos 2nx ln cos xdx (n ∈ N ) .39. Вычислите интеграл31. Интегрируя по частям, вычислите интегралы:πnbπ 2π30. Применяя формулу интегрирования по частям, найдите∫ cos(x )dx .0а)eπxdx .n → +∞2n2na36. Выведите формулу понижения по параметру n , и с её помощью выв) lim1Интегрирование по частямn → +∞1f ( x )sin (nx )dx ; б) limчислите интеграл I n =a+xdx (a > 0 ) .a−x( )n∫ cos x dx ; в) lim[ ]29.
Вычислите с помощью тригонометрических подстановок интегралы:a2n → +∞πМожно ли при вычислении данных пределов использовать 1-ю теорему осреднем?35. Пусть f – непрерывно дифференцируемая на сегменте a, b функция. Вычислите пределы последовательностей:f ( x ) − четная функция;если28. Вычислите интегралы:а)( )n∫ cos x dx ; б) limb⎧ aa⎪2 ⋅ ∫ f ( x )dx,∫−a f (x )dx = ⎨ 0⎪0,⎩034. Вычислите пределы последовательностей:0−ξ110Интегрирование периодических функций40. Докажите, что если периодическая с периодом T функция f интегрируема на каждом конечном сегменте, то для любыхbb +Taa +T∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx .a, b ∈ R§3.
Основные методы вычисления11941. Пусть непрерывная на всей числовой прямой функция f являетсяпериодической с периодом T . Докажите, что первообразная F функцииявляется периодической (с тем же периодом) тогда и только тогда, когдаT∫ff (t )dt = 0 .0f (x) – непрерывная периодическая функция, определённая при − ∞ < x < +∞ и имеющая период T ≠ 0 , то42. Докажите, что еслиa +T∫aСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл120⎧ a⎪2 ⋅ ∫ f ( x )dx,∫−a f (x )dx = ⎨ 0⎪0,⎩aπ2f ( x)dx = ∫ f ( x)dxа)любого x выполняется равенство∫ (x∫ f (t )dt ≡ 0 , то f (x ) периодична. Найxдите период этой функции.44. Пусть непрерывная на всей числовой прямой функция f являетсяпериодической с периодом T . Докажите, что функция F ( x ) =яв-T и линейной функцииTAx , где A = ∫ f (t )dt .T051.
О непрерывной функции[− T∫0π2∫ f (cos x )dx .0Интегрирование функций, имеющих оси и центры симметрий47. Докажите, используя геометрический смысл интеграла, что еслифункция f ( x ) непрерывна на сегменте − a, a , симметричном относитель-[но x = 0 , тоπ6f ( x ) известно, что она нечётная на сегменте]x∫ f (t )dtесть такжепериодическая функция с тем же периодом.Интегрирование взаимно обратных функций52.
Докажите, что если функция f дифференцируема и обратима на сег-g – обратная для f функция, определённая на f ([a, b]) , тоF ( x ) = xf ( x ) −f ∈ C [0,1] функция, то верно соотношениеf (sin x )dx =− 2003 x 545 + 2000 x )tg 2 xdx .2 , T 2] и имеет период, равный T . Докажите, чтоdx∫0 sin 4 x + cos 4 x .π2007∫ sin (sin x + nx )dx = 0 (n ∈ N ) .0[ ]46. Докажите, что если2−50. Докажите, чтоменте a, b ,функция2π45.
Найдите интеграл60x∫ f (t )dt− 3x )dx ; б) ∫ (x2π0ляется суммой периодической функции с периодом3−20для любого действительного a .x +1f ( x ) − нечетная функция.если48. Докажите, что одна из первообразных чётной непрерывной функцииесть функция нечётная, а всякая первообразная нечётной непрерывной функции есть функция чётная.49.
Вычислите определённые интегралы:T43. Докажите, что если для непрерывной на (− ∞,+∞ ) функции f ( x ) дляf ( x ) − четная функция;еслиf (x)∫ g ( y )dyf (a )[ ]является первообразной для функции f на a, b .Используя полученный результат, докажите справедливость равенстваbf (b )af a∫ f (x )dx = bf (b ) − af (a ) − ∫( g) ( y )dy .(1)153. Вычислите интеграл∫ arctgxdx двумя способами: 1) используя фор0мулу интегрирования по частям; 2) сведением к соответствующему опреде-§3. Основные методы вычисления121лённому интегралу от функции, являющейся обратной к подынтегральной (поформуле (1) из предыдущей задачи).54.
Следующие интегралы вычислите двумя способами:1) используя результат задачи 52;2) пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла:а)1e20e∫ arcsin xdx ; b) ∫ ln xdx ;1c)dx∫1+x0(∫)000ln 22 ln 2∫sh( x 2 )dx ; е)ch 3 ( x 2 )athx∫chx − 1dx ; г) ∫ shx sin xdx ;03 ln 2∫ sh (x 3)ch (x 3)dx .32059.
Докажите равенства:4 − sh 2 x; б)ln 2ln 3002∫ th xdx ; в)а)∫ xchxdx .(chx + shx )n∫ (chx + shx )10б) −561. Вычислите интегралы: а)∫ (chx − shx )57. Используя соотношения sh x =n(e0x−e2n10)−x n2dx .и ch x =n100x +1 +(x + 1)362. Решите уравнение: а)(ex+e2n11535ch3 x + chx , sh 5 x = sh5 x − sh3x + shx ,1641648и с их помощью вычислите интегралы: а)∫; г)353∫ ch xdx ; б) ∫ sh xdx .),∫0∫t2−x n(x − 2)2∫ 3 + (x − 2)ln 5dxxдокажите формулы понижения степени1ln 2333в)1x +1∫3 (x − 1)x(x − 2) dx ; б)2900 ,1 ln 20t 14 dtx 3 x 5 x 7 x 9 x11 x 13−+−+= arctgx .+−+x∫0 t 2 + 1579 11 13360. Вычислите интегралы: а)2n− (chx − shx )),2dx ; б)t 6 dtx2 x3 x4 x5 x6−+−= ln (1 + x ) , x ∈ (− 1,+∞ ) .+−+x∫0 t + 134562xи с их помощью вычислить интегралы:ch 3 x =ln 34∫ sh xdx ; в)Разные задачи(chx + shx )n = ch(nx ) + sh(nx ) , (chx − shx )n = ch(nx ) − sh(nx )(n ∈ N ) (их следствиями будут формулыnn(chx + shx ) + (chx − shx ),ch(nx ) =а)ln 22∫ x chxdx ; б)056.
Доказать формулы понижения степени0 ,1 ln 21xchxdxsh(nx ) =а).55. Вычислите интегралы:ln 1+ 258. Вычислите интегралы:д)Интегрирование гиперболических функцийа)Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл122t −12=π12202 22dx ; б)x; б)∫83ex ex −1dx ; д)ex + 3dtdx∫ ( x + 2 ) ( x − 3)∫ln 2dxx(x2−21)5∫ (arcsin x ) dx .40dte −1t=π6.;2.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл124§ 4.+ ∞ , то говорят, что интеграл расходится к + ∞ . Бесконечно удалённаяточка x = +∞ (правый конец промежутка интегрирования) называется вэтом случае особой точкой (особенностью 1-го рода).По определению будем считать, что если функция f x интегрируема наНЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫпромежутке( )[a,+∞) , то+∞a∫+∞f (x )dx = − ∫ f ( x )dx .aАналогично определяется и интеграл от функцииВыше в §1 было рассмотрено понятие определённого интеграла Римана,или собственного интеграла. При этом предполагалось, что промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция является ограниченной.Данный параграф посвящён обобщению этого понятия на те случаи, когдалибо промежуток интегрирования бесконечен, либо подынтегральная функция является неограниченной.4.1.
Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го родаи связь между ними.Сходимость (расходимость) интегралапромежутку(− ∞, a][ A′, a ] для любого A′ < a ):a∫[ )венном смысле в любой конечной его части [a, A] (∀A > a ) .Интеграл от функцииопределяется какназывают несобственным интегралом 1-го рода от функциимежутку[a,+∞) и обозначают символом+∞∫ f (x )dx =a+∞∫−∞A → +∞f ( x ) по про-lim∫ f (x )dx .∫(1)( )(в несобственном смысле). Если же предел (1) бесконечен или несуществует, то про интеграл говорят, что он расходится (соответственно,функция f x – неинтегрируема). В частности, если этот предел равен( )f ( x)dx +−∞lim∫ f (x )dx∫(3)A→ +∞A′→ −∞ A′A → +∞ и A′ → −∞ .
В этом случае приaf ( x)dx = limA′→ −∞a∫A′Af ( x)dx + limA→ +∞∫ f ( x)dx ,a+∞причём интеграл∫ f ( x)dxсходится в том и только в том случае, когда схо-−∞дится каждый из интегралов в правой части.Замечание. Для обозначения факта сходимости несобственного интеграла(1) от неотрицательной функции f x в некоторых пособиях используютусловный символ+∞∫ f (x )dx < +∞aВ случае, когда этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, афункцию f x называют интегрируемой в бесконечном промежутке[a,+∞)A+∞af ( x)dx =(2)( )AA→ +∞∫ f (x )dx ( A′ < a ) ,A′f ( x ) по бесконечному промежутку (− ∞,+∞ )при независимом стремлениилюбом a имеемAaaA′→ −∞−∞−∞( )∫ f (x )dx (конечный или бесконечный) приf (x )dx = lim∫ f (x )dx =Начнём с рассмотрения интеграла по бесконечному промежутку.
Пустьфункция f x определена на промежутке a,+∞ и интегрируема в собст-Предел интегралаf ( x ) интегрируема на сегменте(если функция+∞4.1.1. Несобственный интеграл 1-го родаf ( x ) по бесконечномуa(так же как и для обозначения сходимости интеграла от неположительной+∞функции – символ∫ f (x )dx > −∞ ).a§4. Несобственные интегралы125Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл126Рассмотрим несколько примеров.+∞Пример 1. Пользуясь определением, выяснить, сходится ли несобственный интеграл (если сходится, то найти его значение):+∞а)+∞dxdx∫ x (a > 0) ; б) ∫ 1 + xpa002; в)+∞dx∫1+ x2; г)−∞−∞2; д)∫ cos xdx .сходится (и равен0+∞г)0dxdx∫−∞1 + x 2 = −∫∞1 + x 2 ++∞∫ cos xdx =д)A01− pзначению1− paA= +∞ , а значит, интеграл). При p < 1 имеем limA→+∞p −11− pрасходится.a 1− p, а при p ≤ 1 – расхоИтак, при p > 1 интеграл сходится к числуp −1дится (к + ∞ ).1интегрируема по Риману в любом конечном сегментеб) Функция1+ x2A()[0, A] A > 0 , причём ∫ dx 2 = arctgx 0A = arctgA .
Так как для этого0 1+ xинтеграла приA → +∞ существует конечный предел, равный π 2 , то ин-2=π .0Alim ∫ cos xdx = lim sin x 0 = lim sin A . ПосколькуA→ +∞AA→ +∞0Рассмотрим теперь функциюA→ +∞[ ]f ( x ) , определённую в конечном промежут-ке a, b (за исключением, быть может, концов этого сегмента), но неограниченную на нём. Предположим, ради определённости, что на любом сегменте0 < ε < b − a функция ограничена и собственно интегривида a, b − ε[]()руема, но является неограниченной в левой окрестности точки b . Точка b вэтом случае, вне зависимости от того, определена функция в этой точке илинет, носит название особой точки (2-го рода).b −ε+∞dx+∞= ln x a = +∞ , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
