И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема доказана.4.6. Вычисление несобственных интегралов4.6.1. Формула Ньютона–ЛейбницаТеорема (основная теорема интегрального исчисления, для несобственных интегралов 1-го рода). Пусть функция f x определена в бесконечном( )∫ f (x )dxсходитсяaтогда и только тогда, когда существует конечный пределlim F ( A) = F (+ ∞ ) .A→ +∞Пример 1. Вычислить несобственные интегралы:+∞Af ( x )g ( x )dx = f (a + 0 )∫ g ( x )dx + f ( A)∫ g ( x )dx .A → +∞ . Тео-а)∫ sin xdx ; б)−∞+∞1∫x221sin dx .xπF ( x ) = − cos x является первообразнойфункцией для функции sin x на промежутке (− ∞,+∞ ) , поэтому, по формуРешение. а) Очевидно, функцияле Ньютона–Лейбница, имеем+∞∫ sin xdx = (− cos x )−∞+∞−∞.Поскольку двойная подстановка не имеет смысла, так как не существуютпределы cos x при x → ±∞ , то данный интеграл расходится.§4.
Несобственные интегралы+∞+∞111 ⎛1⎞⎛1⎞б) ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d ⎜ ⎟ = cos⎜ ⎟xx ⎝ x⎠⎝ x⎠2 x2ππ149что доказывает существование интеграла в левой части (1) и, одновременно,справедливость равенства (1). Теорема доказана.Замечание 2. Аналогично формулируется и доказывается теорема дляпромежутка вида − b, a .Пример 1. Вычислить несобственные интегралы:+∞2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл150= 1− 0 = 1.](π4.6.2. Формула замены переменной1Теорема 1 (замена переменной в несобственных интегралах 1-го и 2-го1) функция f ( x ) определена и непрерывна в конечном или бесконечномпромежутке [ a, b) ( b – единственная особая точка 1-го или 2-го рода);2) функция x = x (t ) определена, непрерывно дифференцируема и возрастает на промежутке [α , β ) (или, соответственно, убывает на проме-](жутке β , α ), где β может принимать, в том числе, бесконечное значение;3) множеством значений функции x (t ) является промежуток [ a, b) ;Решение.
а) Сделаем замену= −tdt и получаем1xdx∫01− 1− x11=∫0dt∫a1− t0(1)αЗамечание 1. Второй интеграл будет либо собственным, либо несобственным – с единственной особой точкой β .Доказательство. По теореме об обратной функции получаем, что у функции x = x t существует обратная функция t = t x , непрерывная (и имею-()x(t ) ) на [a, b ) . Пусть теперь x 0 и t 0 – произвольные, но соответствующие одно другому значения x и t из промежутков (a, b ) и (α , β ) . Тогда, применяя к этим промежуткам теорему о заменещая ту же монотонность, что ипеременной в определённом интеграле Римана, получим:x0= −∫12t0∫ f ( x)dx = α∫ f ( x(t )) ⋅ x′(t )dt .aЕсли существует, скажем, интеграл в правой части (1), то станем приближать произвольным образом x 0 к b .
При этом t 0 = t ( x0 ) устремится к β ,б) Положим1∫0∫0arcsin xdx .x(1 − x )t = 1 − x 2 , тогда x 2 = 1 − t 2 , xdx =1tdt=1− t∫011 − t dt = − ∫01tdt1− td (1 − t )1− t=1 + (t − 1)dt1− t01+∫∫=1 − t d (1 − t ) =012⎛= ⎜− 2 1− t +3⎝в предположении, что существует один из этих интегралов (существованиедругого отсюда уже вытекает).()∫−βf ( x)dx = ∫ f ( x(t )) ⋅ x ′(t )dt ,024) x (α ) = a , x ( β ) = b .Тогда справедливо равенствоb; б)1− 1− x0рода). Пусть выполняются следующие условия:1xdx∫а)(1 − t ) ⎞⎟ = 4 .⎠0 33t = x , тогда x = t 2 , dx = 2tdt :arcsin xx(1 − x )1dx = ∫0arcsin tt/ 1 − t212t/dt = 2∫ arcsin t01= 2∫ arcsin td (arcsin t ) = (arcsin t )02 10=dt1− t2π24=.4.6.3. Формула интегрирования по частямТеорема 2.1 (интегрирование по частям несобственного интеграла 1-города).
Пусть функции f ( x ) , g ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке [ a, + ∞ ) , и пусть существует конечный предел lim ( f ( x ) g ( x ) ) .x → +∞Тогда из сходимости одного из интегралов+∞∫af ( x) g ′( x)dx или+∞∫ f ′( x) g ( x)dxaследует сходимость второго интеграла, причём справедливо равенство§4. Несобственные интегралы+∞∫f ( x) g ′( x)dx = f ( x )g ( x ) a −+∞+∞∫a1511− axТак как sin bx ⋅ ebf ′( x) g ( x)dx .aДоказательство. Из формулы интегрирования по частям в определённоминтеграле Римана следует, что для любого действительного числа A > a :A∫ f ( x) g ′( x)dx =aСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл152Af ( A) g ( A) − f ( a ) g ( a ) − ∫ f ′( x) g ( x)dx .aЕсли существует предел при A → +∞ одной из частей последнего равенства, то существует предел и второй, и они равны. Теорема доказана.Сформулируем аналогичную теорему для интегралов 2-го рода.тегрируемε > 0,и пустьсуществует конечный предел lim ( f ( x ) g ( x ) ) (или lim ( f ( x ) g ( x ) ) ). Тоx →b − 0x→a + 0∫f ( x) g ′( x)dx илиab∫ f ′( x) g ( x)dxaследует сходимость второго и справедливость равенстваb∫ f ( x) g ′( x)dx = f (x )g (x )baa− ∫ f ′( x) g ( x)dx .=− axdg = cos bxdx , тогда df = −aef =eI = ∫e0− ax+∞=00+∞⎞⎛ 1⎞− ∫ ⎜ − cos bc ⎟ − ae − ax dx ⎟⎟ .b⎠0⎝⎠()− ax,∫ arcsin xdx .0Решение.
Так как функция arcsin x непрерывна на промежутке интегрирования, то данный интеграл является собственным. Вычислим его интегрированием по частям:1001−∫0xdx1− x2=1Заметим, что полученный в результате интеграл∫0π21−∫0xdx1− x2xdx1− x2+∞0+∞1− ∫ sin bx ⋅ (− ae − ax )dx .b01∫01()1 d 1− x2=− ∫= − 1− x22221− x1− x0xdx10.является сходя-щимся несобственным интегралом 2-го рода, найдём его:1cos bxdx = sin bx ⋅ e − axbТогда1, то получаемb∫ arcsin xdx = x arcsin x1dx , g = sin bx . Интегрируя по часbтям, получаем+∞1− cos bx ⋅ e − axb+∞10− axdg = sin bxdx .1cos bxdx (a > 0, b ≠ 0) .Решение. Обозначим данный интеграл буквой I .
ПоложимТак какa⎛ 1⎜ − cosbx ⋅ e − axb ⎜⎝ bПример 2. Вычислить интегралaПример 1. Вычислить при помощи интегрирования по частям∫ef = e − ax ,положивПокажем на следующем примере, что несобственный интеграл можетвозникнуть при интегрировании по частям собственного интеграла.bДоказательство вытекает из формулы интегрирования по частям в определённом интеграле Римана с помощью предельного перехода.+∞частям,+∞⎞ a⎛1 a ⎞a⎛1 a⎜I = ⎜ − ∫ cos bx ⋅e − ax dx ⎟⎟ = ⎜ − I ⎟ .b⎝b b 0⎠ b ⎝b b ⎠a.Осталось выразить из этого соотношения I : I = 2a + b2гда из сходимости одного из интеграловb0+∞a= 0 , то I = ∫ sin bx ⋅ e − ax dx .
Ещё раз проинb 01df = −ae − ax dx , g = − cos bx и находимb+∞aI = ∫ sin bx ⋅ e − ax dx =b 0Теорема 2.2 (интегрирование по частям несобственного интеграла 2-города). Пусть функции f ( x ) , g ( x ) непрерывно дифференцируемы на сегменте [ a , b − ε ] (или на сегменте [ a + ε , b] ) для любогопо+∞= 1.§4. Несобственные интегралы1Итак, ∫ arcsin xdx =π02153− 1.В следующем примере интегрирование по частям позволяет получитьформулу понижения величины параметра и, в конечном итоге, вычислитьнесобственные интегралы.Пример 3.
Выведя формулы понижения, вычислить несобственный интеграл в зависимости от значений n n ∈ N :()Γ(n + 1) =+∞∫xne − x dxРешение.Положимf =x ,−xdg = e dx , тогдаdf = nxn −1В большинстве же случаев для выяснения факта сходимости (или расходимости) несобственного интеграла применяют признаки сравнения (иногдапо этой причине их называют признаками сходимости). Рассмотрим эти признаки подробнее.4.7.1. Признак сходимости интегралов от неотрицательных функций.Теорема сравненияРассмотрим вначале общие признаки сходимости для неотрицательныхфункций.Пусть функция f x определена, неотрицательна (положительна) на[a,+∞)0nСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл154dx ,( )g = −e , и, интегрируя по частям, находим рекуррентную формулу пони-F ( A) = ∫ f ( x )dxжения степени:Γ(n + 1) =∫xn−xe dx = − x en0+∞гдеΓ(1) = ∫ e − x dx = −e − x0+∞0− x +∞0+∞+ n∫xA≥a.A−x+∞[a, A] , гдеи собственно интегрируема на любом сегментеТогда интегралae dx = nΓ(n ) ,n −1 − x0= 1 . Отсюда получаемΓ(n + 1) = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ Γ(1) = n!является, очевидно, монотонно неубывающей (возрастающей) функцией аргумента A .Теорема 1 (признак сходимости для несобственных интегралов 1-го ро+∞да). Для сходимости несобственного интеграла 1-го рода∫ f (x )dx необхоaдимо и достаточно, чтобы функцияF ( A) с ростом A оставалась ограни-A4.7.
Исследование сходимости несобственных интеграловВо многих задачах, связанных с несобственными интегралами, интереспредставляет не значение сходящегося интеграла, а установление самого факта его сходимости (либо расходимости). Исследование сходимости возможнопроводить различными способами. Выше уже были рассмотрены следующиеподходы к исследованию несобственных интегралов на сходимость.1. Непосредственное вычисление несобственного интеграла.В простейших случаях интеграл можно попробовать непосредственно вычислить.
В процессе вычисления устанавливается, сходится ли интеграл.2. Исследование сходимости при помощи критерия Коши.Если непосредственное вычисление интеграла затруднительно, а выяснить, сходится ли интеграл, необходимо, то в ряде случаев может помочь самый общий критерий сходимости несобственных интегралов – критерий Коши. Отметим вместе с тем, что этот способ часто оказывается достаточносложным при его применении, и по этой причине он не получил широкогораспространения на практике, имея скорее теоретическое значение.ченной сверху, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
