И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Воспользуемся критерием Коши сходимости несобственного интеграла. Выберем произвольное число ε > 0 . Так как интеграл+∞∫ f (x )dx сходится, то найдётся такое число A (ε ) > a , что для любых чиA20 < ∫ e − x dx <21A1ная, ограничивающая функцию g (x ) .Воспользуемся теперь второй теоремой о среднем значении. Посколькуфункция g (x) монотонна на любом промежутке A1′ , A2′ , A0 < A1′ < A2′ ,то найдётся такая точкаA2′∫ f ( x) g ( x)dx =A1′[ξ ∈ [A1′ , A2′ ] , чтоξ]A2′ε ⎞⎛ ε+g ( A1′ ) ∫ f ( x)dx + g ( A2′ ) ∫ f ( x)dx ≤ L⎜⎟=ε ,⎝ 2L 2L ⎠ξA1′для любых чисел A1′ , A2′ ,A0 < A1′ < A2′ .
Согласно критерию Коши, это оз-начает, что интеграл (1) сходится. Теорема доказана.Замечание 1. В признаке Дирихле, по сравнению с признаком Абеля, первое условие несколько ослаблено, зато второе условие заменено более сильным.Замечание 2. Признак Абеля, как и признак Дирихле, является достаточным признаком, и поэтому вопрос о сходимости интеграла в тех случаях, когда его условия не выполняются, остаётся открытым.dx∫ ln(x + 1)1− x2x3 + xdx сходится, так как его можно+∞dx ++∞∫e−xdx =1∫e1− x21dx , где 0 < ∫ e − x dx < 1 ,Нильс Генрих Абель – норвежский математик (1802–1829).2013, а функция cos(1 (2 x + 1)) монотонно возe( (3))грал сходится.+∞б) Интеграл∫1+∞лом∫1dxx3dxx3 + xсходится и расходится одновременно с интегра-, который сходится по 3-му признаку сравнения.
Функция11монотонно убывает при x → +∞ и ограничена: 0 <≤ln ( x + 1)ln( x + 1)1≤. Поэтому, согласно признаку Абеля, интеграл сходится.ln 24.7.7. Признак КошиСуществуют и другие достаточные признаки для установления сходимости (расходимости) несобственных интегралов 1-го и 2-го родов, вытекающиеиз теоремы сравнения.Теорема 1 (признак Коши для интегралов 1-го рода).
Пусть функцияf ( x ) определена, положительна на промежутке [a,+∞ ) и при достаточноg (x )( p > 0) .больших x имеет вид f ( x ) =xpТогда: 1) если p > 1 и g ( x ) ≤ c < +∞ , то интеграл+∞∫ f (x )dx сходится;a1.растает и ограничена: cos 1 2 x + 1 ≤ 1 . Согласно признаку Абеля, инте-ε∫ f (x )dx < 2 L , где L – постоян-∫e− x20+∞0a∫e+∞0промежутке a,+∞ ) , причём:сел A1 , A2 , A0 < A1 < A2 , выполнено:169Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл§4. Несобственные интегралы2) если же p ≤ 1 и g ( x ) ≥ c > 0 , то этот интеграл расходится.Для доказательства надо воспользоваться теоремой сравнения (теорема 2,пункт 4.7.1), при этом функцией сравнения является бесконечно малая функ-4.7.8.
Использование формулы Тейлора при исследованиисходимости интеграла170цияc.xpТеорема 1.1 (признак Коши для интегралов 2-го рода). Пусть на любомсегменте вида a, b − ε (0 < ε < b − a ) функция f ( x ) положительна и[]интегрируема по Риману, но неограничена в левой окрестности точки b .Пусть, кроме того, для достаточно близких к b значений x функция f ( x )имеет видg (x )( p > 0) .f (x ) =(b − x ) pТогда: 1) если p < 1 и g ( x ) ≤ c < +∞ , то несобственный интеграл∫ f (x )dx сходится;a2) если же p ≥ 1 и g ( x ) ≥ c > 0 , то этот интеграл расходится.Для доказательства надо воспользоваться теоремой сравнения (теорема2.1, пункт 4.7.1), при этом функцией сравнения является бесконечно большаяc.(b − x ) p⎛1⎞⎟+∞+∞2 arcsin ⎜232cos arctg x + 12 − cos ( x − 1)x⎠⎝dx ; б) ∫dx ; в) ∫dx .а) ∫2xx−1x12123Решение. а) В данном случае g ( x ) = cos arctg x + 1 ≤ 1 < +∞ иp = 2 > 1 .
По признаку Коши, интеграл сходится.2б) Имеем g ( x ) = 2 − cos ( x − 1) ≥ 1 > 0 и p = 1 ≤ 1 . Следовательно, по())(признаку Коши, интеграл расходится.в) Так как g ( x ) = arcsinинтеграл сходится.Пример 1. Исследовать сходимость интегралов:1а)()ln 1 + 3 x∫0 e sin x − 1 dx ; б)+∞∫0arctgx(1 + x )32 2dx .Решение. а) Заметим, что при x → +0 под знаком интеграла имеем не-0. Раскроем её, используя соотношения эквивалентности,0полученные с помощью формулы Маклорена. Имеем: ln 1 + 3 x ~ 3 x ,e sin x − 1 ~ sin x ~ x , поэтому подынтегральная функция в окрестности нуля⎛ 1 ⎞есть O⎜ 2 ⎟ . Тогда, так как 2 3 < 1 , по 3-му признаку сравнения, интеграл⎜ 3⎟⎝x ⎠()сходится.б) Интеграл несобственный 1-го рода (с особой точкой x = +∞ ).
В окре-Пример 1. Исследовать сходимость интегралов:(При оценке скорости убывания (роста) подынтегральной функции в окрестности особой точки (например, для последующего применения признаковсравнения) иногда бывает удобно воспользоваться её разложением по формуле Тейлора.Простейший случай – замена функции в окрестности особой точки еёглавным членом, в том числе используя известные соотношения эквивалентности. Рассмотрим примеры.определённостьbфункция171())11 π≤и p = < 1 , то, по признаку Коши,x 22стности бесконечно удалённой точки, т.е. при x → +∞ , имеем: arctgx ~(1 + x )32 2π2,3~ x , поэтому подынтегральная функция имеет 3-й порядок мало-сти по сравнению с бесконечно малой функцией1 arctgx⎛ 1 ⎞:= O⎜ 3 ⎟ , и,3x(1 + x 2 )2 ⎝ x ⎠поскольку 3 > 1 , то, согласно 3-му признаку сравнения для интегралов 1-города, данный интеграл сходится.b⎛ − a2−⎜ e x − e x2∫0 ⎜⎝+∞Пример 2.
Исследовать сходимость интеграла22⎞⎟dx .⎟⎠Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл§4. Несобственные интегралыРешение. Заметим, что при x → +0 подынтегральная функция f ( x )стремится к конечному пределу, равному нулю, т.е. эта точка не являетсяособой. Таким образом, единственная особая точка x = +∞ .Так как при x → +∞ подынтегральная функция является бесконечномалой, то, применяя для неё разложение в ряд по формуле Маклорена, получаемРешение. а) На промежутке интегрирования имеется единственная особаяточка x = 0 (точнее, при p > 0 эта точка является особой). Выясним, прикаких значениях параметра p интеграл сходится.
Для этого найдём разложе-172a2b2b2 − a2⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞+ o⎜ 2 ⎟ = O ⎜ 2 ⎟ ,e x −e x =2x⎝x ⎠⎝x ⎠т.е. функция f ( x ) является при x → +∞ бесконечно малой функцией вто1рого порядка малости по сравнению с бесконечно малой. Так как 2 > 1 ,x−2−2то, по 3-му признаку сравнения, интеграл сходится.+∞x1 ⎞ dx⎛Пример 3. Исследовать сходимость интеграла ∫ ⎜ x− ⎟ 2.−x2⎠ x0⎝e −eРешение. Выясним, является ли точка x = 0 особой точкой. Разлагаяx2 x3±x±xфункции e в ряд Маклорена e = 1 ± x +±+ o x 3 , получим:2! 3!111xx2−=−=−+ o x2 .212e x −e − x 2 2 + x 2 3 + o x 21Так как при x → +0 значение подынтегральной функции стремится к −,12( )( )( )то эта точка не является особой.Осталось исследовать сходимость интеграла при x → +∞ . Так как вы-x→ 0 при x → +∞ , то подынтегральная функция являетсяxe −e − x1бесконечно малой 2-го порядка по сравнению с бесконечно малой.
По 3xражениему признаку сравнения, интеграл сходится в окрестности этой бесконечноудалённой точки.Пример 4. Исследовать сходимость интегралов в зависимости от значений параметра p :e x sin x − x(1 + x )dx ; б)∫0xp1а)1a x + a −x − 2∫0 x p dx (a > 0) .173ние подынтегральной функции f ( x ) в окрестности особой точки (по формуле Маклорена):⎞⎞⎛⎛x2x3⎜⎜1 + x ++ o x 4 ⎟⎟ − x − x 2+ o x 2 ⎟⎟⎜⎜ x −2!3!⎠⎠⎝=f (x ) = ⎝px1 3x3x323x + o(x 3 )+ o(x ) −+ o(x 3 ) − x/ − x/ 2x/ + x/ +⎛ 1 ⎞2!3!= O⎜ p −3 ⎟== 3ppxx⎝x ⎠( )( ).Таким образом, при x → +0 подынтегральная функция имеет порядокроста, равныйp − 3 , по сравнению с бесконечно большой функцией1.
Поx3-му признаку сравнения для интегралов 2-го рода получаем, что интегралсходится при p − 3 < 1 , т.е. p < 4 , и расходится в остальных случаях.Замечание. При p < 0 подынтегральная функция непрерывна на сегмен-[ ]p = 0 подынтегральная функция f ( x ) = e sin x − x (1 + x ) непрерывна на (0,1] , а вте 0,1 , и интеграл сходится (существует) как собственный; приxнуле может быть доопределена до непрерывной своим предельным значением, поэтому интеграл также является собственным и, значит, сходится.б) Разложим подынтегральную функцию f ( x ) в окрестности точкиx = 0 (это единственная точка на промежутке интегрирования, которая может быть особой) по формуле Маклорена:e x ln a + e − x ln a − 2=xp⎞⎛⎛x 2 ln 2 ax 2 ln 2 a2 ⎞⎜⎟⎜⎜1 + x ln a ++ o(x 2 )⎟⎟ − 2+ o(x )⎟ + ⎜1 − x ln a +2!2!⎠⎠ ⎝==⎝pxx 2 ln 2 a + o(x 2 )⎛ 1 ⎞== O⎜ p −2 ⎟ .px⎝x ⎠f (x ) =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл174§4. Несобственные интегралыТаким образом, при x → +0 подынтегральная функция имеет порядокроста, равный p − 2 (по сравнению с бесконечно большой в окрестности1нуля функцией). По 3-му признаку сравнения для интегралов 2-го родаxполучаем, что интеграл сходится при p − 2 < 1 , т.е. p < 3 , и расходится востальных случаях.условию, сходится, то для любогоA′′∫ f (x ) dx < ε .A′Так как, очевидно,f ( x ) определена на бесконечном промежутке [a,+∞ ) .+∞+∞∫ f (x )dxЕсли наряду с интеграломсходится и интегралa+∞интеграл∫ f (x )dxназывают абсолютно сходящимся, а функциюaпринято считать, что он сходится условно. Аналогичные определения вводятся для интегралов 2-го рода.Теорема 1 (о связи между обычной и абсолютной сходимостями, для ин+∞∫ f (x ) dx , то сходится и инa+∞∫ f (x )dx (т.е.
из абсолютной сходимости несобственного интеграaла следует обычная сходимость). При этом справедливо неравенство+∞+∞aa∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx .Доказательство. 1) Докажем интегрируемость f ( x ) (в предположении,[]что в каждом промежутке a, A , A > a , функция f ( x ) интегрируема всобственном смысле). Применим критерий Коши сходимости несобственного+∞интеграла (раздел 4.3.) к интегралу∫ f (x ) dx . Так как этот интеграл, поaA′′∫ f (x )dx < ε . Отсюда, в силу+∞∫ f (x )dx .a2) Докажем справедливость неравенства. Для любого A ∈ (a, + ∞ ) имеемAAAaaa− ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx .сходится, но не абсолютно, то в этом случаеaтегралA′∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx , то, следовательно, для тех жеA′f (x ) –[тегралов 1-го рода).
Если сходится интегралA′A′, A′′ тем более выполняется неравенство+∞∫ f (x )dxA′′критерия Коши, вытекает сходимость интегралаабсолютно интегрируемой в промежутке a,+∞ ) .Если интегралA′′∫ f (x ) dx , тоaнайдётся такое A0 (ε ) > a , что длялюбых A′′ > A′ > A0 выполняется4.7.9. Исследование на абсолютную (условную) сходимостьПусть функцияε >0175Переходя к пределу при A → +∞ в этом двойном неравенстве, получимнеобходимое утверждение.Замечание. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства интегралов Римана (там из интегрируемости на сегменте a, b[ ]функцииf ( x ) ).f ( x ) не вытекала, вообще говоря, интегрируемость функцииТеорема 2 (достаточный признак абсолютной сходимости, для интегралов 1-го рода).
Если функция f x абсолютно интегрируема в промежутке( )[a,+∞ ) , а функция g (x ) ограничена на этом промежутке, то их произведение f ( x ) ⋅ g ( x ) будет функцией, абсолютно интегрируемой в [a,+∞ ) .Для доказательства достаточно воспользоваться неравенствомf (x ) ⋅ g (x ) ≤ L f (x ) ,где g ( x ) ≤ L , и теоремой сравнения.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл176+∞Например, рассмотрим интегралcos ax∫0 x 2 + k 2 dx (k ≠ 0) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
