И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Точку M назовём внешней точкой пространственной фигуры P , если найдётся такое ε > 0 , что ε -окрестность точки M целикомне принадлежит P .Точку M назовём граничной точкой фигуры P , если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой фигуры P .5 Совокупность всех граничных точек фигуры P называется границей этой фигуры.Сформулируем определение того, что в школьном курсе элементарнойстереометрии называют телом.
Телом называется ограниченная фигура в проса5Заметим, что точкаMявляется граничной точкой фигурыε > 0 в ε -окрестности точки MP , так и точки, ей не принадлежащие.для любогоPтогда и только тогда, когдасодержатся как точки, принадлежащие фигуре§7. Вычисление объёмов тел265странстве, обладающая двумя свойствами:1) у неё есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить линией (например, ломаной), целиком лежащей внутри фигуры;2) фигура содержит свою границу, и её граница совпадает с границей еёвнутренней области.Согласно первому условию, фигура является связной.
Поэтому фигура,состоящая из объединения двух шаров, не имеющих общих точек, строго говоря, телом уже не считается. Точно так же не считается телом фигура, состоящая из двух шаров, имеющих лишь одну общую точку.Второе условие означает, что тело – это замкнутое множество точек,граница тела принадлежит ему, так что шар без соответствующей сферы илидаже шар без одной её точки – уже не тело. Кроме того, граница тела вездеприлегает к его внутренней области, так что конус «со шпилем» или конус «сполями», как изображено на рисунке ниже, телами не считаются.Граница тела называется также его поверхностью.В данном параграфе мы снимем ограничения на связность и замкнутость,и будем трактовать понятие тела в широком смысле, отождествляя его, посути, с пространственной фигурой.Далее, тело, образованное при вращении плоской ограниченной замкнутой фигуры F вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры и не содержащей её внутренних точек, называется телом вращения.
Прямая, вокругкоторой осуществляется вращение, называется осью тела вращения. Границатела вращения (его поверхность) образуется при вращении границы плоскойфигуры F (точки границы плоской фигуры, лежащие на оси вращения, являются внутренними точками тела вращения).Сечение тела (поверхности) вращения плоскостью, перпендикулярной осиэтого тела (этой поверхности), называется перпендикулярным сечением тела(поверхности) вращения. Перпендикулярным сечением тела (поверхности)вращения может быть круг (окружность), точка или кольцо, ограниченноедвумя концентрическими окружностями с центром на оси вращения.
Сечениетела вращения плоскостью, проходящей через его ось, называется осевымoсечением этого тела. Поскольку поворот вокруг прямой на угол 180 есть266Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралсимметрия относительно этой прямой, то осевым сечением тела вращенияявляется фигура, симметричная относительно его оси.Многогранным телом в пространстве назовём множество, составленное изконечного числа ограниченных многогранников.Напомним, что многогранником называют тело, граница (поверхность)которого есть объединение конечного числа многоугольников, причём каждая сторона каждого такого многоугольника является стороной ещё одного (итолько одного) многоугольника.
Такую поверхность называют замкнутоймногогранной поверхностью. Многоугольники, составляющие поверхностьмногогранника, называются его гранями. Уточним, что гранью многогранникаследует считать только такой многоугольник на поверхности многогранника,который не содержится ни в каком другом многоугольнике, лежащем на поверхности многогранника (иначе он является лишь частью грани). Без учётаэтого замечания можно было бы сказать, что грани куба, например, – это двенадцать равнобедренных прямоугольных треугольников, поскольку они составляют границу куба.Приведём общее определение цилиндра.6 Пусть даны две параллельныеплоскости α и α ′ , и на плоскости α задана некоторая квадрируемая фигура F . Из всех точек фигуры F проведём параллельные друг другу отрезкидо плоскости α ′ . Фигура, которую образуют эти отрезки, и называется цилиндром. Фигура F при этом называется основанием цилиндра.
Отрезки,образующие цилиндр, так и называются – образующими. Концы образующих,лежащие на плоскости α ′ , образуют ещё одно основание цилиндра. Такимобразом, основания цилиндра равны друг другу и лежат в параллельныхплоскостях. Иногда образующими называют только те из упомянутых вышеотрезков, которые соединяют граничные точки оснований цилиндра.Существует и другой подход к определению цилиндра.7 Цилиндрическойповерхностью называется поверхность, производимая движением прямойлинии AB , сохраняющей одно и то же направление и пересекающей даннуюлинию Γ . Прямая AB называется образующей, а линия Γ – направляющей(см. рис. ниже).Если за направляющую цилиндрической поверхности взята окружность внекоторой плоскости, то такая поверхность называется круговой. Если плоскость, в которой лежит направляющая цилиндрической поверхности, перпендикулярна её образующей, то такая поверхность называется прямой.Тогда цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей (начало линии Γ совпадает с её концом)6Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Стереометрия. Геометрия в пространстве: Учеб.пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов. (Библиотека школьника). Висагинас, Alfa, 1998, стр.132.7Гусев В.А, Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Геометрия. Полный справочник (для школьников иабитуриентов). М.: Махаон, 2006. стр.180.§7. Вычисление объёмов тел267и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие.Часть поверхности, заключённая между параллельными плоскостями,Bназывается при этом боковой поверхностью цилиндра, а части плоскостей, отсекаемые этойповерхностью, – основаниями цилиндра.
РасΓстояние между плоскоAстями оснований называется высотой цилиндра.Соответственно,еслиплоскости оснований цилиндра перпендикулярны образующим, то цилиндрназывается прямым. Если в основании прямого цилиндра лежит круг, то такой цилиндр имеет название прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий центры его оснований, называется осью цилиндра.Прямой круговой цилиндр можно определить также как тело, образуемоепри вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону. Поэтой причине второе название прямого кругового цилиндра – цилиндр вращения. В данном пособии под цилиндрическим телом будем понимать прямойцилиндр.Назовём ступенчатым телом объединение конечного числа цилиндрических тел, расположенных так, что верхнее основание каждого предыдущегоиз этих тел находится в одной плоскости с нижним основанием последующего.Определим теперь понятие гладкой поверхности. Пусть поверхность задаётся параметрически при помощи уравненийx = x u, v , y = y u, v , z = z u, v ,где функции( )( )( )x(u, v ) , y(u, v ) , z (u, v ) непрерывны вместе со своими част-ными производными в некоторой ограниченной замкнутой области Ω наплоскости Ouv .
Непрерывную границу L этой области Ω будем считатьсостоящей из гладких кривых. Наконец, предположим, что поверхность неимеет ни кратных, ни других особых точек. Такая поверхность называетсягладкой.7.2. Понятие кубируемого тела. Объём телаВ элементарной стереометрии было введено понятие объёма для простейших пространственных тел, в том числе для многогранников. Отмечалось, что объём тела – это неотрицательное число, поставленное в соответствие этому телу, которое обладает следующими свойствами.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл2681o .
(Инвариантность). Равные тела имеют равные объёмы.2 o . (Аддитивность). Если тело является объединением конечного числател, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объём данного тела равен сумме объёмов составляющих его тел.3o . (Существование единицы объёма). Объём куба, длина ребра которогоравна единице измерения длин отрезков, равен одной кубической единице ипринимается за единицу измерения объёмов.Тела, имеющие равные объёмы, назывались равновеликими. Заметим, чтоаналогичными свойствами характеризуются и площади плоских фигур, идлины отрезков (дуг кривых).Введём понятие объёма для произвольного тела F в пространстве. Рассмотрим для этого всевозможные многогранные тела P , целиком содержащиеся в F , и многогранные тела Q , целиком содержащие F .
Тела P будем называть вписанными в F , а тела Q – описанными около F .Числовое множество{V (P )} объёмов всех вписанных многогранных телP ограничено сверху, например, объёмом любого описанного многогранного тела Q . Поэтому это множество имеет конечную точную верхнюю граньV = sup V (P ) ,P⊆ Fкоторую будем называть нижним объёмом тела F .
Если в тело F нельзявписать ни одного многогранника, то по определению полагается V = 0 .Аналогично, числовое множество{V (Q )} объёмов всех описанных околотела F многогранных тел Q ограничено снизу, например, объёмом любоговписанного многогранного тела или нулём, и поэтому у него существует конечная точная нижняя граньV = inf V (Q ) ,Q⊇ Fназываемая верхним объёмом тела F . Очевидно, чтоV ≤V .Тело F называется кубируемым (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
