И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Определённый интеграл134ε → +0 ln(1 − ε ) ~ − ε , ln(1 + ε ) ~ ε , то данный предел равен−ε= 0.lim lnε → +0εТак как приПример 1. Найти главные значения интегралов:bdx(a < c < b ) ; б)а) ∫x−ca2dx∫1 x ln x ; в)2bdxРешение. а) Интеграл ∫x−cadx∫−∞sin xdx ; г) ∫0 x 2 − 3x + 2 .(a < c < b )+∞+∞+∞∫adx+x−cbзначение у него существует. В самом деле,+∞как несобственный не суще-∫c +ε 2ε 2 стремятся к нулю независимодруг от друга.
В то же время, если положить ε 1 = ε 2 , то получим выражениене имеет определённого предела, еслиc −ε∫adx+x−cbε1dxиb−c∫ε x − c = ln c − a ,2⎛ 1−ε dxdxdx ⎞⎟+ ∫=V . p. ∫= lim ⎜⎜ ∫ε → +0 ⎜x ln x ⎟⎟1 x ln x1 x ln x1+ε2⎝ 2⎠⎛ 1−ε d (ln x ) 2 d (ln x ) ⎞⎟ = lim ⎛ ln ln x 1−ε + ln(ln x ) 2 ⎞ =+ ∫= lim ⎜⎜ ∫⎜11+ε ⎟ε → +0 ⎜2ln xln x ⎟⎟ ε →+0 ⎝⎠11+ε2⎝⎠⎛⎞1= lim ⎜⎜ ln ln (1 − ε ) − ln ln + ln (ln 2) − ln (ln (1 + ε ))⎟⎟ =ε → +02⎝⎠AA→ +∞)+∞dx∫ (x − 1)(x − 2) , то на промежутке интегри0рования имеем три особые точки: x = 1 , x = 2 (в окрестностях этих точекинтеграл расходится) и x = +∞ .
Однако главное значение этого интеграласуществует. Действительно, по определению,+∞V . p.dx∫ (x − 1)(x − 2) =0⎛= lim ⎜ε 1 → +0 ⎜ε 2 → +0 ⎝1−ε 1∫0A⎞dxdxdx⎟=+ ∫+ ∫(x − 1)(x − 2) 1+ε1 (x − 1)(x − 2) 2+ε 2 (x − 1)(x − 2) ⎟⎠2 −ε 2⎛ x−2= lim ⎜ lnε 1 → +0 ⎜x −1ε 2 → +0 ⎝2ln (1 − ε ).= lim lnε → +0ln (1 + ε )−A(lim − cos x − A == lim (− cos A + cos(− A)) = 0 .dx∫0 x 2 − 3x + 2 =г) Так какA→ +∞б) По определению,∫ sin xdx =A→ +∞не зависящее от ε . Это говорит о том, что главное значение данного интеграла существует и равноdxb−c= ln.V . p.
∫x−cc−aaA→ +∞+∞c+bA∫ sin xdx = limV . p.−∞εb−cdx+ ln 1= lnc−ax−cε2как несобственный расходится, однако главное−∞ствует, так как выражениеc −ε 1∫ sin xdxв) ИнтегралA→ +∞1−ε10x−2+ lnx −12 −ε 21+ε 1x−2+ lnx −1⎞⎟=⎟2 +ε 2 ⎠A⎛ 1 + ε1ε1 + ε1εA−2= lim ⎜⎜ ln− ln 2 + ln 2 − ln+ ln− ln 2ε 1 → +0ε11− ε2ε1A −11+ ε2ε 2 → +0 ⎝A→ +∞⎛1+ ε2A − 2 ⎞⎟+ ln= − ln 2 .= lim ⎜⎜ − ln 2 + lnε 1 → +0A − 1 ⎟⎠1− ε2ε 2 → +0 ⎝A→ +∞⎞⎟=⎟⎠§4. Несобственные интегралы135Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл1364.2.3. Среднее значение несобственного интегралаВыше мы рассмотрели способ определения среднего значения функции,интегрируемой по бесконечному промежутку. Покажем, что понятие среднего значения можно ввести и для несобственного интеграла.Пусть, например, функция f x определена при x ≥ 0 и интегрируема в( )собственном смысле в каждом конечном сегментена всём промежутке[0,+∞) .
Определим функцию[0, x] , но не интегрируема4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости)несобственного интегралаf ( x ) определена в промежутке [a,+∞ ) и интегрируема всобственном смысле на любом сегменте [a, A] (∀A > a ) .Пусть функцияТеорема 1.1 (критерий Коши сходимости интегралов 1-го рода). Для+∞сходимости интегралаxaF ( x ) = ∫ f (t )dtбого (сколь угодно малого) положительного числаεнашлось такое отве-чающее ему число A0 = A0 (ε ) > a , что при любых A′, A′′ ≥ A0 справедли-0и составим её среднее значениево неравенствоx1F (u )du .x ∫0A′∫f ( x )dx −aЕсли для него существует конечный пределA′′∫f ( x )dx =A′′∫ f (x )dx < ε .A′aAx1lim ∫ F (u )du = I ,x → +∞ x0Доказательство.
ПустьF ( A) = ∫ f ( x)dx . Тогда, по критерию Кошиaто это число и рассматривают как обобщённое, или среднее, значение интеграла (при этом сам интеграл расходится!).+∞∫ sin xdxи найдём егосреднее значение согласно введённому определению. Здесьf (x ) = sin x ,Например, рассмотрим расходящийся интеграл0xF ( x ) = ∫ sin tdt = 1 − cos x , и для «обобщённого значения» получаем:0x1x − sin xF (u )du = lim= 1.∫x → +∞ xx → +∞x0+ ∞ тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдётся числоA0 = A0 (ε ) > a такое, что для любых A′, A′′ ≥ A0 выполнено:точкеF ( A′) − F ( A′′) < ε . Теорема доказана.Как следствие, получаем следующую теорему.Теорема 1.2 (критерий Коши расходимости интегралов 1-го рода). Инте+∞грал∫ f (x )dx расходится тогда и только тогда, когда существует ε > 0такое, что для любого (сколь угодно большого) числа A0 > a найдутся такие два числа A′, A′′ ≥ A0 , для которых выполняется неравенство+∞∫ f (x )dxсуществования предела функции в точке, функция F ( A) имеет предел вalimЗаметим, что если несобственный интеграл∫ f (x )dx необходимо и достаточно, чтобы для лю-сходится, то его0среднее значение, найденное по той же схеме, совпадает со значением этогоинтеграла.A′∫af ( x )dx −A′′∫f ( x )dx =A′′∫ f (x )dx > ε .A′aТеорема 2.1 (критерий Коши сходимости интегралов 2-го рода).
Для схоbдимости несобственного интеграла∫ f (x )dxaдимо и достаточно, чтобы для любогоε >0( b – особая точка) необхосуществовало такое отве-§4. Несобственные интегралычающее ему числоδ (ε ) > 0 , что при любых η ′,η ′′137138Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралтаких, что 0 < η ′ < δA′′∫ f (x )dx > ε .и 0 < η ′′ < δ , выполнялось неравенствоA′b −η ′′b− ′∃A′, A′′ > A :ηДоказательство.
ПустьF (η ) = ∫ f ( x)dx . Тогда, по критерию Кошиaсуществования предела функции в точке, функция F (η ) имеет предел в точ-b слева тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдётся числоδ (ε ) > 0 такое, что для любых η ′,η ′′ , удовлетворяющих 0 < η ′ < δ и0 < η ′′ < δ , выполнялось:F (b − η ′) − F (b − η ′′) < ε .A′′sin xdx > ε . Покажем, что это так. Действительно, такpA′ x∫∀A ≥ a ∃n ∈ N : 2πn > A , то возьмём в качестве A′ и A′′ числа2πn и π + 2πn соответственно и рассмотрим интегралкакπ + 2πnкеТеорема доказана.Из данной теоремы вытекает следующее утверждение.Теорема 2.2 (критерий Коши расходимости интегралов 2-го рода).
Интеbграл∫ f (x )dx ( b – особая точка) расходится тогда и только тогда, когдаaнайдётся ε > 0 такое, что для любого (сколь угодно малого) δ > 0 найдутся числа η ′,η ′′ , удовлетворяющие неравенствам0 < η′ < δ ,0 < η ′′ < δ и такие, что выполняется неравенство+∞cos x∫a x p dx (a > 0, p ≤ 0) .+∞Доказательство.
Согласно критерию Коши, интеграл∫ f (x )dxaдится тогда и только тогда, когда−p2 nsin xdx .[]непрерывна на сегменте 2πn, π + 2πn , а функция sin xФункция xнепрерывна и не меняет своего знака на этом сегменте, поэтому по 1-й теореме о среднем имеем:−pI = ξ −pπ + 2πn∫π sin xdx = 2 ⋅ ξ−p, где 2πn < ξ < π + 2πn .2 nn имеем: − p ≥ 0 , ξ > 1 , поэтому ξ − p > 1 , и,значит, I > 2 . Но тогда для любого положительного ε ≤ 2 выполнен кри+∞sin xdx . Таким образом, расходитерий Коши расходимости интеграла ∫pa xПри достаточно большихРасходимость интегралаПример. Используя критерий Коши расходимости несобственных интегралов, доказать расходимость интеграловsin x∫a x p dx и∫π x+∞f ( x )dx > ε .b− ′+∞I=мость интеграла доказана.b −η ′′∫η∃ε > 0 : ∀A ≥ aВ рассматриваемом случае интеграл расходится ⇔∫η f (x )dx < ε .∃ε > 0 : ∀A ≥ a ∃A′, A′′ > A :расхо-cos xdx доказывается аналогично.pa x∫4.4.
Свойства несобственного интегралаТак как несобственные интегралы суть пределы собственных, то ихсвойства во многом аналогичны свойствам собственных интегралов. Доказательства этих свойств основаны на соответствующих свойствах интеграловРимана, а также свойствах пределов функций.Обозначим промежуток интегрирования a, b , где a и b могут принимать как конечные, так и бесконечные значения.[ ]§4. Несобственные интегралы1391.
Линейность интеграла.1.1. Если функция f x интегрируема (в несобственном смысле) на про-2. Аддитивность интеграла.Пусть функция f x интегрируема (в несобственном смысле) в наи-( )межутке[a, b] и c = const , то и функция cf (x ) также интегрируема на[a, b] , причёмbbaaСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл140( )∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx .f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на промежутке [a, b] ,то функция f ( x ) ± g ( x ) также интегрируема на [a, b] , причёмbbaaaСледствие. Линейная комбинация∑αk =1k[a, b] функций f k (x ) с коэффициентами α k ,ляется интегрируемой на [a, b] функцией, причёмbЕслиk = 1,2,..., n , яв-bn⎞⎛ n()αfxdx=α k ∫ f k (x )dx .⎟⎜∑k k∫a ⎝ ∑k =1k =1⎠aДоказательство вытекает непосредственно из свойства линейности собственных интегралов и пределов функций (см. раздел 1.4 параграфа 1).Замечание 1. Сумма (разность) интегрируемой и неинтегрируемой функций есть функция неинтегрируемая.Действительно, пусть функция f x интегрируема (в несобственном( )[a, b] , а функция g (x ) – нет.
Предположим, что ихсумма (разность) является интегрируемой (в несобственном смысле) на [a, b]функцией. Но тогда и функция g ( x ) должна быть интегрируема на [a, b]смысле) на промежуткекак разность (сумма) двух интегрируемых функций, что противоречит нашему предположению.Замечание 2.
Сумма двух неинтегрируемых функций может оказаться интегрируемой функцией. Например, рассмотрим на 1,+∞ функции[f (x ) =)()()[)aac+∞c+∞aac+∞c+∞−∞−∞cf ( x ) интегрируема на [a,+∞ ) и c > a , тоf ( x ) интегрируема на (− ∞,+∞ ) , то при любом c имеем∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .f ( x ) интегрируема в собственном смысле на [a, c ] и неинтегрируема на [c,+∞) , то она неинтегрируема на объединении этих промежутков, т.е.
на [a,+∞) .Если функцияДоказательство. Свойство аддитивности несобственного интеграла следует из аддитивности собственного интеграла (см. раздел 1.4 параграфа 1).Например, пусть f x интегрируема на a,+∞ и c > a . Тогда f x[( ))интегрируема в собственном смысле на сегментеAЗначит,ca∫aЕсли жеПереходяf ( x )dx =c∫af (x )dx +5кпределупри+∞∫ f (x )dx .cf ( x ) неинтегрируема на [c,+∞) , то это означает, что не сущеAствует пределA> a.c+∞A → +∞ , получим, что[a, A] для любого( )A∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .a11и g (x ) = − .xxОчевидно, каждая из них неинтегрируема на данном промежутке. Тем не менее, их сумма f x + g x ≡ 0 и, следовательно, интегрируема на 1,+∞ .b∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .f k ( x ) конечного числа интегри-руемых наcВ частности, если∫ ( f (x ) ± g (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx .nb∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .1.2. Если функцииb[ ] [ ] [ ]большем из промежутков a, b , a, c и c, b ( a, b, c могут принимать ибесконечные значения).
Тогда она интегрируема в двух других, причём имеетместо равенство5limA→ +∞∫ f (x )dx . Но тогда не существует и пределcТом из промежутков, который содержит в себе оба других.§4. Несобственные интегралыAlimA→ +∞∫cf ( x )dx =∫af (x )dx + limA→ +∞aA∫141Замечание 3. Обращаем внимание на отличие этого свойства от аналогичного свойства собственных интегралов (там было: если функции f x иf ( x )dx .( )f (x ) ⋅ g (x )cf ( x ) неинтегрируема на промежутке [a,+∞) .Значит, функция+∞∫ f (x )dx , то сходится также и любой ин-3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
