И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 24
Текст из файла (страница 24)
∃L :∫ f (x )dx ≤ L∀A ≥ a .a+∞Доказательство. Докажем необходимость. Пусть∫ f (x )dxсходится,aтогда очевидно выполнение следующего неравенства:+∞0 ≤ F ( A) ≤∫ f (x )dx для любого A ≥ a .aF ( A) ограничена сверху.Перейдём к достаточности. Так как функция F ( A) не убывает и ограничена сверху, то существует конечный предел lim F ( A) . Но это и означает,Это означает, что функцияA→ +∞+∞по определению, что интеграл∫ f (x )dx сходится.a§4. Несобственные интегралы155Теорема 2 (теорема сравнения для интегралов 1-го рода).Если при x ≥ A ≥ a имеет место неравенство 0 ≤ f xсходимости интеграла( ) ≤ g (x ) , то из156Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интегралходимо и достаточно, чтобы при любом (достаточно малом)нялось неравенство+∞(1)a∫ f (x )dx ≤ L (L = const ) .Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 1.Теорема 2.1 (теорема сравнения для интегралов 2-го рода). Если найдётся такое число ε > 0 , что ∀x ∈ b − ε , b (т.е. при достаточно близких к[следует сходимость интеграла+∞∫ f (x )dx ,(2)a∫a∫ g (x )dx∫ g (x )dx ,a∫ g ( x)dx сходится, то, согласно критериюaлюбыхε >0найдётся числоA0 = A0 (ε ) > 0 такое, что дляA′, A′′ > A0 выполняется:b∫ f (x )dx ,A′′A′A′∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx < ε .+∞Это означает, что∫ f ( x)dx сходится.
Второе утверждение теоремы немедaленно следует из первого. Теорема доказана.+∞Замечание. В случае, когда∫af ( x )dx ≤+∞∫ g (x )dx , говорят, что интегралa(1) мажорирует интеграл (2).Сформулируем аналоги этих теорем для интегралов 2-го рода. Пустьфункция f x неотрицательна на сегменте a, b и имеет на правом его( )конце (в точке[ ]x = b ) единственную особую точку 2-го рода.Теорема 1.1 (признак сходимости для несобственных интегралов 2-гоbрода). Для сходимости несобственного интеграла 2-го рода∫af ( x )dx необ-(4)aпричём для их значений имеет место неравенствоb∫aA′′(3)следует сходимость интегралаa+∞Коши, для любого0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , то из сходимо-b+∞а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).Доказательство.
Так как)b значений x ) имеет место неравенствости интегралапричём для их значений имеет место неравенствоf ( x )dx ≤выпол-a∫ g (x )dx+∞ε >0b −εbf ( x )dx ≤ ∫ g (x )dx .aВ свою очередь, из расходимости интеграла (4) следует расходимость интеграла (3).Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 и опирается на критерий Коши сходимости несобственных интегралов 2-го рода.+∞xdx.2cos 2 x0Решение. Единственная особая точка + ∞ . Так как при x ≥ 0 справедлиxx, а интегралво неравенство≥221 + x cos x 1 + x 2+∞xdx∫0 1 + x 2Пример.
Исследовать на сходимость интеграл∫1+ xрасходится, то расходится и исследуемый интеграл.В частности, следствиями теоремы сравнения являются многие признакисходимости несобственных интегралов. Рассмотрим эти признаки.§4. Несобственные интегралы157Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл1584.7.2. Первый признак сравнения (признак абсолютной сходимости)+∞∫ f (x )dx ,7Теорема (1-й признак сравнения, или признак абсолютной сходимости ).Пусть при любом x ≥ a выполняется неравенствоf (x ) ≤ F (x ) .+∞∫ F (x )dxТогда если интеграл+∞сходится, то интегралa∫ f (x )dxтакжеaсходится, причём абсолютно.Доказательство.
Применив теорему сравнения к функциямf (x) и∫ f (x )dx .aЗамечание. 1-й признак сравнения относится к достаточным признакам,и поэтому не даёт ответа на вопрос о сходимости интеграла в тех случаях,когда его условия не выполняются.Пример 1. Исследовать сходимость интегралов:+∞а)cos(x 3 )+∞∫ (1 + x ) dx ; б) ∫1Решение. а) Так как при5 2arctg 3 x2x ≥ 1 имеем:x7cos(x)≤ 1) (1 + x )35 25 2<1, аx10+∞интегралdx∫1 x10 сходится, то, по 1-му признаку сравнения, интеграл сходится(в том числе абсолютно).б) Так как приx ≥ 2 верно:arctg 3 xx72≤π 2x7, а интеграл2π+∞2 ∫2dxx72сходится, то, по 1-му признаку сравнения, интеграл сходится (в том числеабсолютно).4.7.3.
Второй признак сравненияПусть требуется выяснить сходимость (расходимость) несобственногоинтеграла7Интеграл( )[()limx → +∞+∞+∞aa∫ f (x )dx сходится абсолютно, если сходится интеграл ∫ f (x )dx .)f (x )=k.g (x )Тогда справедливы следующие утверждения:+∞0 < k < +∞ , то интегралы∫f ( x )dx иa2(1 + x()1) еслиdx .( )где положительная подынтегральная функция f x может иметь достаточносложный вид. В некоторых случаях удаётся подобрать другую (более простого вида) положительную функцию g x , сходимость (расходимость) интеграла от которой известна, и сравнить скорости их убывания при x → +∞ .
Взависимости от этого делается вывод о сходимости интеграла от функцииf x .Теорема 1 (2-й признак сравнения для интегралов 1-го рода). Пусть функции f x и g x определены и положительны на a,+∞ , и существуетпредел (конечный или бесконечный)( )+∞F ( x ) , получим сходимость интегралаa+∞∫ g (x )dxсходятся иaрасходятся одновременно;2) если k = 0 , тоиз сходимости интеграла3) если+∞+∞aa∫ g (x )dx следует сходимость∫ f (x )dx ;k = +∞ , тоиз расходимости интеграла+∞+∞aa∫ g (x )dx следует расходимость∫ f (x )dx .Доказательство.
1) Из существования предела, равного k , следуетприx → +∞ ,асталобыть,f ( x) = g ( x)( k + o(1))13kg ( x) < f ( x) ≤ kg ( x) для всех достаточно больших x ≥ b (так как22при достаточно больших значениях x , очевидно, справедлива оценкаko(1) ≤ ). В силу теоремы сравнения для интегралов 1-го рода, сходимость2интеграла+∞+∞bb∫ g (x )dx влечёт сходимость интеграла ∫ f (x )dx , а значит и ин-§4. Несобственные интегралы+∞теграла∫159Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл160f ( x )dx . Обратно, в силу той же теоремы, сходимость интегралаlimx →b − 0a+∞∫f ( x )dx влечёт сходимость интегралаaТогда справедливы следующие утверждения:+∞∫ g (x )dx .b1) еслиa2) Из существования предела k отношения функций следуетf ( x ) = g ( x )o(1) при x → +∞ , а стало быть, f ( x ) ≤ g ( x) для всех достаточно больших x ≥ b .
Тогда в силу теоремы сравнения сходимость инте+∞грала∫ g (x )dx+∞влечёт сходимость интегралаb∫ f (x )dx , а значит, и интеb∫ f (x )dx .b∫ g (x )dxk = +∞ следует, что g ( x ) = f ( x )o(1) при x → +∞ , астало быть, f ( x ) ≥ g ( x ) для всех достаточно больших x ≥ b . Но тогда в+∞силу теоремы сравнения расходимость интеграла∫ g (x )dx влечёт расходиb+∞∫f ( x )dx , а значит, и интегралаb+∞∫f ( x )dx . Теорема дока-aзана.Пусть теперь требуется выяснить сходимость (расходимость) несобственного интеграла 2-го родаbиз сходимости интегралаb∫ g (x )dx следует сходимость∫ f (x )dx ;aak = +∞ , тоb∫ g (x )dx следует расходимость∫ f (x )dx .aaДоказательство полностью аналогично доказательству теоремы 1.Пример 1. Исследовать сходимость интегралов:ln (1 + 2 x )а) ∫dx ; б)x1+∞ln(1 + 2 x )∫1 3 x 5 dx ; в)+∞πln(sin x )∫0 x dx ; г)2+∞∫eа)Рассмотримln (1 + 2 x ) x= lim ln (1 + 2 x ) = +∞ .x → +∞x → +∞1xlimпредел+∞aрасходимость данного интеграла.∫15где положительная подынтегральная функцияинтеграла от которой известна (легко устанавливается).
В зависимости отэтого делается вывод о сходимости интеграла от функции f x .( )Теорема 2 (2-й признак сравнения для интегралов 2-го рода). Пусть функция f x положительна и существует предел (конечный или бесконечный)x10 dx .0Согласно 2-му признаку сравнения, из расходимости интегралаf ( x ) неограниченна в левойокрестности точки x = b . Сравним скорости роста при x → b − ε подынтегральной функции и некоторой функции g ( x ) , сходимость (расходимость)− x2Решение.
Исследуем сходимость интегралов в окрестности особой точки.b∫ f (x )dx ,сходятся иab3) Из условия( )∫f ( x )dx ирасходятся одновременно;2) если k = 0 , тоиз расходимости интегралаaмость интеграла0 < k < +∞ , то интегралыa3) если+∞гралаf (x )=k.g (x )б)Рассмотримпределlimx → +∞ln(1 + 2 x ) x 31 x43= limln (1 + 2 x )x → +∞x+∞Согласно 2-му признаку сравнения, из сходимости интеграла∫1ет сходимость данного интеграла.dxследуетx13dx3x4= 0.следу-§4. Несобственные интегралы161в) Сравним скорости роста в малой окрестности точкиx = 0 подынте-1гральной функции и бесконечно большой функции k (k > 0) :xln (sin x ) xln (sin x ).lim= limk1x→+0x → +0−k1x2x∞1При, для раскрытия которой− k < 0 имеем неопределённость вида∞2воспользуемся правилом Лопиталя:limln (sin x )x → +0x= lim(ln(sin x ))′′⎛ 12 − k ⎞⎜x ⎟⎟⎜⎠⎝1=⋅ lim1 2 − k x → +01−k2x → +0= limx → +01x−k +12ctgx1+∞∫e− x2x 10 dx , а значит, и исходного интеграла.14.7.4.
Третий признак сравнения (признак сравнения со степенью)Этот признак формулируется для произвольных (не обязательно положительных) функций.⎛ 1f ( x ) = O⎜ p⎝x.г)∫e0−xx10 dx = ∫ e − x x10 dx +20+∞∫e−x21то при p > 1 интегралсходится (как собственный), то интегралы∫e0− x2+∞10x dx и∫e− x2102Поскольку2цией порядка p по сравнению с бесконечно большой функцией⎛ 1f ( x ) = O⎜⎜p⎝ (b − x )1, т.е.b−x⎞⎟,⎟⎠bто при p < 1 интегралx dx схо-e − x x 10e−x=lim= 0 , то, согласно 2-му признакуx → +∞ 1 x 2x → +∞ 1 x 12limсходится, а при p ≤ 1 этот интеграл( )∫ f (x )dx сходится, а приp ≥ 1 – расходится.aДоказательство вытекает из теоремы сравнения и поведения интегралов1дятся и расходятся одновременно. Исследуем сходимость второго интеграла.∫ f (x )dxрасходится.2.
Для несобственных интегралов 2-го рода.Если при x → b − 0 функция f x является бесконечно большой функ-x 10 dx . Так как интеграл ∫ e − x x10 dx+∞⎞⎟,⎠a2011, т.е.x+∞ходный интеграл сходится.1следует сходимость интегралапорядка p по сравнению с бесконечно малой функциейx → +0 подынтегральной функции ниже, чем порядок роста бесконечно1большой функции k , интеграл от которой сходится при k < 1 . То есть есx1ли взять любое k такое, что< k < 1 , то, по 2-му признаку сравнения, ис222( )при+∞dx∫xТеорема (3-й признак сравнения, или признак сравнения со степенью).1. Для несобственных интегралов 1-го рода.Если при x → +∞ функция f x является бесконечно малой функцией1этот предел равен 0. Получили, что порядок роста2Очевидно, что при k >+∞сравнения, из сходимости интеграла=1⎛1⎞ −k −⎜ − k ⎟x 2⎠⎝2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
