И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определённый интеграл162+∞b11∫a x p dx (a > 0) и ∫a (b − x) p dx , которые вычисляются явно при всех значениях параметра p .Замечание. 3-й признак сравнения относится к необходимым и достаточным условиям сходимости несобственных интегралов. Он даёт ответ на во-§4. Несобственные интегралы163прос о сходимости (расходимости) интеграла во всех случаях, когда применим. При этом если интеграл сходится по этому признаку, то он сходится абсолютно.+∞Пример 1. Исследовать сходимость интеграла∫0dxx +x3тивности, представим интеграл I в виде суммы двух интегралов I 1 и I 2 так,чтобы в каждом из полученных в результате интегралов осталось по однойособой точке:I=∫0dxx +x3A=+∞dx∫+x +x30dx∫x3 + xA= I1 + I 2(в качестве A можно взять любое положительное число), и исследуем сходимость каждого из них (интеграл I сходится тогда и только тогда, когдаодновременно сходятся интегралы I 1 и I 2 ).1) Исследуем сходимость интеграла1подынтегральная функцияфункции степенного виданой функции), т.е.1x +x3x +x31x~I 1 .
При x → +0 x >> x 3 , поэтомуэквивалентна бесконечно большойI 1 и I 2 сходятся, то сходится и ихсумма – интеграл I .+∞Пример 2. Исследовать сходимость интегралаdx∫xp11, и интегралы от них сходятся и расходят-малости подынтегральной функции:x3 + x~x3(главный член подын-тегральной функции), а значит, интегралы от этих функций сходятся и расходятся одновременно. Так как 3 2 > 1 , то, по 3-му признаку сравнения для ин-I 1 сходится..0xРешение. На промежутке интегрирования имеются две особые точки:= 0 (особенность 2-го рода) и x = +∞ (особенность 1-го рода). Предста-вим интеграл в виде суммы двух интегралов I 1 и I 2 так, чтобы в каждом изполученных в результате интегралов осталось по одной особой точке:+∞I=dx∫0 x p =Adx∫0 x p ++∞dx∫xp= I1 + I 2A( A > 0 – любое число), и исследуем сходимость каждого из них.I 1 сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1 .2) Интеграл I 2 сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 .Таким образом, при любом p ≠ 1 один из интегралов I 1 или I 2 сходит-1) Интегрался, а другой расходится, поэтому их сумма есть расходящийся интеграл.
Приp = 1 оба интеграла, а значит, и их сумма, расходятся.Ответ: интеграл расходится при любом p .+∞Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл∫x0(являющейся главным членом подынтеграль-x 2ся одновременно. Так как 1 2 < 1 , то, по 3-му признаку сравнения для интегралов 2-го рода, интеграл I 1 сходится.2) Исследуем сходимость интеграла I 2 .
При x → +∞ оценим порядок11тегралов 1-го рода, интегралСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралТаким образом, так как интегралы.Решение. Отметим, что данный интеграл I является несобственным, таккак на промежутке интегрирования имеются две особые точки: x = 0 (особенность 2-го рода, в окрестности этой точки подынтегральная функция неограничена) и x = +∞ (особенность 1-го рода). Используя свойство адди-+∞164Решение.
1) Пусть p = q , тогда интеграл имеет видpdx.+ xq12+∞dx∫xpи, следова-0тельно, расходится при любом p .x → +0 для подынтегральной функ11⎛ 1 ⎞ции имеем: f ( x ) = p= O⎜ p ⎟ ; при x → +∞ f ( x ) = p=qx +xx + xq⎝x ⎠⎛ 1 ⎞= O⎜ q ⎟ , поэтому интеграл сходится тогда и только тогда, когда p < 1 ,⎝x ⎠q > 1.3) Если p > q , то аналогичными рассуждениями получим, что интегралсходится при p > 1 , q < 1 .2) Пусть теперь p < q , тогда при§4.
Несобственные интегралыИтак, интеграл сходится тогда и только тогда, когдаmin( p, q ) < 1 , а max( p, q ) > 1 .165p ≠ q , причёмСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл166f ( x ) интегрируема в любом конечном сегменте [a, A] , причём∃K = const : ∀A ≥ a1)Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл+∞∫ x−a−∞dxp11x − a2p2⋅ ... ⋅ x − a nРешение. В окрестности точкиpnA∫ f (x )dx ≤ K(a1 < a 2 < ... < a n ) .x = a k , k = 1,2,..., n , подынтегральная⎛⎞1⎟ , поэтому, чтобы интеграл сходился вфункция f ( x ) есть O⎜⎜ x − a pk ⎟k⎝⎠окрестностях всех точек x = a k , необходимо, чтобы p k < 1 , k = 1,2,..., n .⎛1При x → ∞ имеем: f ( x ) = O⎜ p + p +...+ pn⎜x 1 2⎝сходится при условии p1 + p 2 + ... + p n > 1 .⎞⎟ , следовательно, интеграл⎟⎠Итак, интеграл сходится тогда и только тогда, когдаk = 1,2,..., n ,n∑pk =1kpk < 1 ,∫(1)aв том числе в тех случаях, когда данный интеграл сходится, но не обязательноабсолютно.
Они основаны на применении 2-й теоремы о среднем и аналогичны признакам Дирихле и Абеля сходимости бесконечных рядов, поэтому ихчасто связывают с именами этих математиков.Пусть на промежутке интегрирования имеется единственная особая точкаx = +∞ .Теорема (признак Дирихле). Пусть функции[a,+∞) , причём:f ( x ) и g ( x ) определены наПетер Густав Лежен–Дирихле – немецкий математик (1805–1859).См. также Приложение (поэт.).Рассмотрим дляg ( x ) не возрастает (второй случайрассматривается аналогично). Так как g ( x ) → 0 , то найдётся такое числоA0 > a , что 0 ≤ g ( x ) <εKx → +∞приx > A0 . Пусть A1 , A2 – произвольные чис-ла, для которых выполнено неравенствотеорему осреднем.ξ ∈ [A1 , A2 ] , чтоСогласно∫ f (x )g ( x)dx =f ( x )g ( x )dx ,ε > 0.определённости случай, когда функцияA1Специальные признаки сравнения используются при исследовании на сходимость интегралов вида8Тогда интеграл (1) сходится.Доказательство.
Выберем произвольное числоA24.7.5. Признак Дирихле8промежутке2) g ( x ) интегрируема на [a,+∞ ) и монотонно стремится к нулю приx → +∞ .> 1.+∞(константа K не зависит от A );aA0 < A1 < A2 . Применим вторуюэтой теореме,найдётсяξξg ( A1 ) ∫ f ( x )dx <A1εK( )такаяточка∫ f (x )dx ≤ εA1в силу ограниченности интеграла от функции f x на любом конечном сегменте. Отсюда и из критерия Коши сходимости несобственного интеграласразу следует сходимость интеграла (1).Замечание.
Признак Дирихле является достаточным признаком, и поэтому не даёт ответа на вопрос о сходимости интеграла в тех случаях, когда егоусловия не выполняются.Пример 1. Исследовать сходимость несобственного интеграла+∞∫ sin(x )dx .20Решение. Положим t = x , тогда2от 0 доx = t , dx =dt2 t, и изменению+ ∞ отвечает монотонное изменение t также от 0 до + ∞ :+∞+∞1 sin t2dt .sin(x)dx=∫02 ∫0 tx§4. Несобственные интегралы167∀A ≥ 0 интеграл по любому конечному сегменту [0, A] отфункции f (t ) = sin t ограничен:Так какA∫ sin tdt= cos 0 − cos A ≤ 2 ,0а функцияg (t ) =1t→ 0 монотонно при t → +∞ , то, по признаку Дирих-ле, интеграл сходится.Пример 2.
Исследовать сходимость несобственного интеграла+∞sin 2 x∫0 x dx .Решение. Разобьём интеграл на сумму двух интегралов:+∞Asin 2 xsin 2 xdx=∫0 x∫0 x dx ++∞sin 2 x∫A x dx = I1 + I 2 ( A > 0) ,и исследуем сходимость каждого из них.sin 2 x→ 0 , то точка x = 0 не является особой1) Так как при x → +0x(в её правой окрестности функция ограничена). Доопределив в этой точкеподынтегральную функцию её предельным значением, равным нулю, получим, что интеграл I 1 сходится (он существует, поскольку является собственным интегралом от непрерывной функции).2) Представим интеграл I 2 в виде разности двух интегралов:+∞+∞1sin 2 x1 1 − cos 2 x∫A x dx = 2 ∫A x dx = 2+∞dx 1∫A x − 2+∞cos 2 xdx .xA∫Первый из полученных интегралов расходится (по 3-му признаку сравнения).Второй интеграл сходится по признаку Дирихле, так как ∀B ≥ AB∫ cos 2 xdx =Aи функцияB11sin 2 x = sin 2 B − sin 2 A ≤ 1 ,22A1монотонно стремится к 0 при x → +∞ .
Таким образом, интеxграл I 2 расходится как сумма расходящегося и сходящегося интегралов. Нотогда и исходный интеграл расходится.168Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл§4. Несобственные интегралы1Пример 1. Исследовать сходимость интегралов:4.7.6. Признак Абеля+∞Пусть, по-прежнему, необходимо выяснить, сходится ли интеграл видаа)+∞∫ f (x )g (x )dx .(1)aТеорема (признак Абеля). Пусть функции f ( x ) и g ( x ) определены на[⎛ 1 ⎞− x2∫0 e cos⎜⎝ 2 x 3 + 1 ⎟⎠dx ; б)+∞Решение. а) Заметим, что интеграл[1) f ( x ) интегрируема в a,+∞ ) (хотя бы и не абсолютно);1представить в виде суммы2) g ( x ) монотонна и ограничена: ∃L = const : g ( x ) ≤ L ∀x ≥ a .Тогда интеграл (1) сходится.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
