И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так как M k M k +1 ≤ M k M ′ + M ′M k +1(неравенство треугольника), то l 0 ≤ l1 . Лемма 1 доказана.Замечание 1. Существуют неспрямляемые кривые 3.Спрямляемые кривые и их длины обладают следующими свойствами.и T – произвольное разбиение сегмента T0 , T точкамиT0 = t 0 < t1 < t 2 < ... < t n = T .Разбиению Tсоответствует разбиение кривойL точкамиM 0 , M 1 , M 2 ,…, M n , где M i ( x(t i ); y (t i )) . Образовавшуюся при этом ло-( )маную l T = M 0 M 1 M 2 … M n −1 M n будем называть ломаной, вписанной вкривуюL и отвечающей разбиению T сегмента [T0 , T ] .
При этом длинаli (T ) звена li (T ) = M i −1 M i , i = 1, n , этой ломаной находится по формулерасстояния между двумя точками плоскости:1o . (Инвариантность). Если кривая L спрямляема, то длина её дуги независит от способа параметризации этой кривой.2 o . (Аддитивность). Если спрямляемая кривая L разбита при помощиконечного числа точек M 0 , M 1 , M 2 ,…, M n на конечное число кривых Li ,причём указанные точки соответствуют значениям t 0 , t1 , t 2 ,..., t n параметра3Пример такой кривой можно найти в книге В.А. Ильина и Э.Г. Позняка «Основы математического анализа», 1 (М., 1982, с.382–386).§6. Вычисление длины дуги кривой237t и T0 = t 0 < t1 < t 2 < ... < t n = T , то каждая из кривых Li спрямляема исумма длин всех кривых Li равна длине кривой L .Доказательство. Докажем свойство аддитивности для случая, когда Lявляется объединением двух кривых: L1 и L2 .
Пусть кривая L задаётсяфункциями x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] ; кривая L1 : x = x(t ) ,y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ′] ; кривая L2 : x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T ′, T ] (тогдаL = L1 U L2 ). Пусть T1 – разбиение сегмента [T0 , T ′] , l1 – ломаная, соот-[]ветствующая этому разбиению; T2 – разбиение T ′, T , ломаная l 2 соответствует T2 . Тогда T = T1 U T2 – разбиение сегмента[T0 , T ] ;ломанаяl = l1 U l 2 соответствует разбиению T .
Так как l = l1 + l 2 , то l1 ≤ l ,Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл238L1 + L2 ≤ L .(2)Из неравенств (1) и (2) следует, что L = L1 + L2 . Свойство аддитивности доказано.3o . (Существование единицы). Существует дуга единичной длины.В качестве такой дуги можно рассмотреть отрезок прямой, имеющий длину, равную единице измерения, или дуга окружности единичного радиуса,соответствующая центральному углу величиной в 1 радиан.oСвойство 3 означает, что измерение длины дуги существенным образомзависит от выбора масштабной единицы измерения в системе координат.Замечание 2.
Для простых незамкнутых кривых существует ещё одинподход к определению длины дуги [13]. А именно, длиной дуги кривой L( )называется предел длин l Tвписанных в неё ломаных (см. выше) приl 2 ≤ l . Это означает, что длины ломаных, вписанных в кривые L1 и L2 ,Δt → 0 , где Δt = max(t i − t i −1 ) . Чтобы это определение было справедливоограничены сверху (например, длиной кривой L ). Значит, L1 и L2 спрямляемы.Обозначим через C точку кривой L с координатами ( x (T ′); y (T ′)) .и в случае замкнутых ломаных, достаточно в нём вместо стремления к нулюдлин всех звеньев ломаной потребовать того же относительно диаметров соответствующих дуг (под диаметром дуги понимается точная верхняя граньрасстояний между любыми двумя точками дуги).ε > 0 .
Так как кривая L спрямляема, то суl , вписанная в кривую L , такая, что l > L − ε . ДобавимВыберем произвольное числоществует ломанаяк узлам ломаной l точку C и получим ломаную l ′ . Из леммы 1 следует, чтоl ′ ≥ l > L − ε . Очевидно, что l = l1 U l 2 , причём ломаная l1 вписана вкривуюL1 , l 2–вL2 . Значит,окончательно получаем:L1 + L2 ≥ L .(1)Докажем теперь неравенство с противоположным знаком. Снова выберемпроизвольное число ε > 0 . Так как кривая L1 спрямляема, то существуетломаная l1 , вписанная в кривую L1 , такая, что l1 > L1 − ε / 2 . Аналогичносуществует ломаная l 2 , вписанная в кривую L2 , такая, что l 2 > L2 − ε / 2 .l вписана в кривую L , причёмl = l1 + l 2 > L1 + L2 − ε .
Значит, L > L1 + L2 − ε . Отсюда в силупроизвольности выбора числаεполучаем:Замечание 3. Понятие длины дуги пространственной кривой, заданнойпараметрическими уравнениями, вводится аналогично понятию длины дугиплоской кривой. Пространственные спрямляемые кривые обладают свойстoвами 1 и2 o , приведёнными выше для плоских кривых.l1 + l 2 = l ′ > L − ε . ОтсюдаL1 + L2 ≥ l1 + l 2 > L − ε .
Поскольку ε > 0 – произвольное число, тоПусть l = l1 U l 2 . Тогда ломаная1≤i ≤ n6.3. Основные классы спрямляемых кривых.Вычисление длины дугиСледующие теоремы описывают большую часть существующих видовспрямляемых кривых.6.3.1. Случай параметрического задания кривойв декартовых координатахТеорема 1 (1-е достаточное условие спрямляемости плоской кривой идлина дуги в прямоугольных координатах). Пусть функции x(t ) и y (t ) не-прерывны и имеют непрерывные первые производные x ′(t ) и y ′(t ) на сег-§6. Вычисление длины дуги кривой[]x = x(t ) ,239менте T0 , T .4 Тогда кривая L , определяемая параметрическими уравнениямиy = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] , спрямляема, и длина её дуги можетбыть вычислена по формулеδ = min{δ 1 ; δ 2 } ; T = {t 0 ; t1 ;K; t n } – произвольное разбиение[T0 , T ] , Δ T < δ .
Пусть l – ломаная, вписанная в кривую L и со-Пустьсегментаответствующая разбиению T . ТогдаTL =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл240∫ (x′(t ))+ ( y ′(t )) dt .22nl = ∑ ( x(t k ) − x(t k −1 )) 2 + ( y (t k ) − y (t k −1 )) 2 =(1)T0k =1(x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dtЗамечание. Подынтегральное выражениеется при этом дифференциалом дуги и обозначается dL . Для плоских спрямляемых кривых справедливо равенство(dL ) = (dx )где dx = x ′(t )dt , dy = y ′(t )dt .22n= ∑ ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 Δt k ,называ-+ (dy ) ,2гдеξ k ,η k ∈ [t k −1 , t k ]Значит,[рывна на нём.
Значит, существует числоδ 1 = δ 1 (ε ) > 0y ′(t ′) − y ′(t ′′) <ε4(T − T0 ).(x ′(t ) )2 + ( y ′(t ) )2 . Так как по условию теоремы функнепрерывна на сегменте [T0 , T ] , то она интегрируема на этом сегTδ 2 = δ 2 (ε ) > 0 такое, что для любогоV сегмента [T0 , T ] , Δ V < δ 2 , имеет место нера-руемости функции, найдётся числоразмеченного разбиениявенствоσ (V ) − A <ε4(здесь=σ (V )– интегральная сумма для функцииf (t ) , соответствующая разбиению V ).T0 ≤t ≤Tk =1sup ( x ′(t )) 2 + sup ( y ′(t )) 2 ⋅ (T − T0 ) .T0 ≤ t ≤TT0 ≤t ≤TМы доказали, что длины всех ломаных, вписанных в кривуючены сверху.
Это означает, что кривая L спрямляема.a2 + b2 − a2 + c2 ≤ b − c .В этом случае говорят, что функцииx(t ) и y (t )непрерывно дифференцируемы на сегменте[T0 , T ] и обозначают x(t ) , y (t ) ∈ C (1) [T0 , T ] .(3)Доказательство. Если b + c = 0 , то утверждение леммы очевидно.22b 2 + c 2 ≠ 0 . Тогда имеет место следующая цепочка неравенств:b2 − c2b−c ⋅ b+c2222a +b − a +c =≤≤a2 + b2 + a2 + c2b2 + c2b − c ⋅ (b + c )≤= b − c . Лемма 1 доказана.b+cПустьСогласно неравенству (3), теперь имеем4L , ограни-Перейдём к доказательству формулы для вычисления длины кривой. Докажем вначале одно вспомогательное алгебраическое неравенство.Лемма 1. Для любых действительных чисел a, b, c справедливо неравенство∫ f (t )dt . Тогда, по определению интегри-T0nsup ( x ′(t )) 2 + sup ( y ′(t )) 2 ∑ Δt k =T0 ≤t ≤Tтакое, что для лю-Обозначим f (t ) =менте и существует число A =l ≤]бых точек t ′, t ′′ ∈ [T0 , T ] , t ′ − t ′′ < δ 1 , выполнено:f (t )(мы применили теорему Лагранжа к функциям x(t ) иy (t ) на сегментах [t k −1 , t k ] ).Доказательство.
Зафиксируем произвольное число ε > 0 . Так какфункция y ′(t ) непрерывна на сегменте T0 , T , то она равномерно непре-ция(2)k =1( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 − ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 ≤§6. Вычисление длины дуги кривой≤ y ′(η k ) − y ′(ξ k ) <241εСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл242,4(T − T0 )yη k − ξ k ≤ Δt k < δ . Пусть V = V (T ) = {t 0 ; t1 ;K; t n ; ξ1 ;K; ξ n } –εразмеченное разбиение сегмента [T0 , T ] , Δ V < δ . Значит, σ (V ) − A < .4так как2anНоσ (V ) = ∑ ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k. Отсюда и из (2) получим, чтоxk =1nσ (V ) − l ≤ ∑k =1ε4(T − T0 )Δt k =εn∑ Δt k =4(T − T0 ) k =1Следовательно,l − A ≤ l − σ (V ) + σ (V ) − A <ε2ε4L =(4).(Заметим, что соотношение (4) доказано нами для произвольной ломаной l ,соответствующей разбиению сегмента T0 , T , диаметр которого меньше δ ).[]{}Так как по определению длины кривой L = sup l (T ) , то существуетTломаная∗∗l , вписанная в кривую L и такая, что l > L −ε2T ′ разбиения T ∗ , удовлетворяющее условию Δ T ′ < δ .
Пусть ломаная l ′T ′ , тогда l ′ ≥ l ∗ > L −и, согласно неравенству (2),l′ − A <ε2ε22π2π0022∫ (a(1 − cos t )) + (a sin t ) dt = a ∫2π(лемма 1 раздела 6.2). Отсюда заключаем, что]00π0Замечание. Учитывая симметрию кривой относительно прямой x = πa ,можно было вычислять её длину по формулеπL = 2∫(a(1 − cos t ))2 + (a sin t )2 dt .0Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos t , y = a sin t , a > 0 .Решение. В данной задаче для нахождения длины дуги можно воспользоваться формулой (1), однако предварительно необходимо определить пределы интегрирования.Заметим, что при изменении параметра t от 0 до π 2 точка ( x; y ) про4ходит участок кривой от точкиy4(a;0)до точки(0; a ) , а затем при увеличении значений парамет-aТеорема доказана.[π= 2a ∫ sin t dt = 2a ∫ sin t dt = 4a ∫ sin tdt = 4a(− cos t ) 0 = 8a .L − A < ε . Но ε – произвольное положительное число, значит, L = A .Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
