И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти длину дуги, отвечающей одной арке циклоидыx = a(t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ 0,2π .Решение. Данная кривая имеет вид, изображённый на рисунке. Длину дугинаходим по формуле (1):2π2(1 − cos t )dt =2. Пусть ломанаяl ∗ соответствует разбиению T ∗ сегмента [T0 , T ] . Существует измельчениесоответствует разбиению2πa0.xра от π 2 до π возвращается обратно (происходит самоналегание). Вся кривая при этом лежит впервой четверти (см. рис.). Поэтому в качествепределов интегрирования выберем 0 и π 2 .x ′(t ) = −4a cos 3 t sin t ,y ′(t ) = 4a sin 3 t cos t ,(x ′(t ))2 +( y ′(t ))2 = 16a 2 cos 6 t sin 2 t + 16a 2 sin 6 t cos 2 t =aПоскольку§6. Вычисление длины дуги кривой(243)С другой стороны, поскольку функция y ′(t ) интегрируема на сегменте= 2a 2 sin 2 (2t ) 1 + cos 2 (2t ) ,[T0 , T ] , то существует число δ 2 > 0 такое, что для любого разбиения сегмента [T0 , T ] с диаметром, меньшим δ 2 , разница между верхней и нижнейто для длины дуги получаемπ2a=(z2a0(1 + z 2 + ln z + 1 + z 2))101∫2L = a 2 ∫ 1 + cos 2t ⋅ sin 2tdt =2−1= a+Замечание.
В данном случае удаётся выразить явно(y = a sin 4 t = a 1 − cos 2 t)2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл2441 + z 2 dz =(a ln 1 + 2).2y через x :суммами ДарбуТеорема 2 (2-е достаточное условие спрямляемости плоской кривой). Если функции x(t ) и y (t ) непрерывны и имеют на сегменте T0 , T ограни-[§1).
Пустьδ = min{δ 1 ; δ 2 } ; T = {t 0 ; t1 ;K; t n }– произвольное разбиениеnεk =14Δ T < δ . (Тогда S (T ) − s (T ) = ∑ (M k − mk )Δt k <]Доказательство. Действительно, заметим, что при доказательстве спрямляемости кривой L в теореме 1 мы пользовались только ограниченностьюфункций x ′(t ) и y ′(t ) на сегменте T0 , T .= ∑ ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 Δt k .]]Теорема 3 (3-е достаточное условие спрямляемости плоской кривой).Формула (1) для вычисления длины дуги справедлива также в случае, когдафункции x(t ) и y (t ) непрерывны, а производные x ′(t ) и y ′(t ) только ин-[T0 , T ] .k =1nk =1Обозначим черезсегментаε > 0 . Поскольку функция f (t ) = ( x ′(t ) ) + ( y ′(t ) ) интегрируема на сегменте [T0 , T ] , то существует число δ 1 > 0 такое, что для любогоразмеченного разбиения V = {t 0 ; t1 ;K; t n ; ξ1 ;K; ξ n } сегмента [T0 , T ] ,числоΔ V < δ 1 , выполнено: σ (V ) − A <ε4T, гдеA=∫ f (t )dt .T0V ′ = {t 0 ; t1 ;K; t n ; ξ1 ;K; ξ n } размеченное разбиение[T0 , T ] , построенное поПолучим, чтоl − σ (V ′) =∑(nk =1Доказательство.
Так как любая интегрируемая функция ограничена, тоиз теоремы 2 следует, что и в условиях нашей теоремы кривая L являетсяспрямляемой.Установим справедливость формулы (1). Зафиксируем произвольное2Mknl = ∑ ( x(t k ) − x(t k −1 )) 2 + ( y (t k ) − y (t k −1 )) 2 =тегрируемы на сегменте, гдеmk – соответственно точная верхняя и нижняя грани функции y ′(t ) насегменте [t k −1 , t k ] ).Пусть l – ломаная, вписанная в кривую L и соответствующая разбиению T . Тогдаченные первые производные, то кривая L , определяемая параметрическимиуравнениями x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ T0 , T , спрямляема.[(см.иоднако с точки зрения объёма вычислений рассмотренный выше способ проще.[4доказательство критерия Римана интегрируемости функции в пункте 1.2.5.[T0 , T ] ,⎛x x⎞= a⎜⎜1 − 2+ ⎟⎟ ,aa⎠⎝εS (T ) и s (T ) для этой функции будет меньше, чемразбиениюT и точкам ξ k , k = 1, K, n .)( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 − ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k ≤n≤ ∑ ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 − ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k ≤k =1n≤ ∑ y′(ξ k ) − y′(η k ) Δt k ≤ S (T ) − s (T )2k =1(здесь мы воспользовались леммой 1, приведённой в доказательстве теоремы 1).Так какσ (V ′) − A <отношений получаемε4,S (T ) − s (T ) <ε4, то из последней цепочки со-§6.
Вычисление длины дуги кривой245A − l ≤ σ (V ′) − A + l − σ (V ′) <ε2.Мы доказали, что в условиях теоремы 3 справедливо неравенство (4),возникшее при доказательстве теоремы 1. Дальнейшие рассуждения полностью аналогичны рассуждениям в доказательстве теоремы 1.
Теорема 3 доказана.Теорема 4 (4-е достаточное условие спрямляемости плоской кривой).Формула (1) остаётся справедливой и в том случае, если хотя бы одна изфункций x(t ) , y (t ) не является непрерывно дифференцируемой на всём сег-[T0 , T ] , но при этом непрерывно дифференцируема на сегменте[T0 , T − ε ] при любом ε таком, что 0 < ε < T − T0 , а функция(x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 имеет непрерывную первообразную на сегменте[T0 , T ] .
В этом случае интеграл понимается как несобственный, т.е.ментеT −ε∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))L = limε →0+22dt .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл246плоскости,соединяющийточкиM T −ε = ( x(T − ε ); y (T − ε ) )иM T = ( x(T ); y (T ) ) . Так как кривая Lε спрямляема, то длина любой лома-ной, вписанной в неё, не превосходит её длины: lε ≤ Lε ≤ A . Длина отрез-M T −ε M T ограничена константой M , поскольку отображение отрезка[T0 , T ] на плоскость, задаваемое функциями x = x(t ) , y = y(t ) , являетсяканепрерывным, а значит, ограниченным. Таким образом, l ≤ l ′ ≤ A + M .Поскольку ломаная l была выбрана произвольным образом, то мы доказали, что длины всех ломаных, вписанных в кривую L , ограничены сверху.Это означает, что кривая L спрямляема.Покажем, что L = A , т.е.
что числоA является точной верхней граньюL . Докажем сначала, что оно является верхнейгранью, т.е. что l ≤ A для любой ломаной l , вписанной в L . Пусть сущестдлин ломаных, вписанных ввует ломанаяT0l∗ − Al ∗ , вписанная в кривую L и такая, что l ∗ > A . ОбозначимДоказательство. Докажем, что в условиях теоремы кривая L , заданнаяуравнениями x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ T0 , T , является спрямляемой. Пустьδ=l – произвольная ломаная, вписанная в кривую L и соответствующая разбиению T = {t 0 ; t1 ;K; t n } сегмента [T0 , T ] .
Обозначимсанная в кривуюLε при некотором ε > 0 , длина которой lε∗ ≥ l ∗ − δ . Сдругой стороны,lε ≤ Lε ≤ A . Получаем, что A ≥ l − δ =[T −εA = limε → +0∫](x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt .T0ε > 0 . Тогда, согласно теореме 1, кривая Lε ,x = x(t ) , y = y (t ) на сегменте [T0 , T − ε ] , являетсяВыберем произвольное числозаданная уравнениямиT −εспрямляемой и её длинаLε =∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22dt ≤ A .T0ОбозначимT ′ = {t 0 ; t1 ;K; t n −1 ; T − ε ; t n } – измельчение разбиения T ,2> 0 .
Очевидно, что в таком случае существует ломаная lε∗ , впи-∗∗l∗ + A2, т.е.l ∗ ≤ A . Мы пришли к противоречию. Значит, наше предположение невернои l ≤ A для любой ломаной l , вписанной в кривуюL.Докажем теперь, что число A является точной верхней гранью длин ломаных, вписанных в L . Зафиксируем число δ > 0 . Так какT −εA = limε →0+∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22dt , то найдётся ε > 0 такое, чтоT0T −εl ′ – ломаная, вписанная в кривую L и соответствующая разбиению T ′ . Ясно, чтоl ≤ l ′ (лемма 1 раздела 6.2). С другой стороны,A−∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))T022dt <δ2.l ′ = lε U M T −ε M T , где lε – ломаная, вписанная в кривую Lε и соответст-Рассмотрим кривую Lε , заданную уравнениями x = x(t ) , y = y (t ) на сег-вующая разбиениюменте T0 , T − ε .
По определению спрямляемой кривой, найдётся ломанаяTε = {t 0 ; t1 ;K; t n −1 ; T − ε }; M T −ε M T – отрезок на[]§6. Вычисление длины дуги кривойlε ,вписаннаявLεкривуюи247соответствующаяразбиениюTε = {t 0 ; t1 ;K; t n −1 ; T − ε } такая, чтоT −εLε − lε =∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22δdt − lε <2T0[T0 , T ] , то эта кривая спрямляема, и длина её дуги может быть вычисленаL и соответствующая разбиениюT ′ = {t 0 ; t1 ;K; t n −1 ; T − ε ; t n }. Тогда l ≥ lε , следовательно,∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22T −εdt − l ≤T0∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22dt − lε <T0Теорема 5 (пространственный случай в прямоугольных координатах).Если пространственная параметризуемая кривая L задана уравнениямиx = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , где функции x(t ) , y (t ) и z (t ) непрерывны иимеют непрерывные первые производные x ′(t ) , y ′(t ) и z ′(t ) на сегменте.Пусть l – ломаная, вписанная в кривуюT −εСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл248δ2по формулеTL =.δ > 0 мы построили ломаную l , вписанную вδ δкривую L и такую, что A − l < + = δ . Так как по уже доказанному2 2l ≤ A для любой ломаной l , вписанной в кривую L , то это означает, чтоA = sup l , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
