И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 20
Текст из файла (страница 20)
интеграл расходится.При p = 1 имеем ∫xadx∫1+ x4.1.2. Несобственный интеграл 2-го родаAA1− p= 0 , а значит, интеграл сходится (к своемуПри p > 1 имеем limA→+∞ 1 − p+∞этот предел не существует, то данный интеграл расходится.Перейдём к пределу:A1− p a 1− pdxlim ∫ p = lim−.A→+∞ xA→ +∞ 1 − p1− paπ 2 ).dxdxπ0= lim arctgx − A = lim (− arctgA ) = .2∫−∞1 + x 2 = Alim∫→ −∞A→ −∞A→ −∞2A1+ x00A1− p a 1− pdx ⎛ x 1− p ⎞⎜⎟==∫a x p ⎜⎝ 1 − p ⎟⎠ 1 − p − 1 − p .a201Решение. а) Функция p интегрируема по Риману в любом конечномxсегменте [a, A] ( A > a ) .При p ≠ 1 находимAdx∫1+ xв) Аналогично получаем:+∞dx∫1+ xтегралПредел интеграла∫ f (x )dx(конечный или бесконечный) приaназывают несобственным интегралом 2-го рода от функцииε → +0f ( x ) от a доb и обозначают символомb∫f ( x )dx = limε → +0ab −ε∫ f (x )dx .(1)aВ случае, когда этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, анеограниченную функцию f x называют интегрируемой в пределах от a( )b (в несобственном смысле).
Если же предел (1) бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится, а функция f ( x ) – неин-дотегрируема на данном промежутке. В частности, если этот предел равен+ ∞ , то говорят, что интеграл расходится к + ∞ .§4. Несобственные интегралыbАналогично∫127Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл128bf ( x)dx = limε → +0a∫εbf ( x)dx в случае, если a – особая точка.Пусть, например, дан несобственный интегралa+[ ]( )abba∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx .[a, b] может быть конечное число особыхточек c1 , c 2 ,..., c m , вблизи которых функция f ( x ) неограничена, в то времякак на любом сегменте, принадлежащем [a, b ] и не содержащем особых то-подынтегральная функция неограничена в левой окрестности точкилав подстановку t =В общем случае на промежуткечек, функция ограничена и интегрируема. Пусть, например, таких особыхточек три, причём две из них совпадают с концами a , b промежутка, а третья, c , лежит между ними.
Тогда интеграл отопределяется следующим образом:∫af ( x ) в пределах от a до bb −ε 4⎛ c −ε 2⎞⎜⎟()()+fxdxfxdxf ( x )dx = lim ∫∫ε1 → +0 ⎜⎟c +ε 3ε 2 → +0 ⎝ a + ε 1⎠ε 3 → +0ε 4 → +0при одновременном, но независимом стремлении к нулю положительных чисел ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 .Для несобственных интегралов на бесконечном промежутке особых точекможет быть бесконечно много, лишь бы в каждом конечном промежуткеa, A их было бы конечное число.При исследовании несобственных интегралов на сходимость (как и привычислении их по определению) выясняют сходимость интеграла в окрестности каждой из особых точек (если особая точка 2-го рода, то отдельно в левойи правой её окрестностях).
Интеграл считается сходящимся, только если онсходится в каждой окрестности каждой своей особой точки. В противномслучае интеграл считают расходящимся.[paТак же, как и в случае с собственным интегралом, по определению будемсчитать, что если функция f x интегрируема на промежутке a, b , тоbdx∫ (b − x ) (a < b) , гдесобственному интегралу 1-го рода (при этом особенность 2-го рода преобразуется в результате указанной подстановки в особенность 1-го рода).dt11, получим x = b − , dx = 2 и, следовательно,b−xttb+∞dxdt∫a (b − x ) p = 1 (b∫−a ) t 2− p .Пример 1. Пользуясь определением, исследовать сходимость несобственных интегралов:bа)1dx∫ (b − x )pa1− x20Решение.
а) Функция10dx(a < b ) ; б) ∫(b − x ) p; в)∫−11dx1− x2; г)∫−1dx1− x2.ограничена и интегрируема в любом про-[a, b − ε ] (0 < ε < b − a )x → b − 0 её значение неограниченно возрастает (точка x = b является особой). При p ≠ 1межуткеи, если p > 0 , припо определению находимbb −εdx∫ (b − x )pa= limε → +0dx∫ (b − x )ap⎛ (b − x )1− p= lim ⎜⎜ −ε → +01− p⎝⎛ ε 1− p (b − a )1− p= lim ⎜⎜−ε → +0 p − 1p −1⎝]1рассмотренный выше неЗамечание. С помощью подстановки t =b−xсобственный интеграл 2-го рода с особенностью в точке b приводится к не-b .
Сде-Если p < 1 , тоlimε →+0ε 1− pp −1(b − a )1− pb −ε⎞⎟⎟⎠a=⎞⎟.⎟⎠= 0 , и, следовательно, интеграл сходится (кε 1− p= +∞ , а значит,ε → +0 p − 11− pинтеграл расходится (к + ∞ ).bb −εdxdxb −ε= lim ∫= − lim ln (b − x ) a = +∞При p = 1 имеем ∫ε0→+ε→+0b−xb−xaaсвоему значению). Если p > 1 , тоlim– расходится.Итак, при p < 1 интеграл сходится, а при p ≥ 1 – расходится.§4. Несобственные интегралы1б) Функция129ограничена и интегрируема на любом сегменте1− x[0,1 − ε ] , где 0 < ε < 1 , и в точке x = 1 (единственная особая точка на2промежутке интегрирования) значение функции обращается в бесконечность.По определению,1∫01−εdx1− x2= limε → +0∫0dx1− x1−ε= lim arcsin x 0 =ε → +02= lim arcsin (1 − ε ) = arcsin 1 =ε → +0в) Особая точка0∫−1x = −1 :dx1− x20= limε → +0∫−1+εdxπ2.0= lim arcsin x −1+ε =ε → +01− x2= − lim arcsin (− 1 + ε ) = arcsin 1 =ε → +0π2.x = ±1 :1dxdxπ π+∫= + =π .2 21− x2 0 1− x2г) Имеем две особые точки1∫−1dx1− x20=∫−14.2.
Понятие среднего значения функциина неограниченном промежутке.Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши)4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемойна неограниченном промежуткеf ( x ) определена на (0,+∞ ) и интегрируема в собственном смысле на любом конечном промежутке вида (0, x ) , принадлежащемПусть функцияобласти определения.Средним значением функциичислоf ( x ) на промежутке (0,+∞ ) называетсяx1M [ f ] = lim ∫ f (t )dt .x → +∞ x0130Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл()()Пример. Найти среднее значение функции f x = arctgx на 0,+∞ .Решение. Вычислим данный интеграл интегрированием по частям:xx11⎛tdt ⎞x⎟=M [arctgx] = lim ∫ arctg (t )dt = lim ⎜⎜ t ⋅ arctgt 0 − ∫2 ⎟x → +∞ xx → +∞ x00 1+ t ⎠⎝x1⎛1 d (1 + t 2 ) ⎞⎟=⎜= lim ⎜ x ⋅ arctgx − ∫2⎟x → +∞ x21t+0⎠⎝x⎞1⎛1= lim ⎜ x ⋅ arctgx − ln (1 + t 2 ) ⎟ =⎟x → +∞ x ⎜20 ⎠⎝⎛ln 1 + x 2 ⎞ π1⎛1⎞⎟= ,= lim ⎜ x ⋅ arctgx − ln (1 + x 2 )⎟ = lim ⎜⎜ arctgx −x → +∞ x22 x ⎟⎠ 2⎝⎠ x→+∞⎝()ln (1 + x 2 )= 0.x → +∞2xтак как, по правилу Лопиталя, limЗамечание.
Ранее (в задаче 4 § 2) было доказано, что еслиf (x ) ∈x1f (t )dt = A .x → +∞ x ∫0∈ C[0,+∞) и lim f ( x ) = A , то limx → +∞4.2.2. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения(по Коши)1. Случай несобственных интегралов 1-го рода.Пусть функция f x определена на − ∞,+∞ и интегрируема на любом( )конечном сегменте()[A′, A′′], причём внутри промежутка (− ∞,+∞) нет осо+∞бых точек.
Как было показано выше, под интегралом∫ f (x )dx понимается,−∞по определению, предел+∞∫−∞f ( x )dx = limA∫ f (x )dxA→ +∞A′→ −∞ A′(1)при независимом стремлении A → +∞ и A′ → −∞ . Может оказаться, что вэтом смысле предела нет, но существует предел, отвечающий частному пред-§4. Несобственные интегралы131Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл132положению A′′ = − A′ . Его называют главным значением интеграла (1) (всмысле Коши) и обозначают символом4+∞AV .
p. ∫ f ( x )dx = lim∫A→ +∞−∞f (x )dx .−Af ( x ) нечётная, то её интеграл всимметричном относительно нуля сегменте [− A, A] будет равен нулю, иЗамечание 1. Если, в частности, функцияпоэтомуV . p. ∫ f ( x )dx = 0 ,1+ x1xна чётнуюи нечётнуюсоставляющие, сразу полу221+ x1+ x1+ x21+ xV . p. ∫dx =2− ∞1 + xможет и вовсе не существоватьAA−A0∫ f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx . Предел для0+∞+∞0−∞∫ f (x )dx , а с ним и интеграл ∫ f (x )dx .
Таким образом, для чётной функ-ции главное значение интеграла существует лишь одновременно с несобственным интегралом (и, естественно, равно ему):+∞+∞−∞0V . p. ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f (x )dx .( )Известно, что любую функцию f x , интегрируемую в каждом конечном промежутке, можно представить в виде суммы двух функций:ϕ (x ) =f (x ) + f (− x )f ( x ) − f (− x )и ψ (x ) =,22первая из которых является чётной, а вторая – нечётной (сохраняющих то жесвойство интегрируемости). Поэтому справедливо равенство4V.p.
– начальные буквы от слов ‘valeur principale’, означающих по-французски«главное значение».2=π .−∞( )b∫A∫ f (x )dx , т.е. существует несобственный интегралdx∫1+ xf ( x ) в пределах от a до b определяется, как известно, равенствомэтого интеграла существует в том и только в том случае, когда существуетпредел для интеграла+∞2. Случай несобственных интегралов 2-го рода. Пусть в конечном промежутке a, b задана функция f x , которая имеет лишь одну особую точкуc внутри промежутка и интегрируема в собственном смысле в каждой егочасти, не содержащей c . Несобственный интеграл 2-го рода для функции[ ](например, для функции f ( x ) = x ).f ( x ) чётная, то−∞+∞−∞Если же функция−∞если последний несобственный интеграл существует.Это свойство можно использовать для упрощения вычисления главныхзначений несобственных интегралов. Например, раскладывая функцию−∞+∞∫ f (x )dx+∞чим, что+∞хотя несобственного интеграла+∞V .
p. ∫ f (x )dx = ∫ ϕ ( x )dx ,ab⎞⎛ c −ε 1f ( x )dx = lim ⎜ ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ⎟ ,ε1 → +0 ⎜⎟c +ε 2ε 2 → +0 ⎝ a⎠причём предел должен существовать при независимом стремлении положительных чисел ε 1 и ε 2 к нулю. В некоторых случаях, когда этот предел несуществует, может существовать предел того же выражения, в которомε2ε1истремятся к нулю, оставаясь равными. Если этот предел существует, егоназывают (по примеру Коши) главным значением несобственного интегралаb∫ f (x )dx и обозначают символомabb⎛ c −ε⎞V .
p.∫ f ( x )dx = lim ⎜⎜ ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ⎟⎟ .ε → +0c +εa⎝ a⎠bЗамечание 2. Если интеграл∫ f (x )dx существует как несобственный, тоaон существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение, вообщеговоря, неверно.§4. Несобственные интегралы133Нетрудно распространить понятие главного значения и на случай любогоконечного числа особых точек внутри рассматриваемого промежутка. Рассмотрим примеры.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
