И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если сходится интегралa+∞теграл вида∫ f (x )dx ,гдеA > a , и наоборот, если на промежуткеA[a,+∞) нет других особых точек, кромеx = +∞ , и A > a , то из сходимо-+∞сти интеграла∫ f (x)dx+∞следует сходимость интегралаA∫ f (x )dx , приa∫f ( x )dx =A∫f (x )dx ++∞Доказательство вытекает непосредственно из определения несобственного интеграла 1-го рода.∫ f (x )dx сходится, тоalimA→ +∞limA→ +∞∫f ( x )dx =A+∞∫f ( x )dx − limA→ +∞aA∫f ( x )dx =a+∞∫f ( x )dx −a+∞∫+∞[1,+∞) . Интеграл ∫sin xx1+∞2sin xxна промежуткеdx сходится (по признаку Дирихле, п. 4.7.5.), од-1sin xdx =нако интеграл ∫2x1+∞dx 1∫1 x − 2+∞cos 2 xdx∫1 x расходится (как раз-ность расходящегося и сходящегося интегралов).Еслиf ( x ) интегрируема на [a, b] , то функция f ( x ) , вообще говоря,не обязательно интегрируема на[a, b] .+∞sin xНапример, интеграл ∫dx сходится, а интегралx1a[a, b] , то их произведениеf (x ) ⋅ g ( x ) уже, вообще говоря, не обязательно интегрируемо на [a, b] .1интегрируемо на указанном промежутке, аx26.
Связь интегрируемости с абсолютной интегрируемостью6.f ( x )dx = 0 .()Например, рассмотрим функции f ( x ) = g ( x ) =f (x) ⋅ g (x) =1, g ( x ) ≡ 1 . Ихx2отдельно функция g x – нет.В общем случае, если одна из функций интегрируема на некотором бесконечном промежутке, а другая – нет, то их произведение может быть как интегрируемым, так и неинтегрируемым на этом промежутке.A5. Интегрируемость произведения.Если функции f x и g x интегрируемы на( )[ ]сти на [a, b] каждой из них в отдельности.Например, рассмотрим на [1,+∞) функции f ( x ) =∫ f (x)dx =0.Доказательство.
Из предыдущего свойства сразу следует, что+∞Замечание 4. Из интегрируемости (в несобственном смысле) на промежутке a, b произведения двух функций отнюдь не следует интегрируемо-+∞+∞4. Если интегралдиться (см., например, признаки Дирихле, Абеля, Коши).()∫ f (x)dx .Aaag ( x ) интегрируемы на сегменте [a, b] , то их произведениетакже интегрируемо на [a, b ] ). Однако при некоторых дополнительных ограничениях на функции f ( x ) и g ( x ) интеграл от их произведения будет схо-произведениеэтом+∞Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл142+∞∫1sin xxdx ≥+∞≥sin 2 x∫1 x dx – расходится.Наоборот, в рассматриваемом случае несобственных интегралов из ин-тегрируемости функциипромежутке функцииf ( x ) на [a, b] следует интегрируемость на этомf ( x ) .
При этом справедливо неравенствоbbaa∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx .6Функция называется абсолютно интегрируемой, если сходится интеграл от её модуля (см. п. 4.7.9).§4. Несобственные интегралы143Доказательство: см. теорему 1 п. 4.7.9.10. Пусть функцияЗамечание 5. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства интегралов Римана (там было: если функция f x интегри-( )руема в собственном смысле на сегменте [a, b ] , то и функция f ( x ) такжеинтегрируема на [a, b ] ).7.
Если f ( x ) интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке[a, b] , то она интегрируема на любом промежутке [c, d ] ⊆ [a, b] .b – особая точка несобственного интегралаДоказательство. ПустьСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл144b∫ f (x )dx (и других особых точек на промежутке [a, b] нет). Если d < b , тоaf ( x ) интегрируема в собственном смысле на промежутке [c, d ](по определению несобственного интеграла). Если d = b и [c, d ] ⊆ [a, b] ,то очевидно, что f ( x ) интегрируема в несобственном смысле на [c, d ] .f ( x ) определена на [a,+∞) и имеет период T > 0 ,g ( x ) монотонна в том же промежутке и стремится к 0 приа функцияa +Tx → +∞ . Если интеграл (собственный)∫ f (x )dx = 0 , то интеграл (неa+∞∫ f (x )g (x )dxсобственный)сходится.Еслиже,a +T∫f (x )dx = K ≠ 0 , то интегралa+∞∫ f (x )g (x )dx сходится или расходитсяa+∞в зависимости от того, сходится или расходится интегралфункция8.
Интеграл по симметричному отрезку.Если f x непрерывна на − ∞,+∞ и интегрируема на( )(⎧ +∞+∞⎪2 ⋅ f ( x )dx,∫−∞ f (x )dx = ⎨ ∫0⎪0,⎩)f ( x ) − четная функция;еслиf ( x ) − нечетная функция.еслиДоказательство. Так как функция[0, A] для любого[0,+∞) , тоf ( x ) интегрируема на сегментеA > 0 , то для неё справедливы соотношения (см. пункт3.5.2 параграфа 3):⎧⎪2 ⋅ f ( x )dx,∫− A f (x )dx = ⎨ ∫0⎪0,⎩Af ( x ) − четная функция;еслиf ( x ) − нечетная функция.еслиОтсюда предельным переходом получаем наше утверждение.9.
Независимость интеграла от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:b∫abf ( x )dx = ∫ f (t )dt .a∫ g (x )dx .aДоказательство: см.[17] (гл.XIII, §1, п. 478).Например, рассмотрим функцию f ( x ) = sin x , периодическую с пе2риодомT = π , на промежутке [0,+∞) . Интегралπ∫ sin0+∞Следовательно, интеграл∫ sin22xdx =π2≠ 0.x ⋅ g ( x )dx , где g ( x ) монотонна на [0,+∞)0и стремится к 0 при x → +∞ , сходится или расходится одновременно с ин+∞тегралом∫ g (x )dx .
С другой стороны, интеграл0+∞Aнаоборот,a+∞1⎛12 ⎞∫0 ⎜⎝ 2 − sin x ⎟⎠ ⋅ g (x )dx = 2 ∫0 cos 2 x ⋅ g (x )dxсходится для любой функции g ( x ) , монотонно на [0,+∞) стремящейся к 0при x → +∞ .[( ))11. Если f x интегрируема на a,+∞ , то она, вообще говоря, не обязательно ограничена на этом промежутке.Например, функция1интегрируема (в несобственном смысле) наx3 + xбесконечном промежутке [0,+∞) (пример 1 из п. 4.7.4), однако, очевидно,§4.
Несобственные интегралы145Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл146эта функция не является ограниченной на нём.4.5. Теоремы о среднемЗамечание 6. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства интегралов Римана (там было: если функция f x интегри-( )[a, b] , то она ограничена на этом сегменте).12. Если для двух интегрируемых на промежутке [a, b] (a < b ) функцийf ( x ) и g ( x ) выполняется неравенство f (x ) ≤ g (x ) , торуема в собственном смысле наbbaa∫ f (x )dx ≤ ∫ g (x )dx .Рассмотрим обобщённую формулировку теорем о среднем, где одна изфункций в произведении под знаком интеграла на рассматриваемом промежутке может быть интегрируема лишь в несобственном смысле.Теорема 1 (первая теорема о среднем значении).
Пусть функции f x и( )g ( x ) интегрируемы в конечном промежутке [a, b] ( g ( x ) , возможно, внесобственном смысле), причём f ( x ) на нём ограничена:m ≤ f (x ) ≤ M ,а g ( x ) не меняет знака. Тогда функция f ( x )g ( x ) интегрируема на [a, b] иbДоказательство вытекает из соответствующего свойства собственныхинтегралов (см. свойство 2 раздела 2.1 §2) и из теоремы о переходе к пределув неравенствах.f ( x ) интегрируема на [a, b] , то при любом x из13. Если функцияпромежутка(a, b ) существует интегралF (x ) =x∫ f (t )dtaи представляет собой непрерывную функцию отx.x из промежутка (a, b ) найдётсячисло A ∈ (a, b ) такое, что точка x лежит на сегменте [a, A] , и на этомсегменте функция f ( x ) интегрируема в собственном смысле, то данное ут-∫где m ≤f ( x ) интегрируема на [a, b] , и в точке x = x 0 изпромежутка (a, b ) функция f ( x ) непрерывна, то существует производная14.
Если функциядля функцииF (x ) =x∫ f (t )dtв этой точке, причём F ′( x 0 ) = f ( x 0 ) .aДоказательство следует из теоремы 2 пункта 1.5 § 1.af ( x ) непрерывна в замкнутом промежутке[a, b] , то за m, M можно взять наименьшее и наибольшее значения f (x )на [a, b] , и множитель μ оказывается равным одному из значений функцииf (x ) :Если к тому же функцияb∫Доказательство. Так как для любоговерждение вытекает из теоремы 1 раздела 1.5 §1.aμ≤M.bf ( x )g (x )dx = μ ∫ g ( x )dx ,abf ( x )g ( x )dx = f (c )∫ g ( x )dx , где c ∈ [a, b] .aЗамечание. Аналогичная теорема верна и в случае, когда промежуток[a, b] бесконечен.Доказательство.
Пустьg ( x ) интегрируема в несобственном смысле на[a, b] . Заметим, что в условиях теоремы выполняется неравенствоf ( x )g ( x ) ≤ max{m , M } g ( x ) и, следовательно, функция f ( x )g (x ) интегрируема на [a, b] в несобственном смысле (см. теорему 2.1 пункта 4.7.1ниже). Будем теперь для определённости считать, что точкаb является дляbинтеграла∫ g (x )dx особой, и что других особых точек на промежутке [a, b]ag ( x ) интегрируема в собственном смысле на сегменте [a, A] длялюбого A ∈ (a, b ) и сохраняет знак на этом сегменте. Значит, согласно пер-нет.
Тогдавой теореме о среднем для собственных интегралов (см. теорему 1 пункта2.2.1 §2), выполнено:§4. Несобственные интегралыA∫a147Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл[a,+∞) и интегрируема в собственном смысле на любом конечном сегменте [a, A] ( A > a ) .
Если для f ( x ) при этом существует первообразная функция F ( x ) на всём промежутке [a,+∞ ) , тоAпромежуткеf (x )g (x )dx = μ ( A) ∫ g (x )dx для любого A ∈ (a, b ) ,aгде148μ ( A) ∈ ⎡⎢ inf f (x ), sup f ( x )⎤⎥ .+∞a≤ x≤ A⎣a≤ x≤ A⎦Переходя к пределу при A → b − 0 в последнем соотношении (имеемправо сделать это в силу определения несобственного интеграла), получимутверждение теоремы.Теорема 2 (вторая теорема о среднем значении). Пусть функция f x[ ]∫ f (x )dx = F (x )ba∫ f (x )dx = F (x )∫a−∞+∞∫ f (x )dx = F (x )[ ]ξbaξf ( x )g ( x )dx = f (a + 0 )∫ g ( x )dx + f (b − 0 )∫ g ( x )dx (a ≤ ξ ≤ b ) .Замечание.
Аналогичная теорема верна и в случае, когда промежутокa, b бесконечен.Доказательство. Так же, как и в теореме 1, можно показать, что функция f x g x интегрируема в несобственном смысле на промежутке a, b .[ ][ ]() ()= F (+ ∞ ) − F (a ) .aмонотонна и ограничена в промежутке a, b , а функция g x интегрируема в этом промежутке (возможно, в несобственном смысле). Тогда функцияf x g x интегрируема на a, b и() ()aАналогично,( )()+∞−∞a−∞+∞−∞= F (a ) − F (− ∞ ) ,= F (+ ∞ ) − F (− ∞ ) .Эти формулы носят название формул Ньютона–Лейбница.Доказательство.
Применим формулу Ньютона–Лейбница для собственAных интегралов:∫ f (x )dx = F (x )Aa= F ( A) − F (a ) для любого A > a .aПосле этого перейдём в последнем равенстве к пределу прирема доказана.+∞bПусть снова точкаb является для интеграла∫ g (x )dx особой, и будем счи-Замечание. Очевидно, что несобственный интегралa[ ]тать, что других особых точек на промежутке a, b нет. Тогда в силу второйтеоремы о среднем для собственных интегралов (теорема 2 пункта 2.2.2 §2 изамечание к ней), имеем: для любого числа A ∈ a, b существует такая(точкаξb∈ [ a, A] , что∫a)ξaξПереходя к пределу при A → b − 0 в последнем равенстве, получим необходимое утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
