И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вычисление площади плоской фигурыПример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривымиСнова используя симметрию, получаемx + 2ax − y = 0 и ax − y + 2a = 0 (a > 0) .2222a 3S =2Решение. 1-й способ. Данная фигура не является стандартной относительно оси Ox , но её можно разбить на три стандартные относительно осиOx области:{}a 3F2 = ( x; y ) 0 ≤ x ≤ a; x 2 + 2ax ≤ y ≤ 2a 2 + ax ,{}ya 3x-2a-aa0Из симметрии фигуры относительно оси Ox видно, что её площадьS есть удвоенная площадь фигуры,являющейся объединением двухстандартных относительно оси Oxфигур-a 3⎛ 2⎞y2⎜⎜ y + a 2 − a −+ 2a ⎟⎟dy = 2a 2 3 +a⎝⎠⎛2y3 ⎞⎟+ ⎜⎜ y y 2 + a 2 + a 2 ln y + y 2 + a 2 −3a ⎟⎠ 0⎝}F3 = ( x; y ) 0 ≤ x ≤ a;− 2a 2 + ax ≤ y ≤ − x 2 + 2ax .∫0F1 = ( x; y ) − 2a ≤ x ≤ 0;− 2a 2 + ax ≤ y ≤ 2a 2 + ax ,{(= 2a 2 3 + a 2 ln 2 + 3Рассмотрим примеры на вычисление площадей неограниченных плоскихфигур.Пример 5.
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривымиy=a3, y = 0 (a > 0) .a2 + x2Решение. Данная фигура является неограниченной, и поэтому её нельзясчитать квадрируемой в классическом смысле.Однако на каждомконечномпромежуткеy− A, A , гдевида[}~F1 = ( x; y ) − 2a ≤ x ≤ 0;0 ≤ y ≤ 2a 2 + ax и F2 .Отсюда(())x)(a⎛ 0⎞2⎜S = 2⎜ ∫ 2a + ax dx + ∫ 2a 2 + ax − x 2 + 2ax dx ⎟⎟ =0⎝ −2a⎠aa3⎡2⎛x+a 2⎞= 2⎢ax + 2a 2 2−⎜x + 2ax ⎟ +⎝ 2⎠0⎢⎣ 3a−2aaa2⎤=ln x + a + x 2 + 2ax ⎥ = 2a 2 3 + a 2 ln 2 + 3 (кв.ед) .0⎦2()2-й способ. Однако проще было в данной задаче сразу рассмотреть фигурукак стандартную относительно оси Oy :⎧⎫y 2 − 2a 2F = ⎨( x; y ) − a 3 ≤ y ≤ a 3;≤ x ≤ −a + y 2 + a 2 ⎬ .a⎩⎭=) (кв.ед) .a{2050S ( A) =AA∫ y(x )dx = 2∫ y(x )dx = 2a ∫ a3−AТогдаA002]A > 0 – любое действительное число, фигураквадрируема, и её площадь S A может бытьвычислена как определённыйсобственныйинтеграл( )dxA= 2a 2 arctg .2a+xS = lim S ( A) = πa 2 (кв.ед) .A→ +∞(в данном случае площадь неограниченной фигуры понимается в смыслеглавного значения несобственного интеграла 1-го рода; фигура квадрируема,так как данный интеграл сходится).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл206§5. Вычисление площади плоской фигурыПример 6. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями2x = a lnaS=x∫ y(x )dx )0конечна. Перейдём под знаком интеграла к переменной интегрирования y .a2 − y2dy , то, принимая во внимание, что положительyному приращению x соответствует отрицательное приращение y , приходимТак какdx = −к интегралу0S = −∫aaa2 − y2y/ dy = ∫ a 2 − y 2 dy .y/0Сделав тригонометрическую подстановку y = a sin t ,тельно получимππ2200πa 240n =0=1+ e2−π⋅(кв.ед) .Решение.
И в этом примере имеем ситуацию с неограниченной фигурой,обладающей конечной площадью. Найдём эту площадь по формулеn =0Полагая в каждом интеграле∫ e sin x dx .πnt = x − πn , получимπn =00(sin t + cos t )20π−1 + e −π=2π1e +e 2=π1 − e −π−⎛ π2⎜2⎜ e − e 2⎝2⎞⎟⎟⎠=+∞∑e π− n=n =0π1cth (кв.ед) .225.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру,задана параметрическиФормулы (1) и (1’) могут быть использованы и в том случае, когда кривая,ограничивающая фигуру, задана параметрически уравнениямиx = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] ,где функции x(t ) , y(t ) имеют непрерывные производные x ′(t ), y ′(t ) насегменте [T0 , T ] . Для этого достаточно в соответствующих интегралах от x(или от y ) перейти к переменной интегрирования t .Ox , и, когда параметр tпробегает сегмент [T0 , T ] от T0 до T , соответствующая точка ( x(t ); y (t ))движется по кривой так, что трапеция остаётся при этом слева (т.е.
от B кA , см. рисунок внизу, слева).Пусть криволинейная трапеция прилегает к осиyyBy(T)=dy = e − x sin x и y = 0 (x ≥ 0) .S =∑e−tπПример 7. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями+∞ π ( n +1)−x+∞1. Случай незамкнутой кривой.0 < t ≤ π 2 , оконча-S = ∫ a 2 − a 2 sin 2 t d (a sin t ) =a 2 ∫ cos 2 tdt =n =0= ∑ e −πn+∞0π+∞Поскольку данная фигура неограничена, то она не квадрируема в обычном понимании. Покажем, что, тем не менее, её площадь (под ней понимаем значениенесобственного интеграла 1-городаy+∞S = ∑ e −πn ∫ e −t sin t dx = ∑ e −πn ∫ e −t sin tdx =a+ a − y− a 2 − y 2 (трактриса) и y = 0 (a > 0) .yРешение.
Заметим, что 0 < y ≤ a , причём при возрастании x от 0 до+ ∞ значение y убывает от a до 0.2207BASSxx(T) =ay(T0)=cx(T0 ) =bAxСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл208В этом случае§5. Вычисление площади плоской фигурыdx(t ) = x ′(t )dt , a = x(T ) , b = x(T0 ) , и из (1) получаем:TS = − ∫ y (t )x ′(t )dt .(3)T0Пусть теперь криволинейная трапеция прилегает к оси Oy , и при изменении значений параметранепрерывнойyTL(4)T0()([)2a()0S = − ∫ y (t )x ′(t )dt =xS2π2πa2π= a2∫ (1 − cos t ) dt =202π= a2x]()T0T0так и при помощи формулы симметричного вида, полученной их сложением:x2O0A(5)()как x = a ch t222y 2 = a 2 sh 2 t , тоx 2 − y 2 = a 2 (ch 2 t − sh 2 t ) = a 2 ,иN2π1⎛3⎞= a ⎜ t − 2 sin t + sin 2t ⎟ = 3πa 2 (кв.ед) .4⎝2⎠0x2 y2или 2 − 2 = 1 .aa2.
Случай замкнутой кривой.x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] , есть параметрические уравненияT1(x(t ) y ′(t ) − y(t )x′(t ))dt .2 T∫02ПустьTПример 9. Точка M лежит на кривой x = acht , y = asht a > 0 .Вычислить площадь гиперболического сектора, ограниченного данной кривой, осью абсцисс и отрезком OM .Решение. Выясним, какая лиyния определяется данными параметрическими уравнениями приMa > 0 . Для этого исключим изэтих уравнений величину t : так1⎛3⎞∫ (1 − 2 cos t + cos t )dt = a ∫ ⎜⎝ 2 − 2 cos t + 2 cos 2t ⎟⎠dt =0x(T ) ,TS=2π2( x(T0 ) =S = − ∫ y (t )x ′(t )dt , S = ∫ x(t ) y ′(t )dt ,Sем:Пример 8.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и аркойциклоиды x = a t − sin t , y = a 1− cos t , t ∈ 0,2π .Решение.Воспользуемсяyформулой (3). Посколькуx ′ t = a 1 − cos t ,то получимзамкнутойТогда площадь S может быть вычислена как при помощи формул (3)–(4):( )S = ∫ x(t ) y ′(t )dt .простойконтура называется положительным).t от T0 до T точка ( x(t ); y(t )) движется по кри-()кусочно-гладкой7y (T0 ) = y (T ) ) кривой L , пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру площади S (такое направление обходавой так, что трапеция по-прежнему остаётся слева (см. рисунок вверху, справа). В этом случае dy t = y ′ t dt , c = y (T0 ) , d = y T , и из (1’) получа-()и2097x = x(t ), y = y(t ) , t ∈ [T0 , T ] , назовём кусочx(t ), y(t ) непрерывны на [T0 , T ] (за исключением, бытьКривую, заданную уравнениямино-гладкой, если функцииможет, конечного числа точек, где они имеют разрывы первого рода) и имеют всюду() ()на этом сегменте непрерывные производные x ′ t , y ′ t (за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых эти производные имеют конечныеодносторонние предельные значения).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл210§5. Вычисление площади плоской фигурыТаким образом, кривая удовлетворяет уравнению равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат прямые y = ± x . А именно, данная кривая является правой ветвью этой гиперболы, поскольку приx = acht > 0 при любом t .При условии, что точка M имеет координаты2) По формуле (4) имеем:TS = ∫ x(t ) y ′(t )dt =a>0T0(x; y ) , получаем (см. рис.):1xy − ∫ ydx .2aТак как x = acht , y = asht , то dx = ashtdt , откудаt=33) Наконец, по формуле (5) имеем:∫ (ch2t − 1)dt =T1S = ∫ ( x(t ) y ′(t ) − y (t )x ′(t ))dt =2 T003=x = a (t 2 − 2t ), y = a (t 2 − 1)(t − 3) (a > 0) .-a3a-3aЗаметим,x(− 1) = x(3) = 3ay(−1) = y(3) = 0 .1(a (t 2 − 2t )(a (3t 2 − 6t − 1)) − a ((t 2 − 1)(t − 3))(a(2t − 2 )))dt =∫2 −133a0−1⎛ 3t 5⎞1117 2= a ⎜⎜− 3t 4 + t 3 + t 2 ⎟⎟ =a (кв.ед) .3⎝ 5⎠ −1 15a2a2a2a 2t(кв.ед) .sh2t −sh2t + t =4422x− 2t ))(a (3t 2 − 6t − 1))dt =2tРешение.2−1Пример 10.
Найти площадь фигуры, ограниченной петлёй кривойy∫ (a(t= a 2 ∫ (3t 4 − 12t 3 + 11t 2 + 2t )dt =S = S ONM − S ANM =a2a21 2a sht ⋅ cht − a 2 ∫ sh 2 tdt =sh2t −422033xS=чтоиВ данномслучае это означает, что криваяделает петлю при изменении параметра t от − 1 до 3 .Вычислить площадь петлиможно любым из трёх следующихспособов.a21= a 2 ∫ (t 4 − 4t 3 + 7t 2 − 6t + 6 )dt =22 −1=3T0−1В следующем примере при вычислении площади ограниченной плоскойфигуры возникает сходящийся несобственный интеграл.Пример 11.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривойx = at 2 (1 + t 4 ) , y = at 3 (1 + t 4 ) (a > 0) .Решение. Заметим, что так какпри замене t на − t значение( )yS = − ∫ y (t )x ′(t )dt = − ∫ (a (t 2 − 1)(t − 3))(a (2t − 2 ))dt =3= −2a2∫ (t4− 4t + 2t + 4t − 3)dt =32−13⎞⎛ t517 22a (кв.ед) .= −2a ⎜⎜ − t 4 + t 3 + 2t 2 − 3t ⎟⎟ =3⎠ −1 15⎝523⎛ t5⎞7⎜⎜ − t 4 + t 3 − 3t 2 + 6t ⎟⎟ =3⎝5⎠ −117 2a (кв.ед) .15x(t ) не изменяется, а значениеy(t ) меняет знак, то кривая од-1) По формуле (3) имеем:T211x0новременносодержитточкиx; y и x;− y , т.е. симметрична относительно оси абсцисс.Обратим внимание также нато, что x 0 = x + ∞ = 0 .() (())()212Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл§5.
Вычисление площади плоской фигурыЭто означает, что данная кривая образует петлю при изменении параметра tот 0 до + ∞ . Итак, кривая образует две симметричные относительно осиOx петли. Верхняя из них проходится в положительном направлении (фигура остаётся слева) при изменении t от 0 до + ∞ .В данном случае наиболее простые вычисления будут, если использоватьсимметричную формулу (5).
При этом так как y = tx , то xy ′ − yx ′ =x2y = b 1 − 2 , x ∈ [0, a ] ,aи, производя в интеграле замену x = a sin t , получим:yabSx2= b ∫ 1 − 2 dx =4a0= x(x + tx ′) − tx ⋅ x ′ = x 2 , откуда приходим к несобственному интегралу 1-го рода+∞S 1 ⎛ at 2⎜=2 2 ∫0 ⎜⎝ 1 + t 4πx22 +∞⎞a⎟⎟ dt =2⎠t 3 dt⋅t∫0 1 + t 4()22= ab ∫ cos 2 tdt =a.0πИнтегрируя по частям, находимS a2=22⎛1⎜− t ⋅⎜4 1+ t4⎝(+∞)dt ⎞⎟ πa 2+∫=,4⎟ 16 20 4 1+ t⎠=+∞(0)+12 2(arctg (xСледовательно, площадь)(πПример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми))y2 =2 + 1 + arctg x 2 − 1 + C .S всей фигуры равнаπa 28 2(кв.ед) .5.4.3.
Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнениемF ( x, y ) = 01. В некоторых случаях в такой ситуации удаётся разрешить уравнениеотносительно одной из переменных, придя, таким образом, к случаю явногозадания кривой, являющейся границей фигуры.Рассмотрим вначале простой пример.Пример 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
