И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Очевидно, чтоS≤ S.Плоская фигура F называется квадрируемой (т.е. имеющей конечнуюплощадь), еслиS =S .S = S = S называется при этом площадью фигуры F (по Жордану).Будем говорить, что плоская фигура F имеет площадь, равную нулю, еслиЧислоэта фигура содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади.Перечисленные выше свойства многоугольных фигур (неотрицательность,аддитивность, инвариантность, существование единицы) сохраняются и дляпроизвольных квадрируемых фигур. При этом доказательство свойства аддитивности в случае, когда квадрируемые фигуры имеют общие точки (принадлежащие границе каждого из них), не является тривиальным; оно будет приведено ниже (см.
теорему 4 ).Замечание 1. Подчеркнём, что свойство аддитивности выполняется дляобъединения любого конечного числа F1 , F2 ,..., Fn квадрируемых фигур безобщих внутренних точекnS (F ) = ∑ S (Fi ) ,i =1но уже объединение счётной совокупности квадрируемых фигур не является,вообще говоря, квадрируемой фигурой.Например, рассмотрим множество F всех точек с рациональными координатами, принадлежащих квадрату [0,1] × [0,1] .
Оно представляет собойсчётное объединение квадрируемых фигур (точка, очевидно, является квадрируемой фигурой нулевой площади). С другой стороны, верхняя площадьданной фигуры S ( F ) = 1 , поскольку наименьшим многоугольником, содержащим множество F , является сам квадрат [0,1] × [0,1] ; нижняя же площадьFR = U R (O ) I F (всегда можно выбрать такое достаточно большое R , чтобы FR ≠ ∅). Пусть для любого такого R ограниченная фигура FR квадрируема в смысле введённого выше определения.
Есличисло. ОбозначимQ⊇ FS ( F ) = 0 , поскольку в множество F нельзя вписать никакую много-существует конечный пределS = lim S (FR ) ,R → +∞то назовём фигуру F квадрируемой (в несобственном смысле), а число S –её площадью. При вычислении площадей таких фигур с помощью определённых интегралов будем получать сходящиеся несобственные интегралы 1-гоили 2-го рода (см. примеры 5–7 ниже).5.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости.Классы квадрируемых фигурСправедливы следующие теоремы.Теорема 1 (необходимое и достаточное условие квадрируемости).
Длятого, чтобы плоская фигура F была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы её граница имела площадь нуль.Доказательству этой теоремы предпошлём две вспомогательные леммы.Лемма 1. Плоская фигура F квадрируема тогда и только тогда, когда длялюбого числа ε > 0 найдётся многоугольная фигура P ⊂ F и многоугольная фигура Q ⊃ F такие, что S (Q ) − S ( P ) < ε .Доказательство. Докажем необходимость. Пусть фигура F квадрируема, тогда S ( F ) = S ( F ) . По определению точной грани, для любого числаε >0найдётся многоугольная фигура P ⊂ F такая, чтоS (F ) −ε2< S ( P) ≤ S ( F ) .Аналогично найдётся многоугольная фигура Q ⊃ F такая, чтоСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл194S ( F ) ≤ S (Q ) < S ( F ) +ε2ε2< S ( P ) ≤ S (Q ) < S ( F ) +Значит, S (Q ) − S ( P ) < ε .ε2.Теперь докажем достаточность. Пусть для любого числа ε > 0 найдутсямногоугольные фигуры P ⊂ F и Q ⊃ F такие, что S (Q ) − S ( P ) < ε . ТаккакS ( P) ≤ S ( F ) ≤ S ( F ) ≤ S (Q ) , то0 ≤ S ( F ) − S ( F ) ≤ S (Q ) − S ( P ) < ε .Но число ε > 0 произвольно, значения верхней и нижней площади фигурыF от него не зависят, значит,S (F ) = S (F ) .Лемма 1 доказана.Лемма 2. Плоская фигура F квадрируема тогда и только тогда, когда длялюбого числа ε > 0 найдётся квадрируемая фигура P ⊂ F и квадрируемаяфигура Q ⊃ F такие, что S (Q ) − S ( P ) < ε .Доказательство. Необходимость сразу следует из леммы 1, так как любая многоугольная фигура является квадрируемой.
Докажем достаточность.Пусть для любого числа ε > 0 найдутся квадрируемые фигуры P ⊂ F иQ ⊃ F такие, чтоS (Q ) − S ( P ) <ε2.Так как фигуры P и Q квадрируемы, то для них, согласно предыдущейлемме,найдутся многоугольные фигуры P ′ и Q ′ такие, что P ′ ⊂ P ,Q ′ ⊃ Q , причёмS ( P ) − S ( P ′) <Тогда P ′ ⊂ F ⊂ Q ′ иε4S (Q′) − S ( P ′) < S (Q ) +, S (Q ′) − S (Q ) <ε4− S ( P) +ε4<195Доказательство теоремы 1. Пусть P, Q – произвольные многоуголь-.Так как S ( F ) = S ( F ) = S ( F ) , то, учитывая полученные неравенства,имеем:S (F ) −§5. Вычисление площади плоской фигурыε2ε4+.ε2=ε .Отсюда и из леммы 1 следует, что фигура F квадрируема.
Лемма 2 доказана.ные фигуры, такие, что P ⊂ F ⊂ Q . Напомним, что для многоугольныхфигурсправедливосвойствоаддитивностиплощади:S (Q \ P ) = S (Q ) − S ( P ) . Необходимость условия теоремы 1 вытекает теперь из того факта, что многоугольная фигура Q \ P содержит все точкиграницы ∂F плоской фигуры F (см.
лемму 1).Докажем достаточность. Впишем фигуру F в квадрат I со сторонами,параллельными осям координат. Пусть h – достаточно малое положительноечисло. Разобьём квадрат I на более мелкие квадраты I h со сторонами, равными h .Выберем ε > 0 . Пусть граница ∂F плоской фигуры F содержится вмногоугольной фигуре площади, меньшей ε . Покажем, что в этом случаесуществует число h > 0 такое, что ∂F содержится также в некотором объединении квадратов I h , общая площадь которых меньше, чем 32ε .Действительно, заметим, что любая многоугольная фигура, площадь которой меньше ε , представляет собой сумму конечного числа треугольников,не имеющих общих внутренних точек; каждый такой треугольник равен объединению двух прямоугольных треугольников без общих внутренних точек;каждый прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвоебольшем его по площади; каждый прямоугольник содержится в объединенииконечного числа квадратов, суммарная площадь которых не более, чем в двараза превышает площадь этого прямоугольника; каждый квадрат этого объединения содержится во вдвое большем его квадрате со сторонами, параллельными осям координат.Таким образом, любая многоугольная фигура, площадь которой меньшеε , содержится в конечном объединении квадратов со сторонами, параллельными координатным осям, общей площади, меньшей 8ε .Из указанного конечного набора квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной и возьмём в качестве числа h половину длины стороны этогоквадрата.
При таком выборе h каждый указанный квадрат (со сторонами,параллельными осям координат) будет содержаться в конечном объединенииквадратов I h , общая площадь которых не превышает учетверённой площадиэтого квадрата.Значит, вся многоугольная фигура площади, меньшей ε , содержится вконечном объединении квадратов I h , суммарная площадь которых меньше,чем32ε .Для завершения доказательства заметим, что объединение всех квадратовI h , состоящих только из внутренних точек фигуры F , представляет собоймногоугольную фигуру P , причём P ⊂ F , а объединение этой фигуры P стеми квадратами I h , которые содержат точки границы ∂F фигуры F ,представляет собой многоугольную фигуру Q такую, что Q ⊃ F ; при этомS (Q ) − S ( P ) < 32ε . Отсюда и из леммы 1 вытекает утверждение теоремы.Теорема полностью доказана.Следствие.
Площадь квадрируемой фигуры равна одному и тому же числу, независимо от того, с границей или без границы рассматривается эта фигура.Теорема 2 (необходимое и достаточное условие квадрируемости). Длятого чтобы плоская фигура F была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности многоугольных фигур {An } и {Bn }, соответственно, содержащихся в F и содержащих в себе F , площади которых имели бы общий пределlim S ( An ) = lim S (Bn ) = S (F ) .n → +∞n → +∞Доказательство этой теоремы приведено в книге [17], глава X, §2.
Онотакже легко может быть получено из доказанных выше лемм 1 и 2.Теорема 3 (достаточное условие квадрируемости). Для того чтобы плоская фигура была квадрируемой, достаточно, чтобы её граница была спрямляемой4 кривой.Доказательство. Докажем вспомогательную лемму.Лемма 3. Всякая спрямляемая кривая имеет площадь нуль.Доказательство. Пусть L – спрямляемая кривая, абьём эту кривуюрых имеет длинуроной2LnL – её длина. Разо-n + 1 точками x0 ,K, x n на равные части, каждая из котоLn.
Примем каждую из точек x j за центр квадрата со сто-. Объединение этих квадратов представляет собой многоуголь-ную фигуру, описанную около кривой L . Площадь этой фигуры, очевидно,4§5. Вычисление площади плоской фигурыСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл196Определение спрямляемой (т.е. имеющей конечную длину) кривой см. в разделе 6.2параграфа 6.равна4Ln21972(n + 1) . Так как число L фиксировано, а n можно сделатьсколь угодно большим, то верхняя площадь фигуры L равна нулю. Значит,кривая L имеет нулевую площадь. Лемма доказана.Доказательство теоремы 3 теперь сразу следует из леммы 3 и теоремы 1.Теперь мы можем доказать свойство аддитивности площади квадрируемой фигуры.F1 и F2 – квадрируемые фигуры без общих внутренF– их объединение.
Тогда фигура F квадрируема, причёмних точек,Теорема 4. ПустьS ( F ) = S ( F1 ) + S ( F2 ) .Доказательство. Квадрируемость фигуры F следует из теоремы 1 и тогофакта, что граница ∂F фигуры F имеет площадь нуль, так как она являетсячастью объединения границ ∂F1 и ∂F2 фигур F1 и F2 .Докажем справедливость равенства S ( F ) = S ( F1 ) + S ( F2 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
