И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Интегралы Лапласаcos(bx )π − ab∫0 a 2 + x 2 dx = 2a e ;+∞π − abx sin (bx )∫0 a 2 + x 2 dx = 2 e (a, b > 0) .+∞§4. Несобственные интегралыКонтрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к §4Задачи на свойства и вычисление несобственных интеграловb1.
Можно ли сходящийся несобственный интеграл 2-го родаΓ( p ) =∫xe dx ( p > 0 ) ,[ ]( )неограниченной функции f x , определённой на сегменте a, b , рассматривать, по аналогии с собственным интегралом, как предел соответствующейинтегральной суммыn −1∑ f (ξ )Δxk =0kk, где x k ≤ ξ k ≤ x k +1 и Δx k = x k +1 − x k ?2.
Пусть интеграл+∞∫ f (x )dxp −1 − x01B ( p, q ) = ∫ xp −1(1)aсходится и функцияϕ (x ) ограничена. Обязательно ли сходится интеграл+∞∫ f (x )ϕ (x )dx ?dx ( p, q > 0 ) .(2)a0+∞8. Интегралы Фруллани(1 − x )q −1∫ f (x )dx отa7. Гамма- и бета-функции+∞185∫0f (ax ) − f (bx )dx (a, b > 0 ) .xПривести соответствующий пример. Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если интеграл (1) сходится абсолютно?3. Пусть функции f x и g x определены в конечном (или бесконеч-[ ]( )()ном) промежутке a, b и имеют в нём (или в каждой его конечной части –если промежуток бесконечен) конечное число особых точек. Доказать, что: а)( )если интегрируема функция f ( x ) , то и сама функция f x будет абсолютно интегрируема (про такую функцию принято говорить, что она «интегрируема с квадратом»); б) если обе функции интегрируемы с квадратом, то иих сумма f x + g x также интегрируема с квадратом; в) при тех же пред2( )()() ()положениях и произведение f x ⋅ g x будет абсолютно интегрируемойфункцией.4.
Найти среднее значение на интервале 0,+∞ следующих функций:( )(а) f ( x ) = sin x + cos x 2 ; б)22)f (x ) =x sin x .5. Пусть f ( x ) ∈ C [0,+∞ ) и f ( x ) → A при x → +∞ . Найти1limn → +∞∫ f (nx )dx .0Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл186§4.
Несобственные интегралы6. Вычислить интегралы:а)ππ22π2∫ ln(sin x )dx ; б) ∫ ln(cos x )dx ; в) ∫ a0200dx(ab ≠ 0) .sin x + b 2 cos 2 x12. Используя разложение подынтегральной функции по формуле Тейлорав окрестностях особых точек, исследовать (в зависимости от значений параметров) сходимость следующих интегралов:⎛ 1⎞x − x 2 ln⎜1 + ⎟arctg (ax )x⎠⎝dx (a ≠ 0) ; б) ∫а) ∫dx ;npxx012+∞7. Найти главные значения интегралов:+∞а)+∞+∞1+ x∫−∞1 + x 2 dx ; б) −∫∞arctgxdx ; в)∫ cos xdx .1в)Исследование несобственных интегралов на сходимость3а)3x 2 dx∫ (x − 1)5; б)∫ (x − 1)11+∞x 2 dx3∫x e; в)2+∞−∞5 −x∫xp08.
Убедившись, что интеграл несобственный, не вычисляя его, исследовать на сходимость:0а)1+ xdx ; б)3x12∫+∞∫xarctgx1 + x301cos(ax )dx (n ≥ 0) ; б)а) ∫n0 1+ xdx ; в)30+∞д)∫e⎛dxdx ; г) ∫;tgx−x−10xг)+∞∫x1dx2⋅ ln x; б)x2∫0 x 4 − x 2 +1 dx ; в)д)∫0cos 2 x31− x+∞dx0x+ x+ x∫2dx ; г)∫ x⋅1dx3x +122dxdx ; б)а) ∫pq0 sin x ⋅ cos x.а)+∞Pm (x ) и Pn ( x ) – взаимно простые (не имеющие общих корней) многочлены соответственно степеней m и n .где20⎞⎟dx .⎠cos xdx (a > 0, p ≤ 0) .pxa∫sin x∫0 x dx ; б)+∞sin xdxpx0∫16.
Используя, в том числе, 2-й признак сравнения, исследовать сходимость интегралов в зависимости от значений параметров:+∞xm∫0 1 + x n dx (n ≥ 0) ,∫ cos(x )dx ;+∞+∞;9Pm ( x )∫0 Pn (x ) dx ; в)+∞+∞15. Исследовать сходимость интеграла в зависимости от значений параметра p :dxа) ∫ p q ; б)1 x ln x11. Используя 3-й признак сравнения, исследовать сходимость следующихинтегралов (в зависимости от значений параметра):π2sin x∫a x p dx и110. Используя 1-й и 3-й признаки сравнения, исследовать на сходимостьнесобственные интегралы:а)⎛ 1arccos⎜ 2⎝x1∫x+∞+∞dx .sin x∫a x p dx (a > 0, p > 0) ; в)12⎞1∫x2214.
Используя критерий Коши расходимости несобственных интегралов,доказать расходимость интегралов∫ ⎜⎝1 − cos x ⎟⎠dx .+∞cos x − exp0−+∞+∞1dx113. Используя признаки Дирихле или Абеля, исследовать сходимость следующих интегралов:9. Убедившись, что интеграл несобственный, исследуйте его сходимость:+∞1 ⎞⎛1⎜ −⎟dx ; г)⎝ x sin x ⎠+∞dx .187ln(1 + x )ln x∫0 x n dx ; в) ∫0 1 − x 2 dx .+∞117. Исследовать (в зависимости от значений параметра) сходимость следующих интегралов:1а)∫0xn1− x4dx ; б) Γ( p ) =+∞p −1 − x∫ x e dx ; в)0+∞x m arctgx∫0 2 + x n dx (n ≥ 0) ;Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл1881 − (cos x )г) ∫xp0+∞sin x1+∞18.
Пусть интеграл∫dx ; д)§4. Несобственные интегралы30. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы:βα∫ x x − 1 dx .cos(1 x )∫0 x p dx ; б)1а)0f ( x )dx сходится и равен J . Докажите, что инте-cos(1 (1 − x ))∫0 (1 − x 2 )p dx ; в)+∞⎛1⎞Исследовать сходимость следующих интегралов:xdx20. ∫.220 1 + x sin xdx∫0 e x − cos x .22.24.025.∫ 1 + (ln x ) (n ∈ N ) .26.n027.∫xne1 ⎞⎛−⎜ x 2 + 2 ⎟x ⎠⎝∫+∞dx+∞ln(sin x )dx .x0π∫ ln(sin x )dx .+∞x α (x + 2)∫0 x + 1 dx .∫xxe − x dx (n ∈ R ) .n0+∞dx (n ∈ R ) .28.−∞∫ sin02⎛ ⎛1 ⎞⎞⎜⎜ π ⎜ x + ⎟ ⎟⎟dx .x ⎠⎠⎝ ⎝Исследование несобственных интегралов на абсолютную (условную)сходимость29.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы:+∞cos xdx ; б)а) ∫p0 x+∞( )+∞x p sin x∫0 x cos e dx ; в) ∫0 1 + x q dx (q ≥ 0) ;2xcos(x 2 )∫1 ln x dx .+∞г)∫ x(e0)1+ xdx ( p, q > 0) ;sin x + xdx .xp0∫3dxx− e−x+∞); б)2г)∫Pm ( x )∫ P (x ) sin xdx ,aгде2x cos xdx ; в) ∫ sin (sec x )dx ;x + 10000+∞+∞π23.а)+∞121.0p2π1dx.19.
∫420 1 + x sin x∫sin x ⋅ arctg q x31. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы:−∞+∞(+∞г)∫ f ⎜⎝ x − x ⎟⎠dx также сходится и равен J .+∞1−∞грал189nPm (x ) и Pn (x ) – целые многочлены и Pn (x ) > 0 , если x ≥ a ≥ 0 .§5. Вычисление площади плоской фигуры§ 5.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ191ков (понятия многоугольника, а также его площади вводились в курсе средней школы).Плоской фигурой назовём любое непустое ограниченное множествоP ⊂ R 2 .
Две фигуры P1 и P2 называются равными, если существует взаимно однозначное соответствие с сохранением расстояния между точками,при котором фигура P1 отображается на P2 .5.2. Квадрируемая фигура и её площадь5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятияПриведём некоторые определения из теории множеств, имеющие отношение к данному параграфу.Пусть на плоскости задана декартова (прямоугольная) система координат. Обозначим черезR 2 множество всех точек плоскости. Пусть точкаM ( x0 ; y 0 ) ∈ R .2Назовём ε -окрестностью точки M множество тех точек плоскости,которые расположены внутри круга радиуса ε с центром в точке M , т.е.множествоU ε ( M ) = {( x; y ) ∈ R 2 | ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < ε 2 } .Пусть P – произвольное непустое подмножество R .
Точка M ∈ Pназывается внутренней точкой множества P , если существует число ε > 0такое, что U ε ( M ) ⊂ P . Точка M называется внешней точкой множества2P , если существует число ε > 0 такое, что U ε ( M ) ∈ R 2 \ P . Точку Mназовём граничной точкой множества P , если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой множества P .2 Совокупность всех граничныхточек множества P называется его границей.2Множество P ⊂ R называется открытым, если все его точки – внут2ренние.
Множество P ⊂ R называется замкнутым, если множество2R \ P открыто. Множество P ⊂ R 2 называется ограниченным, если существует число R > 0 такое, что P ⊂ U R (O) , где O(0;0) .Многоугольной фигурой на плоскости назовём множество, составленноеиз конечного числа лежащих в этой плоскости ограниченных многоугольни2Заметим, что точкаMтогда, когда для любогоявляется граничной точкой множестваε >0принадлежащие множествувε -окрестности точки MP1o . (Инвариантность). Если две многоугольные фигуры P1 и P2 равнымежду собой, тоS (P1 ) = S (P2 ) .2 .
(Аддитивность). Если P1 и P2 – две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и символ P1 U P2 обозначает объединение этих фиoгур, тоS (P1 U P2 ) = S (P1 ) + S (P2 ) .o3 . (Существование единицы). Площадь квадрата со стороной, равнойединице измерения длины, равна единице измерения площади.Последнее свойство означает, что величина площади фигуры существенным образом зависит от выбора единицы измерения в рассматриваемой системе координат.Введём понятие площади для произвольной плоской фигуры F . Рассмотрим для этого всевозможные многоугольные фигуры P , целиком содержащиеся в F , и многоугольные фигуры Q , целиком содержащие F .
ФигурыP будем называть вписанными в F , а фигуры Q – описанными около F .Числовое множество {S (P )} площадей всех вписанных многоугольныхфигур P ограничено сверху, например, площадью любой описанной многоугольной фигуры Q . Поэтому это множество имеет конечную точную верхнюю граньS = sup S (P ) ,P⊆ Fтогда и толькосодержатся как точки,P , так и точки, ему не принадлежащие.( )Обозначим символом S P площадь многоугольной фигуры P .Напомним, что площадь многоугольной фигуры – это неотрицательноечисло, удовлетворяющее следующим свойствам.33А.В. Погорелов.
Геометрия: Учебник для 7–11 кл. сред. шк. – 2-е изд. М.: Просвещение, 1991 (стр. 216).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл§5. Вычисление площади плоской фигурыкоторую будем называть нижней площадью фигуры F . Если в фигуру Fнельзя вписать ни одного многоугольника, то по определению полагаетсяS =0.угольную фигуру ненулевой площади. Это означает, что фигура F не является квадрируемой.192193{S (Q )} площадей всех описанных око-Замечание 2. Непустое пересечение двух квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.ло фигуры F многоугольных фигур Q ограничено снизу, например, площадью любой вписанной многоугольной фигуры или нулём, и поэтому у негосуществует конечная точная нижняя граньЗамечание 3. Понятие квадрируемости допускает обобщение на случайнеограниченных фигур на плоскости.Пусть F – неограниченная плоская фигура и R > 0 – действительноеАналогично, числовое множествоS = inf S (Q ) ,называемая верхней площадью фигуры F .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
